資金時(shí)間價(jià)值計(jì)算方法再探

□閆翠蘋

( 山西財(cái)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030031)

資金時(shí)間價(jià)值計(jì)算方法再探

□閆翠蘋

( 山西財(cái)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030031)

資金時(shí)間價(jià)值的計(jì)算，一般情況下，我們可以通過查表的方式求出。但是，當(dāng)我們遇到的期數(shù)是表中沒有給出的期數(shù)時(shí)，通過查表的方式計(jì)算資金的時(shí)間價(jià)值就顯得無能為力了。當(dāng)涉及期數(shù)較大時(shí)的復(fù)利現(xiàn)值、復(fù)利終值、年金現(xiàn)值與年金終值的計(jì)算時(shí)，可以利用資金時(shí)間價(jià)值計(jì)算的基本原理，引申出多種其它計(jì)算方法，從而使問題得到解決。在此過程中，不但熟練掌握資金時(shí)間價(jià)值計(jì)算的本質(zhì)，而且充分體現(xiàn)了資金時(shí)間價(jià)值計(jì)算方法的多樣性與靈活性。

資金時(shí)間價(jià)值；復(fù)利現(xiàn)值；復(fù)利終值；年金現(xiàn)值；年金終值

資金時(shí)間價(jià)值是財(cái)務(wù)管理的重要理念之一，是企業(yè)決策需要考慮的重要因素。尤其是在企業(yè)的長期投資決策中，涉及時(shí)間長，如果沒有將資金時(shí)間價(jià)值考慮在內(nèi)，就無法做出正確的決策和恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)與分析。對(duì)于涉及資金時(shí)間價(jià)值的現(xiàn)值與終值以及年金現(xiàn)值與終值的計(jì)算，一般情況下可通過查閱相關(guān)的系數(shù)表求出，但是系數(shù)表中給出的期數(shù)是有限的，最高期數(shù)是55，并且當(dāng)期數(shù)超過30時(shí)，系數(shù)表中只給出部分期數(shù)，分別是35、40、45、50、55。其他期數(shù)在系數(shù)表中并未給出，這就需要尋求其他的解決辦法，筆者初步探求了涉及期數(shù)較大時(shí)資金時(shí)間價(jià)值的多種計(jì)算方法。

一、復(fù)利現(xiàn)值的計(jì)算

復(fù)利現(xiàn)值的計(jì)算，當(dāng)涉及的期數(shù)較大時(shí)我們可以采用將較大的期數(shù)轉(zhuǎn)換成較小的期數(shù)從而求出。原理解析如下：

(圖1)

將較長的時(shí)間段n分為若干段，我們先以分為兩段為例來加以說明。(如圖1)

計(jì)算時(shí)點(diǎn)n處1元資金折算到時(shí)點(diǎn)0處的值：先計(jì)算出時(shí)點(diǎn)n處的1元資金折算到時(shí)點(diǎn)a的現(xiàn)值，然后將折算到時(shí)點(diǎn)a的現(xiàn)值再一次折現(xiàn)到0時(shí)點(diǎn)。這樣就將計(jì)算較長期數(shù)n的現(xiàn)值轉(zhuǎn)換為計(jì)算較小期數(shù)a與(n-a)的現(xiàn)值，從而求出期數(shù)為n的復(fù)利現(xiàn)值。用公式表示為：

(P/F，i, n)=(P/F，i, n-a)(P/F，i, a) ①

當(dāng)a取不同的值時(shí)，我們可以得出復(fù)利現(xiàn)值計(jì)算的無數(shù)種解法：

(P/F，i, n)=(P/F，i, n-1)(P/F，i, 1)=(P/F，i, n-2)(P/F，i, 2)=(P/F，i, n-3)(P/F，i, 3)=……

如果期數(shù)特別大，還可以將時(shí)間段分為三段、四段……來求出：

(P/F，i, n)=(P/F，i, a)(P/F，i, b)……(P/F，i, m)其中：a+b+ ……+m=n

由以上分析可以看出，對(duì)于期數(shù)較大的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)的計(jì)算可以將之轉(zhuǎn)化為期數(shù)較小的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)求出。下面，用一具體例題來說明上述公式的具體運(yùn)用。

