音樂(lè)信號(hào)小波閾值去噪模型及其應(yīng)用

鄭勛燁，陳保畢

（中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）數(shù)理學(xué)院，北京100083）

小波去噪的方法很多，如小波變換模極大值法、非線(xiàn)性小波閾值法、平移不變量法、屏蔽相關(guān)法以及多小波法等。閾值去噪法是最常用的一種小波去噪法。

1 小波閾值去噪方法

小波閾值濾波去噪方法的原理是信號(hào)經(jīng)小波變換后，其能量集中于少數(shù)小波系數(shù)［1］，由此可對(duì)變換系數(shù)進(jìn)行截?cái)嚅撝?，去除噪聲?/p>

含噪信號(hào)［2］形如：

式中，s i（）為含噪信號(hào)；x i（）為原始信號(hào)；z i（）是高斯白噪聲。

從含噪信號(hào)s（i）中重建原始信號(hào)x（i），可依如下步驟［3～5］進(jìn)行：①選擇合適的小波基和小波分解層數(shù)，將含噪信號(hào)作小波分解至層，得到相應(yīng)的小波分解系數(shù)。②對(duì)小波系數(shù)作閾值，得到原始信號(hào)小波系數(shù)估值。③作小波逆變換，將閾值后的小波系數(shù)重構(gòu)，得到原始信號(hào)。

去噪過(guò)程中的關(guān)鍵點(diǎn)如下：①選擇合適的小波基及小波分解層數(shù)；②選擇合適的小閾值和閾值函數(shù)。

2 選擇小波基和小波分解層數(shù)

確定合適的小波基和小波分解層數(shù)的解決方案如下：①依據(jù)小波優(yōu)越性判別標(biāo)準(zhǔn)，選擇具有較短緊支撐的正交小波基，擁有高階消失矩，對(duì)稱(chēng)性良好，且具有一定的光滑性。②選定小波分解層數(shù)J，將含噪信號(hào)分解至J層，得到相應(yīng)的系數(shù)。③改變小波分解層數(shù)J，重新進(jìn)行分解并比較去噪結(jié)果，直至獲得最合適的小波分解層數(shù)。在去噪的過(guò)程中，信號(hào)的分解層數(shù)不宜太大，一般取4～5層即可。

3 選擇閾值和閾值函數(shù)

3.1 選擇閾值函數(shù)

常用的閾值函數(shù)包括硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)和幾乎硬閾值函數(shù)［6，7］。

硬閾值函數(shù)形如：

式中，t為閾值；γ為小波系數(shù)。

軟閾值函數(shù)形如：

另外，還有一種幾乎硬閾值函數(shù)，其定義為：

鑒于軟閾值處理方法在某些方面優(yōu)于硬閾值處理方法，筆者采用軟閾值函數(shù)。

3.2 選擇閾值t

通?？梢罁?jù)sqtwolog規(guī)則、rigrsure規(guī)則、minimaxi規(guī)則和heursure規(guī)則［8，9］來(lái)選取閾值t。 以下均設(shè)含噪信號(hào)x（t）在尺度1～j（1＜j＜J）上的小波系數(shù)總個(gè)數(shù)和為n，J為二進(jìn)尺度，噪聲均方差為σ。

1）通用閾值t1（sqtwolog規(guī)則）。通用閾值定義為：

2）Stein無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值t2（rigrure規(guī)則）?；跓o(wú)偏似然估計(jì)原理，計(jì)算給定閾值t的極大似然估計(jì)，再將t最小化，即得Stein無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值。

設(shè)向量W 的元素是從小到大順序排列的小波系數(shù)的平方，即W＝（w1，w2，…，wn）且w1＜w2＜…＜wn，設(shè)風(fēng)險(xiǎn)向量R的元素為：

以最小元素值rb為風(fēng)險(xiǎn)值，由rb的下標(biāo)b確定對(duì)應(yīng)的wb，則Stein無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值為：

3）試探法的無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值t3（heursure規(guī)則）。設(shè)n個(gè)小波系數(shù)平方和為s，令：

則試探法的無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值定義為：

4）極小極大準(zhǔn)則閾值t4（minimaxi規(guī)則）。這是一種實(shí)現(xiàn)原始信號(hào)與去噪信號(hào)的最大均方誤差最小化的固定閾值，定義為：

式中，W1，k表示尺度為1的小波系數(shù)。

選擇好合適的小波基、小波分解層數(shù)以及合適的小波閾值和閾值函數(shù)，就可以對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行小波濾波處理。

4 小波去噪性能的評(píng)價(jià)原則

評(píng)價(jià)去噪結(jié)果的原則主要有：①光滑性。去噪后信號(hào)與原信號(hào)至少同等光滑。②相似性。去噪后信號(hào)與原信號(hào)的誤差實(shí)現(xiàn)最小化。實(shí)踐中，分別用去噪信號(hào)與原始信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差，以及去噪信號(hào)與原始信號(hào)的能量比來(lái)體現(xiàn)這2個(gè)原則。

