帶時(shí)間窗報(bào)童問題的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)優(yōu)化

陳 歡， 李 芳

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

報(bào)童問題模型是歐美等發(fā)達(dá)國(guó)家研究的主要管理學(xué)模型，是典型的單階段、隨機(jī)需求模型.在不確定需求的時(shí)令性商品的銷售中，過量訂貨或不足訂貨都會(huì)產(chǎn)生損失，決策者需要確定商品的最優(yōu)訂購(gòu)數(shù)量，使得利潤(rùn)最大化.由于服務(wù)業(yè)產(chǎn)品多數(shù)具備報(bào)童模型中的商品特征，隨著服務(wù)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，對(duì)于報(bào)童問題模型的研究越顯重要.

報(bào)童模型1956年首次提出后，就成為學(xué)術(shù)界的關(guān)注焦點(diǎn)，大量學(xué)者對(duì)此問題進(jìn)行了研究.在報(bào)童問題的模型研究方面，Parlar等［1］在目標(biāo)函數(shù)方面進(jìn)行了擴(kuò)展，研究了多目標(biāo)的報(bào)童問題；Petruzzi等［2］和Erlebacher［3］擴(kuò)展了經(jīng)典報(bào)童問題中的定價(jià)決策；宋華明等［4］建立了決策變量為訂貨點(diǎn)及訂貨量的正態(tài)分布下時(shí)變參數(shù)的報(bào)童問題的數(shù)學(xué)模型；吳鵬［5］考慮了在回收再制造活動(dòng)情形下的最優(yōu)生產(chǎn)量的決策問題；黃宇菲等［6］研究了單位生產(chǎn)成本和單位缺貨懲罰成本對(duì)報(bào)童問題最優(yōu)解空間的影響.在報(bào)童問題約束條件的擴(kuò)展研究 方面，Vairaktarakis［7］研究了帶預(yù)算約束的報(bào)童問題；Chen等［8］將缺貨懲罰轉(zhuǎn)化為一個(gè)約束條件，研究正態(tài)分布下帶訂貨提前期決策的擴(kuò)展報(bào)童問題；蔡清波等［9］構(gòu)造了一個(gè)帶時(shí)間決策的推廣的報(bào)童模型，指出了需求函數(shù)的方差是時(shí)間的一個(gè)線性函數(shù)，這種考慮時(shí)間的方式，給以后的研究帶來(lái)了很大的啟示；蘇菊寧等［10］研究了制造商的生產(chǎn)成本增加量為對(duì)稱信息和非對(duì)稱信息條件下的收入共享契約.在供應(yīng)鏈問題的研究方面，秦桂英等［11］為優(yōu)化供應(yīng)鏈的運(yùn)作效率，分析了引入云計(jì)算的必要性并給出了具體的實(shí)施步驟；翟勇洪等［12］構(gòu)建了閉環(huán)供應(yīng)鏈下再制造的生產(chǎn)模型，方便企業(yè)選擇最優(yōu)利潤(rùn)決策；Larivier等［13］從渠道協(xié)調(diào)角度研究了供應(yīng)鏈效率的影響因素.本文從供應(yīng)鏈角度同時(shí)考慮了生產(chǎn)成本和預(yù)測(cè)精度兩個(gè)參數(shù)隨時(shí)間變化的報(bào)童問題，把缺貨損失和過量訂貨帶來(lái)的持有成本綜合考慮在目標(biāo)函數(shù)中，并對(duì)供應(yīng)鏈成員間的收益給出了優(yōu)化協(xié)調(diào)方案.

