基于貝葉斯方法的歷史建筑砌體抗壓強(qiáng)度推定

彭 斌，汪瀾涯，李 翔，付想平

（1.上海理工大學(xué) 環(huán)境與建筑學(xué)院，上海 200093；2.同濟(jì)大學(xué) 建筑工程系，上海 200092）

砌體材料在中國(guó)現(xiàn)存歷史建筑中被大量使用，砌體材料的抗壓強(qiáng)度（以下簡(jiǎn)稱強(qiáng)度）是衡量這些歷史建筑安全性的重要指標(biāo).但是，受建筑現(xiàn)狀和現(xiàn)場(chǎng)條件限制，可獲得的砌體強(qiáng)度實(shí)測(cè)樣本非常有限，且量測(cè)誤差明顯；同時(shí)，歷史建筑中砌體材料的生產(chǎn)工藝與現(xiàn)代不同，在長(zhǎng)期使用中已受諸多因素影響，利用現(xiàn)行規(guī)范推定其強(qiáng)度，存在模型誤差.因此，對(duì)歷史建筑砌體強(qiáng)度的合理推定比較困難［1］.首先，采用少數(shù)離散樣本的統(tǒng)計(jì)特征值進(jìn)行估計(jì)，明顯違背大數(shù)定律，如果樣本序列過于離散，不得不舍棄部分樣本，從而進(jìn)一步減少了實(shí)測(cè)信息量.其次，對(duì)于歷史建筑中同一檢測(cè)單元的砌體強(qiáng)度，既可由現(xiàn)場(chǎng)原位測(cè)試來推定（直接法），也可在測(cè)得塊體和砂漿的強(qiáng)度后用模型來推定（間接法）［2］，2 種方法推定的強(qiáng)度值差異明顯.

在影響因素眾多、量測(cè)誤差明顯和實(shí)測(cè)信息量不足時(shí)，合理利用可靠的先驗(yàn)信息，對(duì)于強(qiáng)度的推定非常重要.貝葉斯方法是利用先驗(yàn)信息的有效方法［3］.在處理既有結(jié)構(gòu)材料參數(shù)的主觀不確定性時(shí)，采用該方法能夠以原設(shè)計(jì)中的先驗(yàn)信息修正實(shí)測(cè)信息量的不足［4］.在推定結(jié)構(gòu)剩余承載力［5］或砌體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)剛度、材料彈性模量時(shí)［6］，采用該方法可賦予先驗(yàn)信息和實(shí)測(cè)信息合理的權(quán)重，避免先驗(yàn)信息的作用被低估或放大.

為合理推定歷史建筑中砌體強(qiáng)度，本文先建立磚強(qiáng)度和砂漿強(qiáng)度的概率密度函數(shù)（probability density function，PDF），并據(jù)此建立砌體強(qiáng)度推定的似然函數(shù)；再基于貝葉斯方法，合并直接法和間接法的實(shí)測(cè)信息，在推定砌體強(qiáng)度的同時(shí)，定量描述推定結(jié)果的不確定性.

1 貝葉斯方法及其數(shù)值實(shí)現(xiàn)

在參數(shù)分布的總體模型估計(jì)和先驗(yàn)概率密度模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合新增實(shí)測(cè)樣本，按如下貝葉斯公式，更新待定參數(shù)的先驗(yàn)概率密度模型［7］：

式中：θ為待定參數(shù)；D 為新增實(shí)測(cè)樣本；P（θ｜D）是θ的后驗(yàn)概率密度函數(shù)；P（D｜θ）和L（θ）是似然函數(shù)，表示在θ已知的條件下獲得新增實(shí)測(cè)樣本D 的概率；P（θ）為θ的先驗(yàn)概率密度函數(shù)，可根據(jù)之前的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)或其他先驗(yàn)信息（包括經(jīng)驗(yàn)判斷）來確定；P（D）為獲得該組新增實(shí)測(cè)樣本D 的概率密度函數(shù)；k為正則化因子，k＝1／P（D）；Q（θ）是似然函數(shù)與先驗(yàn)概率密度函數(shù)的積.可以證明，無(wú)論θ為何種分布，用P（θ｜D）對(duì)其進(jìn)行估計(jì)的結(jié)果，與所有的已知實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相比，具有最小的均方誤差（mean square error，MSE）；當(dāng)θ嚴(yán)格服從正態(tài)分布時(shí)，貝葉斯方法與極大似然估計(jì)法或最小二乘估計(jì)法等效.

