讓幾何直觀促進學生的數(shù)學思考

◆江蘇省常熟市張橋中心小學 楊佳玲

◆江蘇省無錫市錫山教師進修學校 嚴育洪

讓幾何直觀促進學生的數(shù)學思考

◆江蘇省常熟市張橋中心小學 楊佳玲

◆江蘇省無錫市錫山教師進修學校 嚴育洪

幾何直觀具有形象具體、簡單抽象的雙重特點，將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形有機結(jié)合，有助于學生理解數(shù)學知識的本質(zhì)，促進學生的數(shù)學思考。要真正發(fā)揮幾何直觀對數(shù)學學習的促進作用，在日常教學中要注重培養(yǎng)學生的幾何直觀意識，循序漸進地培養(yǎng)學生畫圖表征問題的能力，注重培養(yǎng)學生借助圖形思考問題的能力，讓畫圖思考、讀圖分析成為學生的自覺行為。

幾何直觀；學生；數(shù)學思考

幾何直觀是《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》（以下簡稱“課標”）提出的十大核心概念之一?！罢n標”指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用?！睋?jù)此，我們不難發(fā)現(xiàn)，幾何直觀不僅指直接觀察，更重要的是依托圖形進行深入思考與分析，打開思維，找到方法，解決實際問題。

阿蒂亞說過：“幾何直觀是領悟數(shù)學最有效的渠道?！睌?shù)學知識的抽象表達，學生理解起來有難度，要把握其本質(zhì)更是難上加難。借助幾何直觀，將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形巧妙對接，有助于學生直觀地理解數(shù)學，把握數(shù)學知識本質(zhì)，促進學生的數(shù)學思考，找出解決問題的思維突破口。

在整個基礎教育階段數(shù)學學習過程中，幾何直觀發(fā)揮著重要作用。教師應有意識地培養(yǎng)學生的幾何直觀能力，讓幾何直觀成為一種意識、能力、思維方式。根據(jù)平時教學實踐，筆者認為，要實現(xiàn)讓幾何直觀促進學生的數(shù)學思考的目標，可以從以下三方面著手。

一、注重培養(yǎng)學生的幾何直觀意識

意識的培養(yǎng)取決于價值的認同，因此，幾何直觀意識培養(yǎng)的首要任務就是教師在日常教學中要積極引導，讓學生充分體驗幾何直觀的作用和價值。

1.溝通數(shù)學知識與幾何圖形的聯(lián)系，在知識學習中體會價值。

小學生的思維以形象思維為主，在他們的眼中，抽象、嚴謹、概括的數(shù)學知識可能是枯燥而難懂的。借助幾何直觀，可以將抽象的概念、算理、法則等變得形象而生動，這不僅能降低學生理解數(shù)學知識的難度，而且有助于學生把握數(shù)學知識的本質(zhì)。

【案例1】蘇教版教材三年級上冊《倍的認識》一課中，教師讓學生用黑白圓片代替物品創(chuàng)造一幅“2倍”關系圖。學生作品紛呈，展示出了3的2倍、5的2倍、10的2倍……教師提問：“像這樣表示‘2倍’的關系圖，可以畫出多少呢？”學生回答：“很多很多，無數(shù)。”教師追問：“能不能想個辦法把這么多的圖用一個圖表示出來呢？”有學生指出，可以用線段圖表示，接著在師生對話中完成了線段圖（如圖1）。教師又問：“在這個框里可以填哪些數(shù)？”學生回答：“什么數(shù)都可以?！?/p>

圖1

在教學本環(huán)節(jié)之前，學生從大量的例證中感知了“倍”的概念本質(zhì)。讓學生利用黑白圓片創(chuàng)造“2倍”關系圖，一方面，可加深學生對概念的理解；另一方面，在此基礎上，借助線段圖表征概念，摒棄了所有非本質(zhì)屬性，有助于促進學生對概念的準確理解，提升了學生對“倍”的認識。