例題一：若市場(chǎng)利率為5%，100年后的1元錢，現(xiàn)在的價(jià)值是多少？

方法一：將將時(shí)間段100分為三段(100=30+20+50)求出：

(P/F，5%, 100)=(P/F，5%, 30)(P/F，5%, 20)(P/F，5%, 50)=0.2314×0.3769×0.0872=0.0076

方法二：將時(shí)間段100分為五段(100=14+16+20+23+27)求出：

(P/F，5%, 100)=(P/F，5%, 14)(P/F，5%, 16)(P/F，5%, 20)(P/F，5%, 23)(P/F，5%, 27)=0.5051×0.4581×0.3769×0.3256×0.2678=0.0076

還可以將時(shí)間段分為其他任意時(shí)間段來計(jì)算，得出的結(jié)果是一致的。

二、復(fù)利終值的計(jì)算

對(duì)于復(fù)利終值的計(jì)算，同樣可以采用與復(fù)利現(xiàn)值相同的計(jì)算方法將較大的期數(shù)轉(zhuǎn)換成較小的期數(shù)求出。原理解析如下：

(圖2)

將較長的時(shí)間段n分為若干段，我們?nèi)砸苑譃閮啥螢槔齺砑右哉f明(見圖2)。

計(jì)算時(shí)點(diǎn)0處的1元資金折算到時(shí)點(diǎn)n處的值：先計(jì)算出時(shí)點(diǎn)0處的1元資金折算到時(shí)點(diǎn)a處的值，然后將折現(xiàn)到時(shí)點(diǎn)a的值再一次折現(xiàn)到時(shí)點(diǎn)n，這樣就將計(jì)算較長期數(shù)n的終值轉(zhuǎn)換成計(jì)算較小期數(shù)a與(n-a)的終值，從而求出期數(shù)為n的復(fù)利終值。用公式表示為：(F/P，i, n)=(F/P，i, a)(F/P，i, n-a) ②

當(dāng)a取不同的值時(shí)，我們可以得出復(fù)利終值計(jì)算的無數(shù)種解法：

(F/P，i, n)=(F/P，i, 1)(F/P，i, n-1)=(F/P，i, 2)(F/P，i, n-2)=(F/P，i, 3)(F/P，i, n-3)=……

與計(jì)算復(fù)利現(xiàn)值類似，如果期數(shù)特別大，還可以將時(shí)間段分為三段、四段……來求出：

(F/P，i, n)=(F/P，i, a)(F/P，i, b)……(F/P，i, m) 其中：a+b+ ……+m=n

由以上分析可以看出，對(duì)于期數(shù)較大的復(fù)利終值的計(jì)算可以將之轉(zhuǎn)化為期數(shù)較小的復(fù)利終值求出。下面，用一具體例題來說明上述公式的具體運(yùn)用。

例題二：若市場(chǎng)利率為5%，現(xiàn)在的1元錢，100年后的價(jià)值是多少？

方法一：若將時(shí)間段100分為三段(100 =30+20+50)：

(F/P，5%, 100)=(F/P，5%, 20)(F/P，5%, 30)(F/P，5%, 50)=2.6533×4.3219×11.467 =131.50

方法二：若將時(shí)間段100分為五段(100=14+16+20+23+27)：

(F/P，5%, 100)=(F/P，5%, 14)(F/P，5%, 16)(F/P，5%, 20)(F/P，5%, 23)(F/P，5%, 27)=1.9799×2.1829×2.6533×3.0715×3.7335=131.50

還可以將時(shí)間段分為其他任意時(shí)間段來計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果是一致的。

三、年金現(xiàn)值的計(jì)算

(圖3)

年金現(xiàn)值的計(jì)算如圖3所示，其實(shí)質(zhì)上是把各個(gè)時(shí)點(diǎn)的值A(chǔ)分別折算至?xí)r點(diǎn)0相加后得出的值。對(duì)于年金現(xiàn)值的計(jì)算，與復(fù)利現(xiàn)值的計(jì)算比較起來更加的靈活多樣，筆者總結(jié)方法如下：

