《數(shù)學分析》中的分析與綜合方法研究

鄒健，宋述剛，陳忠 （長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州434023）

分析與綜合是歷史唯物主義與辯證唯物主義的基本思維方法之一，也是形式邏輯的方法之一［1］。按照哲學的觀點，分析是把整體事物分解為各個部分、方面、階段或要素，用相對靜止、孤立的觀點逐個加以研究的思維方法。分析即為化整為零。分析方法是多種多樣的，有定性分析、定量分析、因果分析、結(jié)構(gòu)分析、功能分析等。而綜合則是在分析的基礎(chǔ)上，將事物各個部分有機整合的思維方法。綜合即為積零為整。這種整合，不是簡單的、機械的部分相加，而是把思維對象的各個方面按其內(nèi)在聯(lián)系有機結(jié)合為一個統(tǒng)一的整體，從而把握事物的宏觀本質(zhì)的性質(zhì)。

分析與綜合雖然是2種不同的思維方法，但它們象一對孿生兄弟一樣，形影相隨，相互依賴，相互影響與轉(zhuǎn)化。首先，分析是綜合的前提和基礎(chǔ)，沒有系統(tǒng)、全面、科學的分析，就不可能有正確的綜合。其次，分析離不開綜合的指導(dǎo)，分析以綜合為目的，綜合是分析的完成。分析與綜合的思維過程是從感性具體到思維抽象，再從思維抽象到客觀具體的過程。一般的，前者多用分析法，后者多用綜合法。

《數(shù)學分析》的主要內(nèi)容是微積分理論，其創(chuàng)立者是英國科學家牛頓與德國科學家萊布尼茲［2，3］。微積分的創(chuàng)立是人類文明史上的一個里程碑，其理論在18、19世紀得到了極大的發(fā)展，形成了分析數(shù)學的基礎(chǔ)理論，并在物理學、化學、天文學、生物學等自然科學與工程技術(shù)中有著廣泛的重要應(yīng)用。在大學非數(shù)學專業(yè)中，關(guān)于微積分的課程被稱為《高等數(shù)學》，但在數(shù)學專業(yè)中，則稱為《數(shù)學分析》，這表明《數(shù)學分析》更著重強調(diào)微積分的分析綜合思想方法。

雖然微積分研究的對象是函數(shù)，但其研究的課題涉及到無窮的世界，包括無窮集合、無窮過程等，如實數(shù)集、無窮數(shù)列、無窮級數(shù)、數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分等。在《數(shù)學分析》中，有窮與無窮是一對典型的相互對立統(tǒng)一的矛盾。有窮中包含著無窮，而無窮更是包含著有窮，它們在一定的條件之下可以相互轉(zhuǎn)化。例如，有窮區(qū)間（0，1）包含了無窮多個點，無窮區(qū)間（0，＋∞）包含了無窮多個有窮區(qū)間；在變換y＝tanx之下，兩者相互轉(zhuǎn)化。

人類對無窮的認識，經(jīng)歷了一個艱難、漫長的過程。第1次數(shù)學危機（無理數(shù)危機）、第2次數(shù)學危機（無窮小量危機）、第3次數(shù)學危機（無窮集合悖論）都與對無窮的認識有關(guān)。無窮的世界千姿萬態(tài)，充滿了難以想象的奧秘。這是因為人的認識、思維過程乃至生命都是有限的。如何運用有限的思維過程去認識、把握無限的集合與變化過程？適當?shù)姆绞骄褪腔療o窮為有窮、化復(fù)雜為簡單，這就需要運用分析與綜合方法。

下面，筆者以《數(shù)學分析》課程中極限和定積分這2個重要概念為例，探討其中的分析與綜合方法。

1 極限概念中的分析與綜合方法

極限理論是《數(shù)學分析》的基礎(chǔ)與工具，而數(shù)列極限又是極限論的基本概念。這里，筆者僅以數(shù)列極限的概念為例，探討其中的分析與綜合方法?？紤]數(shù)列極限：

其定性的定義為：當n趨近于無窮大時，an無限趨近于a。如何尋求其定量的定義呢？事實上，an趨近于a是一個無窮的復(fù)雜過程，運用分析的方法，可以把它分解為各個變化階段，如：

