應(yīng)對(duì)“大轉(zhuǎn)型”政策的高等數(shù)學(xué)分類教學(xué)模式的統(tǒng)計(jì)定量研究

徐勇

摘 ?要：本文首先通過統(tǒng)計(jì)調(diào)查并結(jié)合層次分析法得到高校各代表性專業(yè)與高等數(shù)學(xué)主要知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)指標(biāo);繼而在關(guān)聯(lián)指標(biāo)表的基礎(chǔ)上，對(duì)這些專業(yè)進(jìn)行聚類分析;最后利用判別分析法，求得判別函數(shù)群，從而方便對(duì)專業(yè)進(jìn)行科學(xué)的分類。該方法摒棄了過去類似分類問題中分類標(biāo)準(zhǔn)不明晰，分類過程不細(xì)致，分類方法不科學(xué)的缺陷，提出了嚴(yán)格的定量分析結(jié)果，使分類更具科學(xué)性和說服力。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);分類教學(xué)模式;統(tǒng)計(jì)定量研究

注：本文受到湖北省教育廳科技處科學(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目“應(yīng)對(duì)”大轉(zhuǎn)型“政策的高等數(shù)學(xué)分類教學(xué)模式的統(tǒng)計(jì)定量研究”（項(xiàng)目編號(hào)：B2015058）和湖北省教育廳思政處青年項(xiàng)目“高校”大轉(zhuǎn)型“背景下的高等數(shù)學(xué)分類教學(xué)模式的定量研究”（項(xiàng)目編號(hào)：15Q163）的資助。

一、引言

目前的高等數(shù)學(xué)分類教學(xué)改革歸結(jié)起來大致方針是按理工、財(cái)經(jīng)類等學(xué)科劃分的分類教學(xué)。主要以專業(yè)特色和培養(yǎng)目標(biāo)的考量為主。但沒有考慮同一科類眾多專業(yè)人才培養(yǎng)對(duì)公共數(shù)學(xué)的不同需求， 而且分類趨于粗放，不夠細(xì)致嚴(yán)謹(jǐn)。這種分類更側(cè)重于定性分析，而缺少定量分析。當(dāng)專業(yè)特征區(qū)別很大時(shí)，分類的正確性尚能保證，當(dāng)專業(yè)間特征區(qū)別不夠明顯時(shí)，這種定性分析顯然確少說服力和明晰的判別標(biāo)準(zhǔn)。

基于上述研究現(xiàn)狀，我們提出一種對(duì)該問題實(shí)現(xiàn)定量研究的思路。其核心思想可以分為三個(gè)模塊。模塊一：獲取高校各專業(yè)與高等數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)指標(biāo)表（需求度表）。模塊二：在關(guān)聯(lián)指標(biāo)表的基礎(chǔ)上，對(duì)這些專業(yè)進(jìn)行基于樣本的聚類分析，通過對(duì)聚類結(jié)果的分析，得到最佳的分類模式和具體的分類結(jié)果。模塊三：利用判別分析法，求得決定上述分類模式的判別函數(shù)群，通過對(duì)現(xiàn)有的分類結(jié)果的再檢驗(yàn)來確定判別函數(shù)群的有效性。

二、獲取高校各專業(yè)與高等數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)指標(biāo)表

步驟1：確定每個(gè)專業(yè)中能對(duì)本項(xiàng)目調(diào)查問題有發(fā)言權(quán)的三大群體，并由層次分析法得到三個(gè)群體的權(quán)重。這里的三大群體第一類是社會(huì)企事業(yè)單位與該專業(yè)對(duì)口的職業(yè)人群;第二類是高等院校從事該專業(yè)教學(xué)的教師;第三類是該專業(yè)已學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)和專業(yè)課程的高年級(jí)學(xué)生。以三個(gè)群體為方案層進(jìn)行層次分析。層次分析法的進(jìn)行可以描述如下：

首先按照問卷調(diào)查的結(jié)果構(gòu)造各準(zhǔn)則相對(duì)于目標(biāo)層的兩兩對(duì)比矩陣如下： ? ? ? ? ? ?以及方案層各元素相對(duì)于各準(zhǔn)則的兩兩對(duì)比矩陣如下：

接著，利用上述兩兩對(duì)比矩陣并結(jié)合軟件Matlab計(jì)算矩陣

A的特征值和特征向量，從而得到三個(gè)準(zhǔn)則相對(duì)于目標(biāo)的權(quán)重組成的權(quán)向量，即w（1）=（0.166，0.166，0.668）。同理可以得到三個(gè)方案分別相對(duì)于每個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)向量，即w1（2）=（0.595，0.277，0.129），w2（2）=（0.082，0.236，0.682）以及w3（2）=（0.429，0.429，0.142）。根據(jù)層次分析法原理，方案層各元素（職業(yè)人、教師和學(xué)生）占目標(biāo)的權(quán)重應(yīng)為上述兩層權(quán)重結(jié)果的組合權(quán)重值，這樣我們就得到了職業(yè)人、教師和學(xué)生在打分問題上的權(quán)重。

步驟2：在完成了步驟1之后，我們就可以針對(duì)具體專業(yè)（如金融專業(yè)）就各知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)度進(jìn)行各群體打分，最后利用上面得到的權(quán)重進(jìn)行整合。得到如表一所示：

表一：金融專業(yè)各群體對(duì)六知識(shí)點(diǎn)需求度打分的均值表

接下來只需利用步驟1中各群體占打分的權(quán)重便可計(jì)算金融專業(yè)就這六個(gè)知識(shí)點(diǎn)的打分情況，如表二所示：

表二：金融專業(yè)對(duì)六知識(shí)點(diǎn)需求度打分的總表

注意其中知識(shí)點(diǎn)1的需求度5.14是三個(gè)群體打分5，6，4再結(jié)合各自打分的權(quán)重組合計(jì)算得到的，其它數(shù)值類似產(chǎn)生。

