一類廣義Douglas-Weyl度量的特征

程新躍，史瑞東

（重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400054）

一類廣義Douglas-Weyl度量的特征

程新躍，史瑞東

（重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400054）

研究了一類重要的由黎曼度量α和1-形式β定義的Finsler度量——（α，β）-度量——成為廣義Douglas-Weyl度量的條件。在度量具有迷向S-曲率的條件下，給出了非Randers型的正則（α，β）-度量是廣義Douglas-Weyl度量的條件。

Finsler度量；（α，β）-度量；廣義Douglas-Weyl度量；S-曲率

Finsler射影幾何是Finsler幾何的重要組成部分，有若干幾何量在Finsler度量的射影變換下保持不變，稱之為射影不變量，如著名的Douglas曲率和Weyl曲率。Douglas曲率是由Berwald曲率刻畫的Finsler幾何中的幾何量，Douglas曲率張量為零的Finsler度量稱為Douglas度量。Weyl曲率是由黎曼曲率張量刻畫的幾何量，Weyl曲率張量為零的Finsler度量稱為Weyl度量。Finsler幾何中還有一類重要的由Douglas曲率關(guān)于Berwald聯(lián)絡(luò)的水平共變導(dǎo)數(shù)刻畫的度量——廣義Douglas-Weyl度量，即滿足方程的Finsler度量，其中是關(guān)于Berwald聯(lián)絡(luò)的水平共變導(dǎo)數(shù)，Tjkl是一個(gè)3階張量。顯然Douglas度量必然是廣義Douglas-Weyl度量。眾所周知，Weyl度量即是具有數(shù)量旗曲率的Finsler度量，一個(gè)令人驚訝的事實(shí)是Weyl度量一定是廣義Douglas-Weyl度量［1］。因此，可以把Douglas度量和Weyl度量看作兩類特殊的廣義Douglas-Weyl度量。

（α，β）-度量是一類重要的且在其他學(xué)科中具有廣泛應(yīng)用的Finsler度量。此外，由于其具有良好的可計(jì)算性，可以幫助深入地了解Finsler度量的某些曲率性質(zhì)，因此，在刻畫廣義Douglas-Weyl度量時(shí)自然地先考慮廣義Douglas-Weyl（α，β）-度量，甚至某些特殊的（α，β）-度量，如Randers度量，平方度量等。

S-曲率是沈忠民教授在研究Finsler流形的體積比較時(shí)引入的，是Finsler幾何中一類重要的非黎曼幾何量。若Finsler度量F的S-曲率滿足S=（n+1）c（x）F，其中c=c（x）是流形上的數(shù)量函數(shù)，則稱F具有迷向S-曲率。如果c為常數(shù)，則稱F具有常數(shù)S-曲率。具有迷向S-曲率的Finsler度量是一類具有重要幾何性質(zhì)且值得深入研究的度量。文獻(xiàn)［2］刻畫分類了具有迷向S-曲率的（α，β）-度量；文獻(xiàn)［3］進(jìn)一步刻畫了具有迷向S-曲率的正則（α，β）-度量，證明了此時(shí)度量的S-曲率必為零，且β是具有常數(shù)長度的Killing 1-形式。

關(guān)于廣義Douglas-Weyl度量的刻畫及研究已經(jīng)有若干優(yōu)秀的結(jié)果：沈忠民等［4］首先刻畫了廣義的Douglas-Weyl Randers度量；TAYEBI等［5］研究了廣義的Douglas-Weyl Landsberg度量，即Landsberg曲率Lijk為0且Douglas曲率滿足方程=的Finsler度量，證明了一個(gè)廣義Douglas-Weyl Landsberg度量的H曲率必定為零。

本文刻畫了具有迷向S-曲率的正則（α，β）-度量成為廣義Douglas-Weyl度量的條件，得到定理1。

定理1對于n維光滑流形M上的一個(gè)非Randers型的正則（α，β）-度量F=αφ（β/α），若它具有迷向的S-曲率，則F是一個(gè)廣義Douglas-Weyl度量，當(dāng)且僅當(dāng)下式成立：

其中：

其中Qα，Qβ，Qαα，Qαβ，Qααβ等分別表示Q關(guān)于α，β的偏導(dǎo)數(shù)。

1　預(yù)備知識(shí)

設(shè)（M，F(xiàn)）是n維Finsler空間，則在局部坐標(biāo)系（x，y）下度量F誘導(dǎo)了一個(gè)帶孔切從上的射流G：

對任意的y∈TpM｛0｝，黎曼曲率Ry=Rikdx是切空間上的一族線性變換，其中

取黎曼曲率張量Ry的跡Ric∶=Rkk，稱為Finsler度量的Ricci曲率。

Finsler度量F的Weyl曲率張量由定義為

Finsler度量的Berwald曲率張量Bijkl由下式給定

Berwald曲率張量為零的度量稱為Berwald度量，Bijkl=0的Finsler度量稱為Berwald度量。

Finsler度量F的Douglas曲率張量由下式給出

其中

Douglas曲率張量為零的Finsler度量稱為Douglas度量，顯然一個(gè)Berwald度量必定是Douglas度量，因而Douglas度量可以看作廣義的Berwald度量。Douglas曲率張量是一類重要的射影不變量。