1 帶時(shí)間窗的報(bào)童模型

傳統(tǒng)的報(bào)童模型不考慮時(shí)間因素對(duì)供應(yīng)鏈決策的影響，決策者面臨的問題僅僅是如何確定最優(yōu)的訂貨批量.考慮到參數(shù)隨時(shí)間變化的特征，訂貨時(shí)點(diǎn)也影響零售商的利潤(rùn)，決策者還要考慮訂貨時(shí)點(diǎn)對(duì)自身收益的影響.因此，訂貨時(shí)點(diǎn)和訂貨量是帶時(shí)間窗報(bào)童模型中的兩個(gè)決策變量.本文通過引入帶時(shí)間窗的報(bào)童模型，縮短零售商的訂貨提前期，使得供應(yīng)鏈對(duì)市場(chǎng)的需求預(yù)測(cè)更加準(zhǔn)確，從而增加供應(yīng)鏈的整體收益；并通過引入線性轉(zhuǎn)移系數(shù)θ，將零售商收益增加量的一部分轉(zhuǎn)移給制造商，從而實(shí)現(xiàn)供應(yīng)鏈成員間收益的協(xié)調(diào)優(yōu)化.

1.1 模型描述

考慮由一個(gè)制造商和一個(gè)銷售商組成的分散決策型兩階段供應(yīng)鏈，生產(chǎn)銷售單一的季節(jié)性產(chǎn)品.例如時(shí)尚服飾的供應(yīng)和銷售，在一個(gè)銷售期限內(nèi)，零售商只進(jìn)行一次訂貨，零售商的訂貨量依據(jù)對(duì)市場(chǎng)需求的預(yù)測(cè)和供應(yīng)商發(fā)布的訂貨價(jià)格確定.

記X 為產(chǎn)品的市場(chǎng)隨機(jī)需求，X 是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，X 的密度函數(shù)為f（x，t），分布函數(shù)為F（x，t），數(shù)學(xué)期望μ≡c，c 為常數(shù)，記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)、分布函數(shù)分別為φ（y），Φ（y）.正常情況下，制造商在0時(shí)點(diǎn)訂貨，在帶時(shí)間窗的報(bào)童模型中，制造商與零售商達(dá)成壓縮訂貨提前期的契約，零售商此時(shí)只需在t 時(shí)刻提交訂單，此時(shí)供應(yīng)鏈訂貨提前期被壓縮至T－t.記σ0，σt分別為0時(shí)刻和t 時(shí)刻零售商對(duì)需求預(yù)測(cè)的均方差.由于訂貨時(shí)點(diǎn)被壓縮至t 時(shí)刻，零售商可以在［0，t］時(shí)間范圍內(nèi)獲取更多市場(chǎng)信息，對(duì)市場(chǎng)需求的預(yù)測(cè)精度提高，即σt＜σ0，由蔡清波等［9］的研究結(jié)果有σ＝

相關(guān)參數(shù)如下：

p 為單位產(chǎn)品的市場(chǎng)銷售價(jià)格；

c 為制造商的生產(chǎn)成本，c＝c0＋αt2；

c0為制造商的正常生產(chǎn)成本，即t＝0時(shí)的生產(chǎn)成本；

α 為提前期壓縮一個(gè)單位，生產(chǎn)成本的增加量（假設(shè)與訂貨批量無(wú)關(guān)）；

w 為制造商給予零售商的批發(fā)價(jià)格；

h 為存貨帶來(lái)的費(fèi)用，如削價(jià)處理帶來(lái)的損失、庫(kù)存費(fèi)用等；

s 為單位產(chǎn)品的缺貨損失；

T 為零售商從提交訂單到收到貨物的時(shí)間，即提前期；

q 為零售商的訂貨量；

θ 為收益線性轉(zhuǎn)移系數(shù).

1.2 數(shù)學(xué)模型

在供應(yīng)鏈中，由于供應(yīng)鏈各成員間存在信息傳遞的不對(duì)稱性，從而導(dǎo)致需求放大現(xiàn)象的存在.本文主要研究基于提前期壓縮的供應(yīng)鏈?zhǔn)找鎲栴}，主要討論時(shí)間和壓縮成本對(duì)供應(yīng)鏈及其成員收益的影響.為方便研究，本文模型假定供應(yīng)鏈上下游成員間信息是完全對(duì)稱的.因此，假設(shè)零售商的收益為Πr（q，t），則有

將式（1）簡(jiǎn)化后，零售商收益為

制造商收益為

供應(yīng)鏈的整體收益為

式中，F(xiàn)（q）是市場(chǎng)隨機(jī)需求q 的分布函數(shù)；μ 為正態(tài)分布函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，μ≡c，c 為常數(shù).