(一)期數(shù)相加等于被求期數(shù)求解。利用此原理可得如下計(jì)算公式：

(P/A，i，n)=(P/A，i，a)+(P/A，i，n-a)(P/F，i，a)③

(圖4)

③式解析(見圖4)：③式的右邊：(P/A，i，a)計(jì)算出時(shí)點(diǎn)1的A至?xí)r點(diǎn)a的A折算到時(shí)點(diǎn)0的值；(P/A，i，n-a)計(jì)算出時(shí)點(diǎn)(a+1)的A至?xí)r點(diǎn)n的A折現(xiàn)至?xí)r點(diǎn)a的值；(P/A，i，n-a)(P/F，i，a)計(jì)算出時(shí)點(diǎn)(a+1)的A至?xí)r點(diǎn)n的A折現(xiàn)至?xí)r點(diǎn)0的值；(P/A，i，a)+(P/A，i，n-a)(P/F，i，a)則計(jì)算出了時(shí)點(diǎn)1的A至?xí)r點(diǎn)n的A折算到時(shí)點(diǎn)0的值，即等式左邊等于等式右邊。

由上述公式的推導(dǎo)，當(dāng)a取不同的值時(shí)，利用此種方法求解，可以得出無數(shù)種類似的解法：(P/A，i，n)=(P/A，i，1)+(P/A，i，n-1)(P/F，i，1)=(P/A，i，2)+(P/A，i，n-2)(P/F，i，2)=……

下面，用一具體例題來說明上述公式的具體運(yùn)用。

例題三：求(P/A，5%，42)的值是多少？

如果將期數(shù)42分為兩期(比如：42=40+2；42=18+24)：

(P/A，5%，42)=(P/A，5%，40)+(P/A，5%，2)(P/F，5%，40)=17.1591+1.8594×0.1420=17.423

(P/A，5%，42)=(P/A，5%，18)+(P/A，5%，24)(P/F，5%，18)=11.6896+13.7986×0.4155=17.423

與求復(fù)利現(xiàn)值與終值類似，如果期數(shù)較大時(shí)，同樣可以將較大的期數(shù)n劃分為若干期數(shù)分別折算求得。當(dāng)將時(shí)間段n劃分為m段時(shí)，(P/A，i，n)=(P/A，i，a)+(P/A，i，b)(P/F，i，a)+(P/A，i，c)(P/F，i，a+b)+……

其中：a+b+c+……=n

特別的，當(dāng)n可以寫成完全平方時(shí)，(P/A，i，n)=(P/A，i，n/)2

下面將n分為三段加以說明(如圖5所示)

(圖5)

分為三段時(shí)：(P/A，i，n)=(P/A，i，a)+(P/A，i，b)(P/F，i，a)+(P/A，i，c)(P/F，i，a+b)；其中：a+b+c=n

用此方法求解例題三如下:

將時(shí)期數(shù)42分為三段(比如：42=18+20+4；42=10+20+12)時(shí)，計(jì)算如下：

(P/A，5%，42)=(P/A，5%，18)+(P/A，5%，20)(P/F，5%，18)+(P/A，5%，4)(P/F，5%，38)=11.6896+12.4622×0.4155+ 3.6299×(0.2314×0.6768)=17.4

(其中：(P/F，5%，38)=(P/F，5%，30)×(P/F，5%，8)

(P/A，5%，42)=(P/A，5%，10)+(P/A，5%，20)(P/F，5%，10)+(P/A，5%，12)(P/F，5%，30)=7.7217+12.4622×0.6139+ 8.8633×0.2314=17.423

還可以將時(shí)間段分為其他任意時(shí)間段來計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果是一致的。

(二)不同時(shí)點(diǎn)的年金折算至同一時(shí)點(diǎn)求解。利用此原理可得：

(P/A，i，n)=[(F/A，i，a)+(P/A，i，n-a)](P/F，i，a)④

(圖6)