此外，最關(guān)注的是去噪后的效果。對(duì)此，筆者通過(guò)信噪比來(lái)衡量。其定義如下：

式中，x（n）為處理前的音樂(lè)信號(hào)；x（n）為處理后的音樂(lè)信號(hào)。

5 小波閾值濾波音樂(lè)去噪模型及結(jié)果分析

筆者選擇不同類(lèi)型的小波做仿真試驗(yàn)，分別采用全局閾值和分層閾值去噪法，來(lái)觀察不同的小波選擇對(duì)去噪結(jié)果的影響。同時(shí)，選擇某種固定的小波，比較這2種去噪方法的優(yōu)劣。下面，筆者通過(guò)歌曲《butterfly》中的一段音樂(lè)信號(hào)進(jìn)行去噪來(lái)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行闡述。所添加的噪聲為隨機(jī)噪聲。

5.1 小波全局閾值去噪模型及結(jié)果分析

編寫(xiě)程序，利用db4、sym8、coif5小波，分解層數(shù)為4層［10］。試驗(yàn)結(jié)果如表1、圖1～3所示。

由表1、圖1～3可以看出，不論采用何種小波，全局閾值去噪法都能使信號(hào)的能量得到最大限度的保留；不同的小波對(duì)信號(hào)的能量比影響并不大，只是對(duì)信號(hào)的信噪比影響較顯著。db4小波所得的信噪比略高，這說(shuō)明在信號(hào)去噪過(guò)程中小波的選擇對(duì)去噪結(jié)果有重要影響。

表1 全局閾值去噪的結(jié)果

圖1 全局閾值去噪的db4小波分解結(jié)果示意圖

圖2 全局閾值去噪的sym8小波分解結(jié)果示意圖

5.2 小波分層閾值去噪模型及結(jié)果分析

表2 分層閾值去噪的結(jié)果

全局閾值并沒(méi)有充分應(yīng)用每一層所分解的小波系數(shù)。因此，作為對(duì)全局閾值去噪法的一種改進(jìn)，筆者利用分層閾值對(duì)小波系數(shù)處理。試驗(yàn)中，所采用的小波是db4、sym8、coif5，分解層數(shù)為4層。所得結(jié)果如表2和圖4～6所示。

圖3 全局閾值去噪的coif5小波分解結(jié)果示意圖

圖4 分層閾值去噪的db4小波分解結(jié)果示意圖

圖5 分層閾值去噪的sym8小波分解結(jié)果示意圖

圖6 分層閾值去噪的coif5小波分解結(jié)果示意圖

從表2和圖4～6可以看出：相對(duì)于全局閾值去噪法，信號(hào)的能量比有所提升，這主要是閾值對(duì)每一層的小波分解系數(shù)都進(jìn)行作用，濾去了更多的噪聲信息能量；和全局閾值去噪法相同，不同的小波對(duì)信號(hào)能量比和信噪比影響并不大；和全局閾值去噪法相比，標(biāo)準(zhǔn)偏差減小，信號(hào)的整體光滑性得到增強(qiáng)。

5.3 不同分解層數(shù)對(duì)去噪結(jié)果的影響

利用db4小波，對(duì)含噪音樂(lè)信號(hào)分別作分層閾值法的3、4、5、6、7層分解。所得數(shù)據(jù)與結(jié)果如表3和圖7～11所示。

通過(guò)上述試驗(yàn)結(jié)果可以得出如下結(jié)論：①隨著分解層數(shù)的增加，音樂(lè)信號(hào)的能量百分比呈下降趨勢(shì)。主要原因在于：由于分解層數(shù)的增加，每一層的分解系數(shù)都被閾值所作用。這樣，被濾去的信號(hào)的有效成分就越多，從而使得信號(hào)能量百分比降低。②隨著分解層數(shù)的增加，信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差越來(lái)越大。這說(shuō)明信號(hào)的分解層數(shù)越多，信號(hào)的局部光滑性得到了增強(qiáng)，然而信號(hào)的整體相似性卻降低了。③隨著分解層數(shù)的增加，信噪比先增加，后下降。這說(shuō)明剛開(kāi)始隨著信號(hào)分解層數(shù)的增加，噪聲得到了有效去除。然而，隨著分解層數(shù)進(jìn)一步地增加（比如分解到8層時(shí)），信號(hào)的某些有效成分被作為噪聲錯(cuò)誤地去除了，從而使得信噪比降低。因此，在去噪的過(guò)程中，信號(hào)的分解層數(shù)不宜太大，一般取4～5層即可。

表3 不同分解層數(shù)對(duì)去噪效果的影響的模擬結(jié)果

6 結(jié)語(yǔ)

雖然小波閾值去噪方法簡(jiǎn)單易用，但和語(yǔ)音信號(hào)不同，在音樂(lè)信號(hào)中，還摻雜著樂(lè)器演奏所發(fā)出的聲音。因此，在現(xiàn)有的噪聲估計(jì)模型中，很有可能把音樂(lè)當(dāng)作噪聲來(lái)進(jìn)行處理，使得重構(gòu)系數(shù)變小。由此可以看出，今后對(duì)于音樂(lè)去噪的研究，應(yīng)該建立一種和語(yǔ)音信號(hào)不同的閾值估計(jì)模型來(lái)加強(qiáng)樂(lè)音和噪聲之間的識(shí)別，這樣才能使音樂(lè)去噪的效果更好。

圖7 分解層數(shù)為3時(shí)去噪效果圖

圖8 分解層數(shù)為4時(shí)去噪效果圖

圖9 分解層數(shù)為5時(shí)去噪效果圖

圖10 分解層數(shù)為6時(shí)去噪效果圖

圖11 分解層數(shù)為7時(shí)去噪效果圖

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