順序線(xiàn)性數(shù)列極限注記

壽凌云

摘 要 對(duì)已知線(xiàn)性若干個(gè)順序數(shù)列極限的情況下，通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列，多次使用Stolz定理證明了滿(mǎn)足一定條件下可以推出該數(shù)列的極限。

關(guān)鍵詞 數(shù)列 遞推極限 Stolz定理

中圖分類(lèi)號(hào)：O171文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.10.019

Order Linear Sequence Limit Notes

SHOU Lingyun

（School of Computer Science & Information Engineering，

Zhejiang Gongshang University， Hangzhou， Zhejiang 310018）

Abstract The case of a number of known linear order limits the number of columns， the number of columns by constructing new， multiple use Stolz theorem under certain conditions can be introduced that limit the number of columns.

Key words sequence; recursion limit; Stolz Theorem

引理1：設(shè){}為無(wú)窮實(shí)數(shù)列，為實(shí)數(shù)，≥0，滿(mǎn)足∣∣<，>0則 = ?（ + ） = （ + ）。

該題出自朱堯辰先的一道數(shù)列題，本文進(jìn)行了推廣，換成了更普遍的形式。該題證明如下：

必要性：這是明顯的。

將這個(gè)等式相加化簡(jiǎn)得到

= 0時(shí)明顯成立。

0<<1時(shí)，∵ = ，根據(jù)Stolz定理②，

<<0，時(shí)，可使分為奇數(shù)和偶數(shù)分開(kāi)討論， = 2時(shí)， = 2 +1時(shí)必滿(mǎn)足Stolz定理的條件，仿照上述步驟即可，這里不再詳述。

引理2：設(shè){}為無(wú)窮實(shí)數(shù)列，為給定實(shí)數(shù)，≠0，≥0且 + ?+ ?= 0的實(shí)數(shù)解存在且在（1，1）之間，

證明如下：

必要性顯然，下證充分性：

對(duì)于①，等價(jià)于

根據(jù)引理1，得到

再根據(jù)引理1，得到

對(duì)于②，同理得到

式子③與④相加除以2得到：

又由 + ?+ ?= 0有解，則≥4，∴≥++當(dāng)且僅當(dāng)成立，根據(jù)題設(shè)條件

依靠以上兩種順序線(xiàn)性數(shù)列的極限與方法都能推出更多數(shù)量順序線(xiàn)性數(shù)列極限：

參考文獻(xiàn)

[1] 朱堯辰.數(shù)學(xué)分析例選[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2013：30-33，49.

[2] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京：高等教育出版社，2006：21.