運(yùn)用幾何畫板的深度迭代功能展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美

■方　草

運(yùn)用幾何畫板的深度迭代功能展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美

■方草

隨著新課程改革在全國(guó)的推進(jìn)，信息技術(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，幾何畫板憑著簡(jiǎn)單直觀的操作界面和強(qiáng)大的作圖、運(yùn)算、編程、拓展能力，無(wú)疑成為了我們數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用得最為廣泛的軟件。幾何畫板中的深度迭代功能強(qiáng)大，能夠?qū)?shù)學(xué)之美表現(xiàn)得淋漓盡致。但是大多數(shù)教師只會(huì)簡(jiǎn)單地運(yùn)用幾何畫板展現(xiàn)圖形或者動(dòng)畫，這些應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能發(fā)揮幾何畫板的強(qiáng)大功效，更不能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)之美，也無(wú)助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。那么幾何畫板如何才能較好地在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用呢？如何運(yùn)用幾何畫板和多媒體技術(shù)展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美呢？本文就這些問(wèn)題展開探討。

一、什么是深度迭代

迭代在幾何畫板的“變換”下拉菜單中，深度迭代需要按住shift鍵再點(diǎn)開“變換”菜單才能顯示出來(lái)，那么什么是迭代，什么是深度迭代呢？這是很多幾何畫板學(xué)習(xí)者所困惑的一個(gè)問(wèn)題。迭代就像數(shù)學(xué)中的函數(shù)。函數(shù)是數(shù)到數(shù)的映射，例如：若給定y=f（x），參數(shù)a，計(jì)算f（a），其中a→f(a)就是迭代。若將函數(shù)值再代入函數(shù)計(jì)算f（f（a）），這就是按照上述方法進(jìn)行兩重迭代。在幾何畫板中選中參數(shù)a,選擇迭代到f（a），然后設(shè)置迭代次數(shù)為兩次即可完成上述操作。這是一個(gè)靜態(tài)演示的過(guò)程，如果再新建一個(gè)參數(shù)n，先選中a，再選中n，按住shift點(diǎn)開“變換”選擇“深度迭代”，將原象a對(duì)應(yīng)到初象f（a）,最后選擇的參數(shù)n即為迭代次數(shù)。對(duì)于參數(shù)n設(shè)置動(dòng)畫按鈕，參數(shù)n的變化就能引起迭代相關(guān)對(duì)象的動(dòng)態(tài)變化，配合相關(guān)圖形，即能對(duì)學(xué)生形成視覺刺激，留下深刻的影響，奇妙的變化也能讓學(xué)生產(chǎn)生探索的欲望。從上面我們可以看到幾何畫板中迭代的控制方式分為兩種，一種是沒有參數(shù)的迭代，另一種是帶參數(shù)的迭代，我們稱為深度迭代。兩者沒有本質(zhì)的不同，但前者需要手動(dòng)改變迭代的深度，后者可通過(guò)修改參數(shù)的值來(lái)改變迭代深度，因此我們可以制作參數(shù)的動(dòng)畫按鈕來(lái)產(chǎn)生迭代的動(dòng)畫。

二、在中學(xué)教學(xué)中如何運(yùn)用深度迭代

深度迭代比較適合在中學(xué)數(shù)學(xué)的大多數(shù)板塊中應(yīng)用，比如：平面幾何、立體幾何、函數(shù)、數(shù)列、概率模擬、微積分等等。

1.用深度迭代展示“二分法”求函數(shù)的零點(diǎn)

在我們平常的教學(xué)中大多是列表用計(jì)算器來(lái)算二分法表格中的函數(shù)值，不僅計(jì)算速度慢，而且枯燥乏味，不能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情。教材中給出了通過(guò)EXCEL利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的方法，由于界面不夠形象美觀，也很難激起學(xué)生的興趣。如果我們用幾何畫板的迭代工具通過(guò)二分法求零點(diǎn)，不僅過(guò)程動(dòng)態(tài)可見，而且能夠較好地將數(shù)學(xué)之美通過(guò)幾何畫板展現(xiàn)出來(lái)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

2.利用幾何畫板的深度迭代模擬撒豆子估算圓周率

圓周率的認(rèn)識(shí)歷史實(shí)際上是一部數(shù)學(xué)發(fā)展史。我們可通過(guò)對(duì)前人研究圓周率的歷程和方法介紹，引起學(xué)生對(duì)未知知識(shí)的探究興趣。我們也可用計(jì)算機(jī)快速模擬撒豆子計(jì)算圓周率，這樣在向?qū)W生展示現(xiàn)代信息技術(shù)魅力的同時(shí)，也可通過(guò)這個(gè)動(dòng)畫過(guò)程的演示向?qū)W生展示數(shù)學(xué)之美。

3.利用幾何畫板的深度迭代畫樹形圖

（1）在垂直方向上畫線段AB，在AB左上區(qū)域任取一點(diǎn)C。

（2）度量CB，AB的長(zhǎng)度，計(jì)算CB/BA；度量∠CBA的大小。

（3）雙擊C點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角度為∠CBA，旋轉(zhuǎn)B得到點(diǎn)E；繼續(xù)以CB/BA為縮放比例。

（4）雙擊線段AB作為標(biāo)記鏡面，得到C、F、G關(guān)于線段AB的對(duì)稱點(diǎn)D、H、I，連接GC、FC、ID。

（5）新建參數(shù)n=3。順次選擇A、B、C三點(diǎn)和參數(shù)n，作深度迭代，(A,B,C)?(B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。

（6）移動(dòng)C點(diǎn)的位置，改變樹枝的形狀。

深度迭代的過(guò)程是：

（1）順次選擇原像和參數(shù)n。（注意順序）

（2）按住shift不放，單擊菜單【變換】【深度迭代】（出現(xiàn)對(duì)話框后可以松開shift鍵）。

（3）依次選取初像。（注意順序）添加映射的方法是按鍵盤“Ctrl+A”。

從上面的例子我們可以看到，利用幾何畫板的深度迭代，可以直接改變由聽數(shù)學(xué)、練數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)教學(xué)模式為看數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的新型數(shù)學(xué)教學(xué)模式。這種方法既解決了教學(xué)的難點(diǎn)，突出了重點(diǎn)，優(yōu)化了課堂，又能夠極大地激發(fā)學(xué)生做數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的興趣，使得學(xué)生不僅能夠體會(huì)到學(xué)習(xí)新知的愉悅，還能體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的美妙與信息技術(shù)的神奇之處，同時(shí)這也可以作為我們教改的一個(gè)有效的切入點(diǎn)。

數(shù)學(xué)美無(wú)論是概念之美、公式之美，還是圖象之美、結(jié)構(gòu)之美，都是一種自然的、真實(shí)的美。它不像藝術(shù)美那么外顯，也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)美的信息是隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)、教學(xué)方法、教學(xué)語(yǔ)言之中的，是隱形的。數(shù)學(xué)教師的責(zé)任就是要努力挖掘、精心提煉數(shù)學(xué)教材中各種各樣的美，讓學(xué)生通過(guò)享受數(shù)學(xué)之美，從而真正熱愛上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（作者單位：武漢市第十九中學(xué)）

責(zé)任編輯王愛民