馬東邦
【關鍵詞】 數(shù)學教學;盲點;剖析
【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C
【文章編號】 1004—0463(2015)20—0120—01
高中數(shù)學由于概念、符號等知識比較抽象,學生容易出現(xiàn)理解偏差,導致在學習中存在著一些盲點,稍有不慎,就會出現(xiàn)運算和判斷錯誤。下面,筆者列舉數(shù)例,剖析解題時的一些常見盲點.
一、誤解集合中元素的意義
例1 (人教A版必修Ⅰ集合運算)
(1)已知集合A={y|y=-2},B={x|y=-2},求A∩B.
(2)已知集合P={y|y=x2-2,x∈R},Q={(x,y)|y=x2-2,x ∈R},求P∩Q.
盲點1: 集合A={y|y≥-2},B={x|x≥0}代表元素形式不同,認為不能進行交集運算.實際上二者是同一種對象的集合,都是數(shù)集,只是代表元素字母不同,代表元素的實際意義不同.對函數(shù)y=-2來講,前者為值域,后者為定義域.
盲點2:集合P={y|y=x2-2,x∈R},Q={(x,y)|y=x2-2,x∈R}代表元素形式不同,是兩個不同對象的集合,代表元素的意義不同,前者為數(shù)集,后者則為點集.
二、遺忘空集是任何集合的子集
例2 (人教A版必修Ⅰ第44頁,復習參考題A組第4題)已知集合A={x|x2=1},B={x|ax=1},B?A,求實數(shù)a的值.
學生的答案是實數(shù)a的值為-1,1兩個數(shù),實際上正確的答案是實數(shù)a的值為-1,1,0三個數(shù).
盲點:若B?A={-1,1},則B是A的子集,學生遺漏空集Φ是任何集合的子集,即B=Φ導致實數(shù)a的值少了0.在解集合運算問題時,經(jīng)常會碰到A∩B=A, A∪B=B,即A?B,一定注意A=Φ的特殊情況,防止漏解錯誤.
三、混淆函數(shù)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的概念
例3 (人教A版必修Ⅰ第29頁,例1)圖1.3-4是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù)?(圖略)
學生解答:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2)或[-2,1)或[1,3)或 [3,5].其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2)或[1,3)上是減函數(shù),在區(qū)間 [-2,1)或 [3,5]上是增函數(shù).還有部分學生將幾個區(qū)間之間用“∪”連接.
盲點:學生沒有正確理解函數(shù)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的概念,單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間密不可分,單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間的“整體”性質(zhì),單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間.函數(shù)有多個單調(diào)區(qū)間時,表示時之間用“,”或“和”連接,增(減)區(qū)間有多個時,表示時之間也用“,”或“和”連接,而不能用“或”或“∪”連接.
四、忽視題設中隱含的條件
例4 (人教A版必修Ⅳ第137頁)在ΔABC中,已知sinB=, cosA=,求cosC的值.
學生的解答cosC的值為或,實際上正確的答案是.
盲點:本題是求解有關三角形問題,三角形中的邊角之間有著密切的聯(lián)系,學生忽視挖掘題設隱含的條件,影響結(jié)果的正確性,而錯解cosB=±兩個值,導致答案錯誤.由于在ΔABC中,cosA=,所以A為銳角,得sinA=.由正弦定理sinA>sinB?a>b?A>B,又因為A為銳角,所以B為銳角,即cosB>0,cosC的值只有一個.
(注:本文為甘肅省教育科學“十二五”規(guī)劃課題《培養(yǎng)高一新生發(fā)展性學習能力和適應數(shù)學新課程的學習方法實驗研究》,課題批準號為:GS[2014]GHBZ038).
編輯:謝穎麗