2 模型分析

式（2）中，固定變量t，分別對(duì)式（2）關(guān)于q 求一階微分和二階微分，有

由式（5）和式（6）可知，在訂貨時(shí)間t 時(shí)，存在最優(yōu)訂貨量使得式（2）取得最大值，令則有

令變量

所以

由于在分散決策型供應(yīng)鏈中，零售商的最優(yōu)決策決定整個(gè)供應(yīng)鏈的訂貨量，將式（8）和式（9）代入式（2）和式（4），可得零售商的最大收益為

供應(yīng)鏈的最大收益為

令t＝0，可知零售商正常訂貨時(shí)，零售商收益為

供應(yīng)鏈?zhǔn)找鏋?/p>

欲采用壓縮訂貨提前期的方式訂貨，則需要滿足壓縮提前期后的供應(yīng)鏈?zhǔn)找娌坏陀谡Ｓ嗀洉r(shí)的供應(yīng)鏈?zhǔn)找?，所以令?為提前期壓縮前后的供應(yīng)鏈?zhǔn)找孀兓瑒t有

即

由式（8）可知w＝（p＋s）－（p＋s＋h）Φ（z），其中，w∈［c0，p］.

令β＝（p＋s＋h）φ（z）－（w－c0）z，則

3 收益協(xié)調(diào)

與傳統(tǒng)不考慮時(shí)間因素的報(bào)童模型進(jìn)行比較，帶時(shí)間窗的報(bào)童模型可以給供應(yīng)鏈帶來(lái)更大的利潤(rùn).但是，零售商獨(dú)享了時(shí)間壓縮產(chǎn)生的“溢出”價(jià)值，制造商卻為此付出了更多的生產(chǎn)成本，導(dǎo)致了自身利潤(rùn)的下降.所以，只有零售商將獲得的收益增量的θΔr轉(zhuǎn)移給制造商來(lái)彌補(bǔ)由于訂貨提前期縮短帶來(lái)的利潤(rùn)損失，制造商才會(huì)接受零售商縮短訂貨提前期的契約.因此，必須對(duì)供應(yīng)鏈成員間的收益作出協(xié)調(diào).

壓縮訂貨提前期后，零售商的收益增加量Δr為

對(duì)供應(yīng)鏈?zhǔn)找鎱f(xié)調(diào)后，制造商的收益為

由Δm＋θΔr≥0，可知

4 數(shù)據(jù)分析

通過數(shù)值算例對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，在本文模型的假設(shè)條件下，假設(shè)c0＝20，w＝40，p＝60，T＝40，h＝10，s＝60，μ＝100，σ0＝20，σT＝4.

4.1 α 與時(shí)間t的關(guān)系分析

計(jì)算t 在［0，60］范圍內(nèi)變化時(shí)，供應(yīng)鏈可承擔(dān)的最大單位趕工成本增加量，由0 ＜α ＜可知，α 的最大臨界值為所以令隨訂貨時(shí)間點(diǎn)t 變化的情況如圖1所示.由圖1數(shù)據(jù)可知，供應(yīng)鏈可接受的最大單位趕工成本系數(shù)隨訂貨時(shí)點(diǎn)的增大而減小，所以在單位趕工成本系數(shù)已知的情況下，零售商的訂貨時(shí)間點(diǎn)不是越大越好，在帶時(shí)間窗的報(bào)童模型中存在最佳的訂貨時(shí)點(diǎn).