對于進入每個變化階段，可以用相對靜止、孤立的觀點研究它們需要具備什么樣的條件。以具體的極限＝0為例，要求：

所得條件是自變量n必須分別大于某個正整數(shù)N＝10，N＝100，N＝500。這成為每個變化階段所具備的共性，即可以綜合為：對于給定的任意小的正數(shù)，總存在一個正整數(shù)，使得數(shù)列的項數(shù)大于這個正整數(shù)時，數(shù)列的變化進入相應(yīng)的階段。

正是運用了分析與綜合的方法，德國著名數(shù)學家魏爾斯特拉斯才首次給出了極限的現(xiàn)代定義。

運用同樣的思維方法，可以得到函數(shù)極限的定義。以此為基礎(chǔ)，又可定義函數(shù)連續(xù)的概念與導(dǎo)數(shù)的概念。

2 定積分概念中的分析與綜合方法

首先，使用分析法，將曲邊梯形用鉛錘的直線分割成若干個小的窄曲邊梯形，然后對每個小曲邊梯形，用孤立、靜止的觀點處理，將其近似看著小矩形，即函數(shù)f（x）在每個小區(qū)間［xi－1，xi］上看作是不變的，其值可任取f（ξi），ξi∈ ［xi－1，xi］。于是第i個小曲邊梯形面積近似值為f（ξi）Δxi（Δxi＝xi－xi－1）。

其次，使用綜合法，將各小曲邊梯形面積近似值相加，得到整個曲邊梯形面積的近似值：

但這僅僅是一個近似值，需要有機整合。不難發(fā)現(xiàn)，隨著分割越來越細密，和式（ξi）Δxi的近似程度就越高。因此，有機整合的手段就是讓分割T越來越細密，當分割的細度 ‖T‖ →0時，和式的極限（如果存在的話）就是該曲邊梯形的面積（精確值）。經(jīng)過抽象概括，即得定積分的定義：

由此可知，在定積分的定義中，分割、近似即為分析過程，作和、取極限則為綜合過程?？梢哉f，定積分的定義是分析法與綜合法相結(jié)合的完美范例。

運用同樣的思維方法，可以定義重積分、曲線積分、曲面積分等概念。

3 結(jié)語

《數(shù)學分析》現(xiàn)已成為現(xiàn)代分析數(shù)學（包括函數(shù)論、泛函分析、微分方程等學科）的重要基礎(chǔ)，因而學好該課程就顯得尤為重要。由于大學與中學數(shù)學教學的差異與銜接等問題，導(dǎo)致相對一部分大學新生往往不能適應(yīng)《數(shù)學分析》的學習，特別是感到基本概念難于理解，思維方式與表達形式不易掌握。因此，對《數(shù)學分析》課程中基本概念與思維方式教學的探討就顯得十分重要。極限、導(dǎo)數(shù)、積分等概念是《數(shù)學分析》中至關(guān)重要的基本概念，對它們的理解與掌握，是學好該課程的關(guān)鍵所在。而對這些概念的認識，又恰好是教學的重點與難點。由上所述，當了解了導(dǎo)入這些概念的分析與綜合的思想方法以后，化解難點、突出重點就變得迎刃而解了。當然，除了上述探討的分析與綜合思維方法以外，《數(shù)學分析》中還蘊含客觀世界普遍聯(lián)系與運動、發(fā)展的觀念，人類認識與實踐的觀念與規(guī)律，唯物辯證法的基本發(fā)展規(guī)律如質(zhì)量互變規(guī)律、對立統(tǒng)一規(guī)律、否定之否定規(guī)律等等［4］。因此，在《數(shù)學分析》教學中，注重相關(guān)的哲學思想與方法，可以提升教師與學生雙方的認識高度與水平，真正培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，對指導(dǎo)《數(shù)學分析》及其相關(guān)后繼課程的教學，提高教學質(zhì)量，都有十分重要的意義。

［1］李秀林，王于，李懷春 .辯證唯物主義和歷史唯物主義原理 ［M］.第5版，北京：中國人民大學出版社，2004.

［2］華東師大數(shù)學系 .數(shù)學分析 ［M］.第4版 .北京：高等教育出版社，2010.

［3］徐利治 .數(shù)學方法論選講 ［M］.第3版 .武漢：華中科技大學出版社，2000.

［4］張景中 .數(shù)學哲學 ［M］.北京：北京師范大學出版社，2010.