④式解析(見圖6)：④式的右邊：(F/A，i，a)計(jì)算出時(shí)點(diǎn)1的A至?xí)r點(diǎn)a的A折算到時(shí)點(diǎn)a的值；(P/A，i，n-a)計(jì)算出時(shí)點(diǎn)(a+1)的A至?xí)r點(diǎn)n的A折算至?xí)r點(diǎn)a的值；[(F/A，i，a)+(P/A，i，n-a)]計(jì)算出時(shí)點(diǎn)1的A至?xí)r點(diǎn)n的A折算至?xí)r點(diǎn)a的值；[(F/A，i，a)+(P/A，i，n-a)](P/F，i，a)，計(jì)算出時(shí)點(diǎn)1的A至?xí)r點(diǎn)n的A折算到時(shí)點(diǎn)0的值，即等式左邊等于等式右邊。由上述公式的推導(dǎo)，利用此種方法求解，可以得出無數(shù)種解法：

(P/A，i，n)=[(F/A，i，1)+(P/A，i，n-1)](P/F，i，1)=[(F/A，i，2)+(P/A，i，n-2)](P/F，i，2)=……

用此方法求解例題三如下:

(P/A，5%，42)=[(F/A，i，2)+(P/A，i，40)](P/F，i，2)

=(2.0500+17.1591)×0.9070=17.423

(P/A，5%，42)=[(F/A，i，15)+(P/A，i，27)](P/F，i，15)

=(21.579+14.6430)×0.4810=17.423

與求復(fù)利現(xiàn)值與終值類似，如果期數(shù)特別大時(shí)，同樣可以將較大的期數(shù)n劃分為若干期數(shù)相加求得，這里不再贅述。

四、年金終值的計(jì)算

計(jì)算原理圖7所示：

(圖7)

年金終值基本原理是將各時(shí)點(diǎn)的A值折算到終點(diǎn)n的值。對(duì)于年金終值的計(jì)算，與年金現(xiàn)值的計(jì)算類似，方法靈活多樣，變幻無窮。筆者根據(jù)其計(jì)算的基本原理，總結(jié)出其他的方法如下(與年金現(xiàn)值的計(jì)算方法類似，同樣可以將較長期數(shù)的n劃分為若干期數(shù)求得，下面僅以劃分為二期為例加以說明)：

(一)期數(shù)相加等于被求期數(shù)求解。利用上述原理可得：

(F/A，i，n)=(F/A，i，a)(F/P，i，n-a)+(F/A，i，n-a) ⑤

(圖8)

⑤式解析(見圖8)：⑤式的右邊的(F/A，i，a)計(jì)算出時(shí)點(diǎn)1的A至?xí)r點(diǎn)a的A折算至?xí)r點(diǎn)a的值；(F/P，i，n-a)計(jì)算出時(shí)點(diǎn)a的值折算至?xí)r點(diǎn)n的值；(F/A，i，a)(F/P，i，n-a)計(jì)算出時(shí)點(diǎn)1的A至?xí)r點(diǎn)a的A折算至?xí)r點(diǎn)n的值；(F/A，i，a)(F/P，i，n-a)+(F/A，i，n-a)計(jì)算出了時(shí)點(diǎn)1的A至?xí)r點(diǎn)n的A折算到時(shí)點(diǎn)n的值，即等式左邊等于了等式右邊。

由上述公式的推導(dǎo)，利用此種方法求解，可以得出無數(shù)種類似的解法：

(F/A，i，n)=(F/A，i，1)(F/P，i，n-1)+(F/A，i，n-1)=(F/A，i，2)(F/P，i，n-2)+(F/A，i，2)=……

下面，用一具體例題來說明上述公式的具體運(yùn)用。

例題四：求(F/A，5%，42)的值是多少？

方法一：(F/A，5%，42)=(F/A，5%，12)(F/P，5%，30)+(F/A，5%，30)=15.917×4.3219+66.439=135.230

方法二：(F/A，5%，42)=(F/A，5%，24)(F/P，5%，18)+(F/A，5%，18)=44.502×2.4066+28.132=135.23

同理用類似的方法還可以得出無數(shù)種其他計(jì)算方法。

(二)不同時(shí)點(diǎn)的年金折算至同一時(shí)點(diǎn)求解。利用上述原理可得：

(F/A，i，n)=[(F/A，i，a)+(P/A，i，n-a)](F/P，i，n-a) ⑥

(圖9)