圖1 訂貨時(shí)點(diǎn)對(duì)最大單位成本增加系數(shù)的影響Fig.1 Influence of ordering time on the biggest unit cost increase coefficient

4.2 最優(yōu)訂貨量與供應(yīng)鏈?zhǔn)找嬖鲩L(zhǎng)率

設(shè)定μ，t 為變量，考慮在μ 分別取μ＝100，105，110時(shí)，供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨量隨訂貨時(shí)間點(diǎn)t變化的情況，由式（9）可知＝μ＋zσt＝μ＋所以可得在不同μ 值情況下隨t 的變化情況如圖2所示.

圖2 不同訂貨時(shí)點(diǎn)下零售商的訂貨量Fig.2 Retailer’s ordering quantity under different ordering time

由圖2可知，隨著訂貨時(shí)點(diǎn)的增加，供應(yīng)鏈中的企業(yè)對(duì)市場(chǎng)需求的預(yù)測(cè)更加準(zhǔn)確，所以零售商的訂貨量隨訂貨時(shí)點(diǎn)的增加而減少.此外，訂貨量隨需求函數(shù)數(shù)學(xué)期望的增加而增加.供應(yīng)鏈?zhǔn)找嬖鲩L(zhǎng)率設(shè)定單位成本增加系數(shù)α＝0.001 5，則在μ 取不同值時(shí)供應(yīng)鏈?zhǔn)找嬖鲩L(zhǎng)率隨訂貨時(shí)點(diǎn)的變化如圖3所示（見下頁(yè)）.由圖3可知，在一定訂貨時(shí)點(diǎn)范圍內(nèi)供應(yīng)鏈?zhǔn)找嬖黾颖壤S訂貨時(shí)點(diǎn)的增加而增加，即適當(dāng)壓縮供應(yīng)鏈訂貨提前期可以增加供應(yīng)鏈?zhǔn)找?

圖3 不同訂貨時(shí)點(diǎn)下供應(yīng)鏈的收益增長(zhǎng)率Fig.3 Earnings growth of supply chain under different ordering time

4.3 收益協(xié)調(diào)系數(shù)θ與時(shí)間t的關(guān)系

圖4 訂貨時(shí)點(diǎn)對(duì)收益轉(zhuǎn)移系數(shù)的影響Fig.4 Influence of ordering time on income transfer coefficient

由圖中數(shù)據(jù)可知隨著訂貨時(shí)點(diǎn)的增大θmin隨之增加，說明制造商因?yàn)閴嚎s訂貨提前期付出了更多的趕工成本，所以零售商需要將更多的額外收益轉(zhuǎn)移給制造商來(lái)彌補(bǔ)制造商的損失.訂貨時(shí)點(diǎn)超過一定值后，轉(zhuǎn)移系數(shù)大于1，此時(shí)供應(yīng)鏈?zhǔn)找娉霈F(xiàn)下降，所以確定最優(yōu)提前期壓縮量是確保供應(yīng)鏈及其成員收益增加的關(guān)鍵.

5 結(jié) 論

討論了帶時(shí)間窗的報(bào)童決策模型，從供應(yīng)鏈的角度來(lái)進(jìn)行優(yōu)化，通過對(duì)供應(yīng)鏈及其成員建立收益模型，進(jìn)行數(shù)值分析，并與傳統(tǒng)的不考慮時(shí)間因素的報(bào)童模型進(jìn)行比較，得出壓縮供應(yīng)鏈的訂貨提前期的報(bào)童問題比傳統(tǒng)報(bào)童模型可以給供應(yīng)鏈及其成員帶來(lái)更大的利潤(rùn).在供應(yīng)鏈整體收益增加、制造商生產(chǎn)成本增加的情況下，通過引入線性轉(zhuǎn)移支付系數(shù)，實(shí)現(xiàn)了制造商與零售商的收益協(xié)調(diào).本文假設(shè)零售商與制造商的信息是完全對(duì)稱的，沒有考慮信息不對(duì)稱情況下的收益變化及協(xié)調(diào)，在以后的研究中可以考慮非對(duì)稱信息下的報(bào)童問題.

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