幾何直觀不僅是溝通學生形象思維與抽象數(shù)學概念的橋梁，也是學生發(fā)現(xiàn)算法、理解算理的突破口。小學數(shù)學計算教學常常借助幾何直觀進行，以圖為載體，可以將算理有形地顯示出來，有利于學生感知與理解算理。

圖2

【案例2】蘇教版教材三年級上冊《同分母分數(shù)的加法和減法》一課中，教師先讓學生根據(jù)例題列出算式再引導讓學生借助長方形涂一涂、想一想、算一算。根據(jù)提示，學生紛紛將長方形的涂上紅色，長方形的涂上綠色（如圖2）。在學生獨立思考、組內(nèi)討論有結(jié)果后，教師提問：“你的計算結(jié)果是多少？”學生說是教師追問：“你是怎么想的？”有學生說：“看出來的，圖上一共涂了有學生說：“紅色部分有5個綠色部分有2個 5+2=7，一共7個結(jié)合圖示，教師指出表示5個表示2個一共涂了7個

教師接著引導學生觀察得數(shù)的分子和分母與兩個加數(shù)的分子和分母各有什么關系，學生一下子就發(fā)現(xiàn)了同分母分數(shù)的加法的算法，即分母不變，分子相加。

雖然教材沒有給出計算法則，但借助直觀圖形，教師適時引導點撥，學生就能自己總結(jié)算法、理解算理，并能有條理地表達計算思路?！靶巍迸c“算式”結(jié)合起來，讓學生明晰抽象的算理，觀察發(fā)現(xiàn)出算法?？梢?，利用圖形直觀讓學生明白、理解抽象的算理是行之有效的手段。

2.借助幾何圖形描述和解決問題，在應用中體會價值。

讓學生體會幾何直觀的作用，最為直接的方式就是讓學生應用幾何直觀。在教學中遇到可以利用圖形來描述的問題，教師可以不必急于給出解決問題的方法，而是鼓勵學生借助直觀圖形分析思考問題，幫助學生不斷積累思考的經(jīng)驗，理解幾何直觀的價值與作用。

【案例3】蘇教版教材三年級上冊有這樣一道練習題（如圖3）：

圖3

日常教學中，教師通常引導學生先根據(jù)“跳繩的人數(shù)是打乒乓球的3倍”求出跳繩人數(shù)，再根據(jù)“拍球的人數(shù)是跳繩的2倍”計算出拍球的人數(shù)?；趯W生對條形圖的認識與理解，筆者認為，在講解這題時不妨引入直觀圖示（如圖4）。借助直觀圖形，學生對這題中數(shù)量間的關系會有更為深入的認識，能進一步打開學生的思維。觀察圖示，學生不僅能看出打乒乓球的人數(shù)與跳繩人數(shù)、跳繩人數(shù)與拍球人數(shù)之間的倍數(shù)關系，還能看出拍球人數(shù)是打乒乓球人數(shù)的6倍，從而找到不同解題方法。有了這樣的體會，教師時時引導學生回顧解題過程，說說體會和收獲，有助于加深學生對幾何直觀的體驗，體會價值。

圖4

二、注重培養(yǎng)學生畫圖表征問題的能力

學生對圖形的感悟是一個長期的、循序漸進的培養(yǎng)過程，畫圖表征問題的能力也不是一蹴而就的。為此，蘇教版教材為學生搭建了許多圖示平臺，各個年級教材中都有出現(xiàn)。在日常教學中，教師應注重結(jié)合相關內(nèi)容，循序漸進地培養(yǎng)學生畫圖表征問題的能力。

一、二年級學生以動作思維和形象思維為主，數(shù)學學習大多要依靠實物、圖片等載體，通過看一看、擺一擺、分一分等活動才能領會、掌握。因而，在日常教學中，教師要適當進行抽象和提煉，由實物直觀向圖形直觀過渡，讓學生多接觸直觀圖，為學習畫圖表征問題積累經(jīng)驗。