由于正則化因子k難以確定，很難用式（1）直接得到P（θ｜D）的解析表達(dá)式.此時(shí)可用馬尓科夫蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）方法，通過抽樣重構(gòu)P（θ｜D）.Metropolis－Hasting（MH）抽樣方法是有效的MCMC 方法之一，其過程為［7］：

（1）隨機(jī)選擇參數(shù)樣本值ξ.

（2）按式（2）計(jì)算比值ri：

式中：θi是第i 個(gè)樣本；Q（ξ），Q（θi）是式（1）中的似然函數(shù)與先驗(yàn)概率密度函數(shù)的乘積；P＊（θi｜ξ），P＊（ξ｜θi）是隨機(jī)選取的建議概率密度函數(shù).

（3）從均勻分布（0，1）中隨機(jī)抽樣1個(gè)值αi.

（4）如果ri＞αi，則接受ξ，令θi＋1＝ξ；否則拒絕ξ，令θi＋1＝θi.返回第（2）步.

MH 方法認(rèn)為，當(dāng)ξ被接受的潛在可能性P＊（ξ｜θi）較大時(shí)，應(yīng)該降低接受其作為樣本的概率（即降低ri），以免該值的影響被過分放大.這樣可以使抽樣范圍較快遍布樣本空間，獲得P（θ｜D）的全面信息［7］.為降低MH 方法得到的相鄰樣本間的相關(guān)性，本文抽樣時(shí)放棄前200個(gè)抽樣值，并根據(jù)樣本序列的自相關(guān)函數(shù)，放棄顯著相關(guān)的樣本.

2 歷史建筑砌體強(qiáng)度的概率模型

GB 50153—2008《工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》明確規(guī)定材料強(qiáng)度宜采用正態(tài)分布模型或?qū)?shù)正態(tài)分布模型，GB／T 50315—2011《砌體工程現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》給出了根據(jù)實(shí)測(cè)樣本的統(tǒng)計(jì)特征值推定磚強(qiáng)度和砂漿強(qiáng)度的方法.但由于歷史建筑砌體強(qiáng)度受眾多因素影響，在獨(dú)立測(cè)試時(shí)，其樣本值通常十分離散，且其分布形態(tài)也與正態(tài)分布相去甚遠(yuǎn)，導(dǎo)致總體信息相當(dāng)有限.此時(shí)若仍采用樣本統(tǒng)計(jì)特征值代表總體，不符合大數(shù)定律，存在明顯的偏差.因此，本文把對(duì)數(shù)正態(tài)分布和樣本統(tǒng)計(jì)特征值僅作為先驗(yàn)信息的一種，而不作為直接推定的依據(jù).另外，由于歷史建筑中磚和砂漿的生產(chǎn)工藝、砌筑方式等與現(xiàn)行技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)不符，因此將無(wú)主觀信息的區(qū)間均勻分布作為另一種先驗(yàn)信息.

對(duì)于歷史建筑，直接法或間接法獲得的砌體強(qiáng)度樣本數(shù)量均有限，且現(xiàn)場(chǎng)量測(cè)誤差較大，同時(shí)間接法所用的強(qiáng)度計(jì)算模型并不完善.這使2種方法的推定值有明顯差異.為增加砌體強(qiáng)度推定結(jié)果中的實(shí)測(cè)信息量，減小推定結(jié)果的不確定性，下文通過貝葉斯方法來合并直接法和間接法檢測(cè)的信息，并估計(jì)強(qiáng)度計(jì)算模型誤差的影響.

3 歷史建筑砌體材料抗壓強(qiáng)度的似然函數(shù)

現(xiàn)行GB 50003—2011《砌體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》中采用以下模型來間接確定砌體強(qiáng)度：

式中：fm為砌體強(qiáng)度平均值；f1為塊體強(qiáng)度的等級(jí)值；f2為砂漿強(qiáng)度的平均值；α為與塊體高度有關(guān)的參數(shù)；k1為反映塊體種類的參數(shù)；k2為采用低強(qiáng)度等級(jí)砂漿時(shí)的修正系數(shù).

中國(guó)超過3 000組的試驗(yàn)結(jié)果表明，式（3）反映了砌體強(qiáng)度的主要規(guī)律［8］.但砌體強(qiáng)度還受到塊體和砂漿彈性模量、塊體的吸水程度和灰縫的飽滿程度等諸多因素的影響，這些在式（3）中均未反映，因此用式（3）推定砌體強(qiáng)度時(shí)存在模型誤差.

為構(gòu)造砌體強(qiáng)度平均值fm的似然函數(shù)，對(duì)式（3）兩邊取對(duì)數(shù)，得到：

式中：γ為模型誤差.

