結(jié)合函數(shù)圖像判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)

劉輝

有關(guān)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的兩個(gè)結(jié)論和一個(gè)推論：

結(jié)論1：方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根<=>函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn)㈢函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)。

結(jié)論2：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不間斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也就是方程f（x）=O的實(shí)數(shù)根。

推論：方程f（x）-g（x）=O有實(shí)數(shù)根<=>函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有交點(diǎn)<=>函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有零點(diǎn)。

下面利用函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想，舉例分析函數(shù)零點(diǎn)問題，并從中體會(huì)數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)越性。

例1 方程的根的個(gè)數(shù)是______。

解法1：構(gòu)造函數(shù)所以f（x）在（1，e）內(nèi)有零點(diǎn)。又f（x）在（O，+∞）上為增函數(shù)，所以f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)僅有1個(gè)零點(diǎn)。

解法2：令

在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與g（x）=Inx的圖像（如圖1），由圖像可知，兩條曲線只有1個(gè)交點(diǎn)，所以此方程只有1個(gè)根。

評(píng)析：在解法l中，既要求出，還要說明。在定義域內(nèi)是單調(diào)的，這樣才能得出方程僅有1個(gè)根。

側(cè)2 判斷方程的根的個(gè)數(shù)。

解：令，在同一直角坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像（如圖2）。

由圖像可知，方程只有1個(gè)根。

評(píng)析：結(jié)合函數(shù)圖像解決零點(diǎn)問題比利用零點(diǎn)存在性定理求解要簡(jiǎn)單得多。

例3 設(shè)a為常數(shù)，試討論方程lg（x-l）+lg（3-x）=lg（a-x）的實(shí)根個(gè)數(shù)。

解法1：原方程中x應(yīng)滿足的條件是：

原方程等價(jià)變形為

令，在同一直角坐標(biāo)系中分別作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像（如圖3）。

由方程可知當(dāng)△=0，即時(shí)，此方程有1個(gè)實(shí)根。

結(jié)合圖像可知，當(dāng)a≤1或a>時(shí)，方程沒有實(shí)根；當(dāng)a≤3時(shí)方程有1個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)方程有2個(gè)實(shí)根。

解法2：原方程等價(jià)于：

令在同一直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像（如圖4）。

由圖像可知，動(dòng)直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（略）。

評(píng)析：結(jié)合函數(shù)圖像解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，往往可以避免復(fù)雜的運(yùn)算和分析，只要作圖相對(duì)準(zhǔn)確，一般可以很快得出正確的結(jié)論。