不定積分第二類換元積分法的表述形式及其適用范圍

龐一成等

【摘要】 第二類換元積分法是計算不定積分的重要方法之一，在許多教材中具有不同的表達(dá)形式.本文指出一些教材在應(yīng)用所提供的第二類換元積分法求解一些不定積分時的矛盾之處，并給出其各種表達(dá)形式的適用范圍.

【關(guān)鍵詞】不定積分；不定積分換元積分法

【分類號】O172.2【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

1.引言

不定積分是《高等數(shù)學(xué)》中一個重要的內(nèi)容.不定積分的本質(zhì)是求一個一元未知函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)恰好是某一已知一元函數(shù).它既是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微分后知識的延伸，又是學(xué)習(xí)定積分以及多重積分知識的基礎(chǔ)，也是學(xué)好《高等數(shù)學(xué)》的關(guān)鍵.求解不定積分的常用方法有：第一類換元積分法（湊微分法）、第二類換元積分法、分部積分法、待定系數(shù)法、歐拉變換法等.一些教材限于篇幅，在用實例解釋第二類換元積分法時不嚴(yán)謹(jǐn)，以至于學(xué)生不能很好地掌握此方法，甚至還會感到迷惑.本文指出一些教材在應(yīng)用所提供的第二類換元積分法求解一些不定積分時的矛盾之處，并給出第二類換元積分法各種表達(dá)形式的適用范圍.

2.第二類換元積分法及其實例

在此例中，因為被積函數(shù)a2-x2是連續(xù)函數(shù)，所以應(yīng)用定理3表述的公式來解答，就不會出現(xiàn)上面的問題.

3.結(jié)束語

鑒于一些教材在應(yīng)用所陳述的第二類換元積分法求解一些不定積分時出現(xiàn)了一些矛盾，在教學(xué)時，本文建議，當(dāng)被積函數(shù)連續(xù)時，使用定理3表述的公式來計算不定積分是比較方便的；當(dāng)出現(xiàn)具有第二類間斷點的被積函數(shù)時，使用定理1、定理2、定理4表述的公式來求解是比較合適的.

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