在測(cè)試過程無(wú)系統(tǒng)誤差時(shí)，γ 服從均值為0 的正態(tài)分布［7］.參照GB 50153—2008 標(biāo)準(zhǔn)，取f1，f2為對(duì)數(shù)正態(tài)分布.由式（5）可知Fm服從正態(tài)分布，且：

式中：μFm，μF1，μF2分別為Fm，F(xiàn)1，F(xiàn)2的均值；，分別為Fm，F(xiàn)1，F(xiàn)2的方差.

當(dāng)通過直接法獲取砌體強(qiáng)度的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)后，可建立如下似然函數(shù)：

式中：n 為原位測(cè)試的次數(shù)；Fm，i為第i 次原位 測(cè)試的值.將式（6）代入式（7），可以得到：

基于貝葉斯方法，可合并直接法實(shí)測(cè)信息Fm，i和間接法實(shí)測(cè)信息，并結(jié)合先驗(yàn)概率密度模型來推定歷史建筑砌體強(qiáng)度.

4 歷史建筑砌體強(qiáng)度的檢測(cè)

4.1 燒結(jié)黏土磚強(qiáng)度f(wàn)1的檢測(cè)

某歷史建筑中的承重墻體采用燒結(jié)黏土磚砌筑.通過現(xiàn)場(chǎng)回彈測(cè)試和取樣進(jìn)行抗壓強(qiáng)度試驗(yàn)來獲得磚強(qiáng)度的樣本.

現(xiàn)場(chǎng)回彈測(cè)試時(shí)，將整幢建筑的承重墻體劃分為1個(gè)檢測(cè)單元，在該檢測(cè)單元中選取4個(gè)典型部位作為測(cè)區(qū)，在每個(gè)測(cè)區(qū)內(nèi)嚴(yán)格按照GB／T 50315—2011標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行回彈測(cè)試并評(píng)定強(qiáng)度等級(jí).另外，切割測(cè)區(qū)中的灰縫砂漿將單塊磚完整取出，共獲取6個(gè)抗壓強(qiáng)度試件，按照GB／T 5101—2003《燒結(jié)普通磚》進(jìn)行抗壓強(qiáng)度試驗(yàn).評(píng)定和試驗(yàn)結(jié)果見表1.

表1 抗壓強(qiáng)度樣本Table 1 Samples of compressive strength N／mm2

表1中f1的測(cè)試數(shù)據(jù)反應(yīng)了磚強(qiáng)度的不確定性.受現(xiàn)場(chǎng)條件的限制，無(wú)法獲取更多的樣本，而可獲取的有限強(qiáng)度樣本值之間差異顯著，因此樣本的統(tǒng)計(jì)特征值不能代表檢測(cè)單元的強(qiáng)度.

基于貝葉斯方法推定磚強(qiáng)度時(shí)，采用回彈測(cè)試的結(jié)果建立磚強(qiáng)度的先驗(yàn)概率密度模型，用抗壓強(qiáng)度試驗(yàn)結(jié)果來更新磚強(qiáng)度的先驗(yàn)概率密度模型.

4.2 砂漿強(qiáng)度f(wàn)2的檢測(cè)

該歷史建筑中的承重墻體采用的是石灰黏土砂漿.根據(jù)GB／T 50315—2011標(biāo)準(zhǔn)，將整幢建筑的承重墻體作為1個(gè)檢測(cè)單元，鑿開粉刷層后，采用貫入法測(cè)定灰縫砂漿的強(qiáng)度.

在磚塊回彈測(cè)試的部位確定5 個(gè)測(cè)區(qū)，獲得5個(gè)換算強(qiáng)度（即強(qiáng)度平均值）樣本，結(jié)果如表1所示.根據(jù)砂漿強(qiáng)度等級(jí)的確定方法，可建立砂漿強(qiáng)度的先驗(yàn)概率密度模型.

在磚塊取樣的部位，獲得4個(gè)換算強(qiáng)度樣本，結(jié)果見表1.這4個(gè)樣本值用于更新砂漿強(qiáng)度的先驗(yàn)概率密度模型.

4.3 砌體強(qiáng)度f(wàn) 的現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)

參照GB／T 50315—2011 標(biāo)準(zhǔn)，在磚和砂漿強(qiáng)度測(cè)區(qū)中選擇3個(gè)典型部位，將承重墻體開槽后進(jìn)行原位軸壓法測(cè)試，其結(jié)果見表1.