步驟3：將需要納入分析的專業(yè)按照步驟2的方法一一得到對(duì)上述六知識(shí)點(diǎn)需求度的總表，將它們合成一個(gè)總表。得到的總表如表三所示：

表三：10專業(yè)對(duì)六知識(shí)點(diǎn)需求度打分的總表匯總

三、利用各專業(yè)對(duì)知識(shí)點(diǎn)需求度實(shí)現(xiàn)專業(yè)的分類

由于數(shù)據(jù)較多，層次不明晰，很難直接歸類。這里我們采取SPSS中的系統(tǒng)聚類分析方法，將10個(gè)專業(yè)作為10個(gè)樣本，得到所有分類結(jié)果的樹狀圖，如圖1所示：

圖1：10個(gè)專業(yè)按知識(shí)點(diǎn)需求度總表進(jìn)行的系統(tǒng)聚類

從圖中來看專業(yè)1，專業(yè)5和專業(yè)7之間距離很短，它們很自然地歸為一類。同理，專業(yè)4，專業(yè)8和專業(yè)3歸為一類。相應(yīng)地，專業(yè)2，專業(yè)6，專業(yè)9和專業(yè)10歸為一類。當(dāng)形成這三小類時(shí)，若還想繼續(xù)合并為兩類，將是這三小類中的后兩小類先進(jìn)行合并。從圖中顯示的距離可以直觀地看到，10個(gè)專業(yè)合成

3類比較理想，而合為2類則比較牽強(qiáng)。所以就這10個(gè)專業(yè)而言，實(shí)際上應(yīng)分為3類。這樣我們就實(shí)現(xiàn)了專業(yè)科學(xué)的分類。

四、利用分類結(jié)果生成分類器

上述分類只是對(duì)部分專業(yè)進(jìn)行，根據(jù)不同時(shí)期的需要，對(duì)于一些新產(chǎn)生的專業(yè)或者未被納入此分類過程的專業(yè)，如何知道它們會(huì)歸入到其中的哪一類呢？打個(gè)比方，若已對(duì)10個(gè)專業(yè)分為了3類，現(xiàn)又得到了5個(gè)新專業(yè)對(duì)各知識(shí)點(diǎn)的需求度結(jié)果，那么如何將這5個(gè)待定的專業(yè)進(jìn)行分類呢？一種直接的方式是將這5個(gè)與之前10個(gè)專業(yè)混合，重新進(jìn)行上述分類過程。但這種方式顯然部分重復(fù)了對(duì)分類相關(guān)的計(jì)算，這種重復(fù)工作無疑是希望避免的。相比之下更為理想的方式是在上述分類結(jié)果的基礎(chǔ)上建立某種判別體系，形成能實(shí)施分類行為的機(jī)制，一旦有新的樣本加入到分類，可以很快實(shí)現(xiàn)新樣本的歸類。帶著這一目的，我們借助判別分析這一方法。

在上述的分類問題中，最終專業(yè)1，專業(yè)5和專業(yè)7是一類記為第一類;專業(yè)4，專業(yè)8和專業(yè)3歸為一類，記為第二類;專業(yè)2，專業(yè)6，專業(yè)9和專業(yè)10作為第三類。以此情況為基礎(chǔ)，利用判別分析，建立三類的判別函數(shù)。根據(jù)貝葉斯判別法的思想，我們?cè)谂袆e分析中可以為每一類找到一個(gè)對(duì)應(yīng)的判別函數(shù)，然后將新的樣本帶到每個(gè)判別函數(shù)中，最大的判別函數(shù)值對(duì)應(yīng)的類就是新樣本應(yīng)歸屬的類。判別函數(shù)的建立實(shí)際上就是基于各專業(yè)對(duì)不同知識(shí)點(diǎn)的需求度和所屬類別這些信息的。例如對(duì)于第一類，其判別函數(shù)表達(dá)式被找到，表達(dá)式為：y=1671.

807x1+6503.746 x2-207.756 x3-639.185x4+4617.898x5+271.05x6

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得到了這些判別函數(shù)之后，我們只需要將新的樣本（專業(yè)）對(duì)應(yīng)的所有6個(gè)需求度數(shù)值代入這三個(gè)判別函數(shù)，哪個(gè)函數(shù)值大，就代表新樣本屬于哪一類。從這個(gè)角度而言，這三個(gè)判別函數(shù)起到了分類器的作用。對(duì)于新樣本不需重新進(jìn)行聚類分析就能得到其歸屬的類別。當(dāng)然，這些用來判別歸屬的函數(shù)是不是性能有保證呢，或者說判別函數(shù)的準(zhǔn)確性如何驗(yàn)證呢？只需將根據(jù)判別函數(shù)得到的已知樣本的歸類結(jié)果與它們實(shí)際所屬的類別進(jìn)行對(duì)比便可看出這些判別函數(shù)對(duì)樣本預(yù)測(cè)類別的行為是否準(zhǔn)確。

結(jié)語：本文利用了定量分析的方法，對(duì)當(dāng)前“大轉(zhuǎn)型”背景下高等數(shù)學(xué)分類教學(xué)的問題進(jìn)行了深入探討。在明確了各專業(yè)對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的需求度結(jié)果之后，我們采用聚類分析和判別分析的方法，對(duì)各專業(yè)進(jìn)行了基于知識(shí)點(diǎn)需求度的分類，并構(gòu)造了分類器，方便不同專業(yè)的歸類，為新時(shí)期高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供了新的思路。

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