例如，《5的乘法口訣》一課中的“想想做做4”（如圖5），創(chuàng)設了青蛙和兔子跳格子的情景，引導學生在數(shù)軸上分別表示出5個3相加的和，5個4相加的和，并寫出相應的乘法算式。這樣的活動，既加深了學生對乘法口訣含義的理解，又讓學生初步體會了畫圖描述問題的方法。

圖5

教材還編排了許多圖示題（如圖6），教師可以結(jié)合這些題目，培養(yǎng)學生看圖理解題意、讀圖分析數(shù)量關系的能力，在解決問題的過程中，不斷積累讀圖分析的能力，感悟直觀圖示是表征問題的一種常用方法。

運用線段圖或示意圖直觀地表示抽象的數(shù)學問題是利用圖形直觀描述問題最直接的方式。蘇教版教材將有關線段圖、示意圖的內(nèi)容安排在三、四年級，一方面是因為學生具備了一定的幾何知識基礎，另一方面是數(shù)學學習內(nèi)容越來越抽象，更需要幾何直觀提供支撐。自三年級（上）開始，結(jié)合解決問題的策略教學，學生開始系統(tǒng)地學習畫線段圖。

伴隨題目抽象程度與難度的不斷提升，在“讀題——補圖——畫圖——讀圖”的過程中，學生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力不斷提升，畫圖表征問題的水平不斷提高。有了畫線段圖表征問題的基礎，四（下）解決問題的策略，例如，教學用畫示意圖的策略解決有關面積計算的實際問題，從一維圖示向二維圖示過渡，學生的畫圖能力有了階段性提升。

在之后的教學中，一方面要結(jié)合具體教學內(nèi)容和實際問題，繼續(xù)訓練學生畫圖表征問題的能力；另一方面要注重在回顧反思中內(nèi)化這一策略，讓畫圖成為學生的自覺行為。

三、注重培養(yǎng)學生借助圖形思考問題的能力

華羅庚說：“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微。”數(shù)形結(jié)合是一種重要的解決問題的方法。根據(jù)小學生的思維特征，借助幾何直觀解決實際問題，化抽象為直觀，便于學生理解題意，分析數(shù)量關系，找到解題的突破口。因而，教師在教學中不僅要培養(yǎng)學生讀圖、畫圖的能力，更要培養(yǎng)學生借助幾何直觀思考分析問題的能力。

【案例4】蘇教版教材五年級下冊《解決問題的策略》單元例2，要求計算按學生已有的知識經(jīng)驗，他們通常會采用先通分，再計算的方法。顯然，對于這一題來說，通分的方法不算繁瑣，但如果題目改變?yōu)橥ǚ值姆椒ň妥兊寐闊Ｒ蚨滩膶⒈绢}安排在轉(zhuǎn)換策略的教學單元，旨在利用幾何直觀幫助學生打開思維，創(chuàng)造性地解決問題。教材首先引導學生觀察發(fā)現(xiàn)這一算式的特點，這些分數(shù)每一個都是前一個的一半，進而引導學生把正方形看作單位“1”，再將算式中的加數(shù)填入圖中相應位置（如圖7）。巧妙地借助幾何直觀，將算式與圖形聯(lián)系起來，學生就比較容易發(fā)現(xiàn)：最后分出的圖形與剩下的圖形相等。復雜的計算問題轉(zhuǎn)化成簡單的數(shù)學計算問題，加法計算轉(zhuǎn)化為減法計算有了這樣的體會與感悟，解決類似的問題也就有了方法。

圖7

在日常教學過程中，我們還發(fā)現(xiàn)，幾何直觀不僅是解題的突破口，還是打開學生思維之門的金鑰匙，借助直觀圖示能發(fā)現(xiàn)不同解題方法。

【案例5】蘇教版教材四年級下冊《解決問題的策略》單元有這樣一道“練一練”：小營村原來有一個寬20米的長方形魚池。因擴建公路，魚池的寬減少了5米，這樣魚池的面積就減少了150平方米?，F(xiàn)在魚池的面積是多少平方米？（先在圖中畫出減少的部分，再解答）（如圖8）