5 基于貝葉斯方法的砌體強(qiáng)度推定

5.1 強(qiáng)度的后驗(yàn)概率模型

對(duì)于磚強(qiáng)度，分別采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布和均勻分布作為先驗(yàn)概率密度模型，再采用MH 方法獲得后驗(yàn)概率密度模型.對(duì)數(shù)正態(tài)分布先驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，根?jù)表1中的磚強(qiáng)度，均值取為8.2 N／mm2，方差取為0.90；均勻分布先驗(yàn)概率密度模型中，先由表1中磚強(qiáng)度所有數(shù)據(jù)的最大值和最小值來確定區(qū)間長(zhǎng)度，再乘以2得到上下界［2.2，12.2］.磚強(qiáng)度的后驗(yàn)概率密度模型如圖1所示，其中p 為概率密度.由圖1可見，由于變異系數(shù)δ很小，模型偏度不明顯.

圖1 磚強(qiáng)度的后驗(yàn)概率密度模型Fig.1 Posterior PDFs for compressive strength of brick

采用同樣的方法獲取砂漿強(qiáng)度的后驗(yàn)概率密度模型，如圖2所示.其對(duì)數(shù)正態(tài)分布先驗(yàn)概率密度模型中，均值取表1中砂漿強(qiáng)度前5個(gè)測(cè)區(qū)的樣本均值，即0.3N／mm2，方差取為0.01；均勻分布先驗(yàn)概率密度模型中，先由表1中砂漿強(qiáng)度所有數(shù)據(jù)的最大值和最小值來確定區(qū)間長(zhǎng)度，再乘以2，并考慮強(qiáng)度值非負(fù)，得到上下界［0，1.55］.

圖2 砂漿強(qiáng)度的后驗(yàn)概率密度模型Fig.2 Posterior PDFs for compressive strength of mortar

在磚強(qiáng)度的后驗(yàn)概率密度模型中，取變異系數(shù)較小的模型（圖1（a））確定μF1，分別 為3.6，0.001；在砂漿強(qiáng)度的后驗(yàn)概率密度模型中，取變異系數(shù)較小的模型（圖2（a））確定μF2，分別為－0.7，0.039；再合并表1中砌體強(qiáng)度的數(shù)據(jù)來更新似然函數(shù)式（8）.分別采用［0，0.01］，［0，0.05］和［0，0.1］內(nèi)的無(wú)信息均勻分布先驗(yàn)概率密度模型，并采用MH 方法進(jìn)行抽樣，獲得砌體強(qiáng)度推定誤差的后驗(yàn)概率密度模型，如圖3所示.由圖3可見，基于不同先驗(yàn)概率密度模型的后驗(yàn)概率密度模型均值和變異系數(shù)接近，即先驗(yàn)概率密度模型的差異對(duì)的不確定性影響較小.

5.2 砌體強(qiáng)度推定結(jié)果

將圖1～3中后驗(yàn)概率密度模型的統(tǒng)計(jì)特征值分別代入式（6a）和式（6b），可確定砌體抗壓強(qiáng)度的對(duì)數(shù)Fm服從正態(tài)分布N（－0.27，0.25）.再根據(jù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布特征，可推定fm＝0.9N／mm2，fm的不確定性程度可由圖3定量給出.

根據(jù)表1，采用間接法時(shí)，砌體強(qiáng)度可推定為0.6N／mm2；采用直接法時(shí)，砌體強(qiáng)度可推定為0.7N／mm2.直接法和間接法推定結(jié)果之間有差異，由模型誤差、量測(cè)誤差等導(dǎo)致的不確定性難以衡量；并且間接法中的砂漿強(qiáng)度和直接法中的砌體強(qiáng)度均由相應(yīng)樣本中的最小值確定，從而丟失了其他樣本的信息.而基于貝葉斯方法的推定結(jié)果利用了所有實(shí)測(cè)樣本和可靠的先驗(yàn)判斷，其信息量比單獨(dú)通過間接法或直接法獲得的推定值更為豐富.

圖3 的后驗(yàn)概率密度模型Fig.3 Posterior PDFs forσ2γ

5.3 貝葉斯方法推定結(jié)果的性質(zhì)

基于貝葉斯方法的歷史建筑砌體強(qiáng)度推定過程不舍棄實(shí)測(cè)樣本，保證了推定結(jié)果中實(shí)測(cè)信息的完整性，滿足大數(shù)定律的要求.推定結(jié)果結(jié)合了先驗(yàn)信息和實(shí)測(cè)信息，并自動(dòng)對(duì)這2類信息賦予合理的權(quán)重.如果實(shí)測(cè)信息的不確定性較小，其將獲得較大的權(quán)重，此時(shí)先驗(yàn)概率密度模型的差異將不會(huì)顯著影響后驗(yàn)概率密度模型的統(tǒng)計(jì)參數(shù)（見圖1）.如果實(shí)測(cè)信息較為離散，則由不同先驗(yàn)概率密度模型所得后驗(yàn)概率密度模型的均值差異較明顯，且變異系數(shù)都很大（見圖2），此時(shí)抽樣過程更依賴于先驗(yàn)信息.這說明在現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)信息不足的條件下，可靠的先驗(yàn)信息對(duì)于強(qiáng)度的估計(jì)具有重要的意義.此時(shí)為避免主觀性的影響，應(yīng)采用不同的先驗(yàn)概率密度模型進(jìn)行MH 抽樣，然后對(duì)相應(yīng)的后驗(yàn)概率密度模型進(jìn)行對(duì)比分析.