對于n維流形M上的Finsler度量F和Busemann-Hausdorff體積形式dVF=σ（x）dx1…dxn，S-曲率定義為

其中

若存在流形上的數(shù)量函數(shù)c=c（x）使得S=（n+1）c（x）F，則稱F稱為具有迷向S-曲率。由于Berwald度量的S-曲率為零，因此具有零S-曲率的Finsler度量可看作廣義的Berwald度量。

給定（α，β）-度量F=αφ（β/α），F(xiàn)的測地系數(shù)由如下公式確定［6］：

其中

進(jìn)一步，為了計(jì)算的方便，令

這里“|”表示關(guān)于α的水平共變導(dǎo)數(shù)。文獻(xiàn)［2］研究和刻畫了（α，β）-度量的S-曲率，并得到了以下公式：

2　對定理1的證明

為定理1的證明需要，引入以下重要引理。

引理1［3］對于n維光滑流形M上的一個(gè)非Randers型的正則（α，β）-度量F，它具有迷向的S-曲率，當(dāng)且僅當(dāng)β滿足：rij=0，sj=0，此時(shí)，S=0，而且與φ的選擇無關(guān)。

根據(jù)引理1，可以刻畫具有迷向S-曲率的正則（α，β）-度量成為廣義Douglas-Weyl度量的條件，即進(jìn)行定理1的證明。

證明由引理1知，對于具有迷向S-曲率的非Randers型的正則（α，β）-度量F，rij=0，sj=0。因此F的測地系數(shù)Gi滿足如下關(guān)系：

令Πi

注意到

則

由于ˉΠi關(guān)于y是二次的，因此

其中：

令“；”表示關(guān)于Berwald聯(lián)絡(luò)的水平共變導(dǎo)數(shù)，“|”表示關(guān)于α的共變導(dǎo)數(shù)。則由式（2）可得

由式（6），（7）可得

若F是一個(gè)廣義Douglas-Weyl度量，則存在一個(gè)3階張量Tjkl使得，即

用yi縮并式（9）的兩端，可得：

其中：

將Tjkl代入到式（9）中，對式（9）兩端用akl縮并，可得：

借助Maple軟件化簡整理便得式（1），完成了對定理1的證明。

定理1對進(jìn)一步地在其他重要曲率條件下刻畫廣義Douglas-Weyl（α，β）-度量具有重要意義，為研究一般的廣義Douglas-Weyl度量提供了重要的啟示。

［1］SAKAGUCHI T.On Finsler spaces of scalar curvature［J］.Tensor N S，1982，38：211-219.

［2］CHENG Xin-yue，SHEN Zhong-min.A class of Finsler metrics with isotropic S-curvature［J］.Isr J Math，2009，169（1）：317 -340.

［3］CHENG Xin-yue.The metrics of scalar flag curvature［J］.Diff Geom Appl，2014，35：361-369.

［4］NAJAFI B，SHEN Zhong-min，TAYEBI A.On a projective class of Finsler metrics［J］.Publ Math Debrceen，2007，70：211 -219.

［5］TAYEBI A，SADEGHI H，PEYGHAM E.On generalized Douglas-Weyl spaces［J］.Bull Malays Math Sci Soc，2013，36（3）：587 -594.

［6］BáCSó S，CHENG Xin-yue，SHEN Zhong-min.Curvature properties of（α，β）-metrics，In“Finsler Geometry”［C］//Sapporo 2005-In memory of M.Matsumoto，ed.S.Sabau and H.Shimada，Adv.Studies in Pure Math.48，Math.Soc.Japan：［s.n.］，2007：73-110.

（責(zé)任編輯何杰玲）

A Characterization of a Class of Generalized Douglas-Weyl Metrics

CHENG Xin-yue，SHI Rui-dong
（School of Mathematics and Statistics，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China）

In this paper，we study the conditions that an important class of Finsler metrics defined by a Riemann metric αand an 1-formβbecome generalized Douglas-Weyl metrics.Under the condition that the metric is of isotropic S-curvature，we obtain the conditions that a regular（α，β）-metric of non-Randers type is a generalized Douglas-Weyl metric.

Finsler metric；（α，β）-metric；generalized Douglas-Weyl metric；S-curvature

O186

A

1674-8425（2015）04-0113-07

10.3969/j.issn.1674-8425（z）.2015.04.022

2015-01-09

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11371386）；歐盟FP7（SEVENTH FRAMEWORK PROGRAMME）資助項(xiàng)目（PIRSES GA-2012-317721）

程新躍（1958—），男，重慶人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事微分幾何及應(yīng)用研究。

程新躍，史瑞東.一類廣義Douglas-Weyl度量的特征［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015（4）：113 -119.

format：CHENG Xin-yue，SHI Rui-dong.A Characterization of a Class of Generalized Douglas-Weyl Metrics［J］. Journal of Chongqing University of Technology：Natural Science，2015（4）：113-119.