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    調(diào)和級(jí)數(shù)1/n發(fā)散性的證明

    2015-12-09 16:56:11段佩
    教育教學(xué)論壇 2015年16期
    關(guān)鍵詞:積分法

    段佩

    摘要:級(jí)數(shù)是數(shù)與函數(shù)的一種重要表示形式,是微積分理論研究與實(shí)際應(yīng)用中的一種強(qiáng)有力的工具。在級(jí)數(shù)斂散性的討論中,調(diào)和級(jí)數(shù)的應(yīng)用很廣泛,關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的各種方法,對(duì)級(jí)數(shù)斂散性的學(xué)習(xí)和研究是有益的,特別是在其證明方面能起到舉一反三、融會(huì)貫通的作用。本文對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的證明方法進(jìn)行了整理,其中有些采用了與原證不同的敘述,但比原證更加具體明了。

    關(guān)鍵詞:調(diào)和級(jí)數(shù);發(fā)散性;部分和;積分法

    中圖分類號(hào):G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1674-9324(2015)16-0203-02

    1 引言

    級(jí)數(shù)是數(shù)與函數(shù)的一種重要表示形式,是微積分理論研究與實(shí)際應(yīng)用中的一種強(qiáng)有力的工具。而在級(jí)數(shù)斂散性的討論中,調(diào)和級(jí)數(shù)的應(yīng)用很廣泛。關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的各種方法,對(duì)級(jí)數(shù)斂散性的學(xué)習(xí)和研究是有益的,特別是在其證明方面能起到舉一反三、融會(huì)貫通的作用。本文對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的證明方法進(jìn)行了整理,其中有些采用了與原證不同的敘述,但比原證更加具體明了。

    2 調(diào)和級(jí)數(shù)的證明方法

    證法一:利用柯西收斂原理證明[1]

    證明:令ε■=■,?坌n∈N

    由S■-S■=■+■+…+■

    >■

    =■>■

    ∴該級(jí)數(shù)發(fā)散

    證法二:利用比階判斂法證明

    證明:當(dāng)P=1時(shí),■n■·■=■n·■=1>0

    根據(jù)比階判斂法可知,級(jí)數(shù)■■發(fā)散

    證法三:利用反證法證明

    證明:假設(shè)級(jí)數(shù)■■收斂,即1+■+■+…+■

    +…=S

    ∵■>■,n∈N

    ∴S=1+■+■+…+■+…

    =1+■+(■+■+■+…)+(■+■+■+…)

    ≥1+■+2(■+■+■+…)

    =1+■+(■+■+■+…)

    =■+S

    即S≥■+S,矛盾

    ∴假設(shè)不成立,■■發(fā)散

    證法四:將級(jí)數(shù)分成兩個(gè)級(jí)數(shù)證明

    證明:■■分為分母是奇數(shù)和偶數(shù)的兩個(gè)級(jí)數(shù)

    ■■=■+■+■+■+…+■+…和?搖

    ■■=1+■+■+■+■+…+■+…

    由于1>■>■>■>…>■>…

    ■2■·a■=■■=■■

    而■■=■

    ∴■2■·a■發(fā)散,即■2■·a■=■■=■■發(fā)散

    同理■■=■+■+■+…+■+…也發(fā)散

    ∴■■發(fā)散

    證法五:應(yīng)用級(jí)數(shù)■a■與■2■·a■有相同的斂散性(a■≥a■≥…≥a■≥…≥0)

    證明:取a■=■(n=1,2,…)1>■>■>…>■>0

    而級(jí)數(shù)■2■·a■=■2■·■=■1=+∞發(fā)散

    故調(diào)和級(jí)數(shù)■■發(fā)散

    證法六:利用Bertrand判別法證明■■發(fā)散

    證明:a■=■

    r=■(lnn)n(■-1)-1

    ?搖?搖?搖?搖=■(lnn)n(■-1)-1

    ?搖?搖?搖?搖=■(lnn)n·(■-1)-1

    ?搖?搖?搖?搖=■(lnn)n·■-1

    =0<1

    ∴級(jí)數(shù)■■發(fā)散

    證法七:證明部分和數(shù)列S■的子列S■發(fā)散

    證明:S■=1+■+■+…+■…

    S■=1+■+(■+■)+(■+■+■+■)+…+(■+■+…+■)

    >1+■+2×■+4×■+…+2■×■

    =1+(■)

    =1+■

    ∴■S■≥■(1+■)=+∞

    即■S■=+∞

    ∴S■發(fā)散,從而調(diào)和級(jí)數(shù)■■發(fā)散

    證法八:積分法證明調(diào)和級(jí)數(shù)■■發(fā)散

    證明:取f(x)=■,則f(x)在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減連續(xù),且f(n)=■

    ∵■■dx=■■■dx=■lnA=+∞

    ∴■■發(fā)散

    3 關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)■■的應(yīng)用舉例

    (1)判斷級(jí)數(shù)■■的收斂性。

    解:∵正項(xiàng)級(jí)數(shù)■>■=■,

    而■■發(fā)散的調(diào)和級(jí)數(shù)

    由比較判別法,級(jí)數(shù)■■發(fā)散

    (2)用比較判別法判斷1+■+■+■+…+■

    +…的斂散性。

    解:∵u■=■>■

    又■■=■■■

    調(diào)和級(jí)數(shù)■■是發(fā)散的,故■■發(fā)散

    根據(jù)比較判別法■■=1+■+■+■+…+■+…發(fā)散

    4 結(jié)語

    調(diào)和級(jí)數(shù)是判斷另外一個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散的一種重要工具,該級(jí)數(shù)的證明方法也精彩紛呈。本文綜合了一些證明,也給出了筆者根據(jù)有關(guān)定理對(duì)該級(jí)數(shù)的證明,有一定的創(chuàng)新意義。

    參考文獻(xiàn):

    [1]吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集(4)[M].費(fèi)定暉,周學(xué)圣,譯.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2005:2-16.endprint

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