基于貝葉斯方法的強(qiáng)度推定結(jié)果具有可擴(kuò)展性，適用于砌體強(qiáng)度的長(zhǎng)期觀測(cè).當(dāng)獲得新的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，可將已有的后驗(yàn)概率密度模型作為先驗(yàn)信息，重新啟動(dòng)推定過程進(jìn)一步更新.如果砌體強(qiáng)度穩(wěn)定，推定結(jié)果的不確定性將隨實(shí)測(cè)信息的累積而不斷減??；如果砌體強(qiáng)度受外部環(huán)境或其他因素影響而發(fā)生改變，則后續(xù)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)將更新已有的判斷.

強(qiáng)度的后驗(yàn)概率模型可定量表示推定結(jié)果的不確定性，對(duì)于決策非常有利.由圖2中后驗(yàn)概率密度模型的統(tǒng)計(jì)特征，可分別推定砂漿強(qiáng)度值為0.5N／mm2（正態(tài)先驗(yàn)）和0.6N／mm2（均勻先驗(yàn)）；根據(jù)后驗(yàn)概率密度模型的變異系數(shù)，可判定0.5N／mm2具有較小的不確定性.對(duì)比圖1，2中后驗(yàn)概率密度模型的變異系數(shù)可知，實(shí)測(cè)的磚強(qiáng)度比砂漿強(qiáng)度更可靠，這符合砌體強(qiáng)度現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)時(shí)砂漿風(fēng)化程度較高的一般規(guī)律.

基于貝葉斯方法的強(qiáng)度推定結(jié)果含義豐富.首先，模型誤差的方差的后驗(yàn)概率密度模型可作為決策的定量依據(jù)的最優(yōu)值可通過逐次搜索確定.如圖3所示，先驗(yàn)概率密度模型為均勻分布時(shí)，其下界為0，逐次變化上界，可分別獲得的后驗(yàn)概率密度模型；當(dāng)后驗(yàn)概率密度模型的統(tǒng)計(jì)參數(shù)趨于穩(wěn)定時(shí)，可將該模型的均值作為的估計(jì)值.其次，砌體強(qiáng)度對(duì)各因素的敏感性可由各因素的后驗(yàn)概率密度模型來定量描述.由式（6b）以及圖1，2中后驗(yàn)概率密度模型的統(tǒng)計(jì)特征可知，砂漿強(qiáng)度的不確定性對(duì)砌體強(qiáng)度推定結(jié)果的不確定性影響較大.這與當(dāng)前工程實(shí)踐中的情況一致，可作為工程問題的理論解釋.最后，對(duì)于歷史建筑，現(xiàn)場(chǎng)條件對(duì)直接法限制較大，此時(shí)可通過增加間接法的實(shí)測(cè)樣本數(shù)來降低強(qiáng)度推定結(jié)果的不確定性，式（8）為此提供了理論依據(jù).

6 結(jié)論

（1）貝葉斯方法不舍棄實(shí)測(cè)樣本，保證了推定結(jié)果中實(shí)測(cè)信息的完整性.通過累積實(shí)測(cè)信息可以不斷更新推定結(jié)果，以經(jīng)濟(jì)、有效的方式實(shí)現(xiàn)砌體強(qiáng)度的長(zhǎng)期觀測(cè).

（2）貝葉斯方法定量給出了推定結(jié)果的不確定性及其對(duì)各影響因素的依賴程度，有利于客觀分析和決策.推定結(jié)果表明，砂漿強(qiáng)度的不確定性對(duì)砌體強(qiáng)度推定結(jié)果的影響顯著.

（3）貝葉斯方法可將直接法和間接法獲得的砌體強(qiáng)度信息相結(jié)合，從而降低推定結(jié)果的不確定性.該方法從理論上說明，對(duì)于歷史建筑，可通過增加間接法的實(shí)測(cè)樣本數(shù)來獲得更為合理的砌體強(qiáng)度推定結(jié)果.

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