⑥式解析(見圖9)：⑥式右邊：(F/A，i，a)計(jì)算出時(shí)點(diǎn)1至?xí)r點(diǎn)a的A折算到時(shí)點(diǎn)a的值；(P/A，i，n-a)計(jì)算出時(shí)點(diǎn)(a+1)的A至?xí)r點(diǎn)n的A折算至?xí)r點(diǎn)a的值；[(F/A，i，a)+(P/A，i，n-a)]計(jì)算出時(shí)點(diǎn)1的A至?xí)r點(diǎn)n的A折算至?xí)r點(diǎn)a值；[(F/A，i，a)+(P/A，i，n-a)](F/P，i，n

-a)計(jì)算出時(shí)點(diǎn)1的A至?xí)r點(diǎn)n的A折算到時(shí)點(diǎn)n的值。即等式左邊等于了等式右邊。

由上述公式的推導(dǎo)，利用此種方法求解，可以得出無數(shù)種類似的解法：

(F/A，i，n)=[(F/A，i，1)+(P/A，i，n-1)](F/P，i，n-1)=[(F/A，i，2)+(P/A，i，n-2)](F/P ，i，n-2)……

用此方法求解例題四如下：

(F/A，5%，42)=[(F/A，i，12)+(P/A，i，30)](F/P，i，30)=(15.917+15.3725)×4.3219=135.230

(F/A，5%，42)=[(F/A，i，24)+(P/A，i，18)](F/P，i，18)=(44.502+11.6896)×2.4066=135.23

由以上計(jì)算可知，無論采用哪種方法對(duì)例題四進(jìn)行求解，最終的結(jié)果都是一樣的。

與年金現(xiàn)值的計(jì)算方法類似，同樣可以將較長期數(shù)的n劃分為若干期數(shù)求得，于是又能引申出無數(shù)種解法，解法與前述年金現(xiàn)值的計(jì)算原理類似，這里不再贅述。

五、結(jié)論

通過以上的分析可以看出，復(fù)利現(xiàn)值與終值、普通年金現(xiàn)值與終值的計(jì)算方法可以分為若干類，在每一類計(jì)算方法下又能引申出無窮種解法?？梢姡Y金時(shí)間價(jià)值的計(jì)算方法靈活多樣，變幻無窮，只要掌握了資金時(shí)間價(jià)值的計(jì)算本質(zhì)，便可以在計(jì)算過程中得心應(yīng)手，運(yùn)用自如。

[1] 注冊(cè)會(huì)計(jì)師協(xié)會(huì).財(cái)務(wù)成本管理[M]. 北京：中國財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社，2016.

本文責(zé)編：趙鳳媛

The Exploration of the Time Value of Capital Calculation Method

Yan Cuiping

(Shanxi Vocational & Technical College of Finance &Trade, Taiyuan, Shanxi, 030031)

In general，the calculation of time value of capital, we can check the coefficient tables to get the results. But the period number given in these tables is limited, when the number of period we encounter is the periods not given in the table，the calculation of funds through the look-up table is incapable of action. When the calculation is related to the large periods of present value, final compound interest, compound interest and pension annuity present value, the basic principle of time value of capitals can be used, leading to a variety of other calculation methods to resolve the problems. The essence of capital time value computation can be mastered and the diversity and flexibility of the time value of capital calculation method can be embodied.

capital time value； compound present value； compound value； present value of annuity； final value of annuity

2016—11—08

閆翠蘋(1973—)，女，山西定襄人，山西財(cái)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，講師，碩士。

F299.2

B

1008—8350(2017)01—0045—04