圖8

如果沒有直觀圖形，對于小學生而言，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關系難度很大。畫出示意圖之后，學生不僅理清了解題思路，還找到了多種解題方法。

現(xiàn)在？平方米20米▲5米 減少了150平方米▲▼▼方法1 150÷5=30（米）30×20=600（平方米）600-150=450（平方米）方法2 150÷5=30（米）20-5=15（米）30×15=450（平方米）

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在交流中，可以了解到方法1與方法2的解題關鍵是發(fā)現(xiàn)分割前后長方形的長不變，方法3的關鍵是發(fā)現(xiàn)原來長方形的寬與減少的長方形的寬呈倍數(shù)關系，那么分割前后，3個長方形的面積也成倍數(shù)關系。如果沒有幾何直觀的支撐，分割前后3個長方形邊長與面積的對應關系是很難被學生發(fā)現(xiàn)的。

幾何直觀是“用圖說話”，是形象思維與抽象思維的結(jié)合，是一種洞察數(shù)學知識本質(zhì)的重要方式。在日常教學中，作為一線教師，應充分挖掘素材，直觀地反映和揭示數(shù)學本質(zhì)，幫助學生理解掌握數(shù)學知識，感悟數(shù)學思想。

幾何直觀還是一種創(chuàng)造性思維和重要的數(shù)學思想方法，在學生解決問題的過程中有著不可替代的作用。為此，我們要為學生提供積累幾何直觀經(jīng)驗的時間與空間，提升其幾何直觀能力，讓幾何直觀促進學生的數(shù)學思考。

[1]曹培英.跨越斷層,走出誤區(qū)：“數(shù)學課程標準”核心的實踐解讀之四——幾何直觀（上）[J].小學數(shù)學教師,2013（6）：25-36.

[2]曹培英.跨越斷層,走出誤區(qū)：“數(shù)學課程標準”核心的實踐解讀之四——幾何直觀（下）[J].小學數(shù)學教師,2013（7,8）：12-20.

[3]馮崇和.幾何直觀：探索解決小學數(shù)學問題的重要手段[J].小學數(shù)學教與學,2014（11）：7-10.

[4]林曉捷.在數(shù)學教學中運用幾何直觀[J].小學數(shù)學教與學,2014（11）：18-20.

[5]王琴.數(shù)與代數(shù)領域強化幾何直觀的策略——一道英國小學數(shù)學畢業(yè)試題測試分析與思考[J].小學數(shù)學教與學,2014（11）：15-17.

[6]宋健泳.小學生幾何直觀能力發(fā)展的幾個階段[J].小學數(shù)學教師,2015（3）：66-69.

（編輯：胡 璐）

嚴育洪，江蘇省特級教師，江蘇省教育廳小學數(shù)學學科領軍人物，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”學術技術帶頭人，無錫市有突出貢獻中青年專家，無錫市教育專家委員會委員，無錫市錫山教師進修學校培訓部副主任。曾發(fā)表多篇教育論文，出版多本教育專著，其專著入選教育部基礎教育課程教材發(fā)展中心中小學圖書館（室）推薦書目，并被評為年度無錫市第十屆哲學社會科學優(yōu)秀成果，并被引出到馬來西亞出版發(fā)行。曾參加“國標本”蘇教版小學數(shù)學教材編寫，近百次赴全國各地講學；楊佳玲，江蘇省常熟市張橋中心小學數(shù)學教師，曾獲常熟市把握學科能力競賽一等獎，輔導學生撰寫的多篇數(shù)學小論文分別獲市一、二等獎。主要研究方向：中年級數(shù)學教學。

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1671-0568（2015）34-0070-04