別解見(jiàn)證關(guān)聯(lián)常規(guī)凸顯不凡

☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部　邢成云

別解見(jiàn)證關(guān)聯(lián)常規(guī)凸顯不凡

☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部邢成云

一、試題再現(xiàn)

題目：（2014年菏澤市中考題第20題）已知：如圖1，正方形ABCD，BM、DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN．

（1）若正方形的邊長(zhǎng)為a，求BM· DN的值；

（2）若以BM、DN、MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀并證明你的結(jié)論．

圖1

二、試題解析

（1）因?yàn)锽M、DN分別平分正方形的外角，所以∠CBM=∠CDN=45°，所以∠ABM=∠ADN=135°.

因?yàn)椤螹AN=45°，所以∠BAM+∠NAD=45°．

在△ABM中，∠BAM+∠AMB=180°-135°=45°，

所以∠NAD=∠AMB.

在△ABM和△NDA中，因?yàn)椤螦BM=∠NDA，∠NAD=∠AMB，所以△ABM≌△NDA．

所以BM·DN=AB·AD=a2.

（2）以BM、DN、MN組成的三角形為直角三角形，證明如下：

如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AN的垂線AF，在該垂線上截取AF=AN，連接BF、FM.（或?qū)ⅰ鰽ND繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABF的位置，使得AD與AB重合，連接BF、FM，或以AM為對(duì)稱軸作△AMN的對(duì)稱圖形△AMF，連接BF）

圖2

因?yàn)椤?+∠BAN=90°，∠3+∠BAN=90°，所以∠1=∠3.

在△ABF和△AND中，因?yàn)锳B=AD，∠1=∠3，AF= AN，所以△ABF≌△ADN，所以BF=DN，∠FBA=∠NDA= 135°.

因?yàn)椤螰AN=90°，∠MAN=45°，

所以∠1+∠2=45°=∠FAM=∠MAN.

在△AFM和△ANM中，因?yàn)锳F=AN，∠FAM=∠MAN，AM=AM，所以△AFM≌△ANM.

所以FM=NM．

所以∠FBP=180°-∠FBA=180°-135°=45°.

所以∠FBP+∠PBM=45°+45°=90°．

所以△FBM為直角三角形.

因?yàn)镕B=DN，F(xiàn)M=MN，

故以BM、DN、MN為三邊的三角形為直角三角形.

說(shuō)明：若計(jì)算出MN2=BM2+DN2，再用勾般定理的逆定理得出該三角形為直角三角形（亦可）.

三、追本探源

以上的中考題應(yīng)該源于以下題目：

圖3

已知：如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，BM、DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足∠MAN=45°，連接MC，NC，MN.

（1）填空：與△ABM相似的三角形是_______，BM·DN=_______；（用含a的代數(shù)式表示）

（2）求∠MCN的度數(shù)；

（3）猜想線段BM、DN和MN之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論.

命題者對(duì)它稍稍進(jìn)行了改造，粗加工而成：把問(wèn)題（1）的填空題改編成了一道解答題，內(nèi)涵一致，確定為新試題的第（1）小題；舍棄了原來(lái)的問(wèn)題（2），把原問(wèn)題（3）的問(wèn)題顯性化，與三角形的三邊掛鉤，探索的方向更明確一些，較之原題的難度降了一點(diǎn).

四、思路分析

試題解析給定的是構(gòu)造全等三角形的方法，或用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)圖、活用軸對(duì)稱變換作圖等，是對(duì)圖形變換等全等變換的靈活考查，如此確定答案充分展示了圖形變換的不菲作用，但這一輔助線并沒(méi)那么容易想到，這個(gè)好的“念頭”難有根基，難以登錄學(xué)生的思維場(chǎng)域，是對(duì)學(xué)生較高的思維要求，學(xué)生感嘆巧的同時(shí)，往往流露出一種無(wú)奈與無(wú)助.其實(shí)這道題目有基本的轉(zhuǎn)化思路，常規(guī)的很，并且有機(jī)鏈接了題目的兩個(gè)子問(wèn)題，使得題目的構(gòu)思更顯現(xiàn)其智能價(jià)值，而不至流于拼湊的嫌疑.

五、別樣的精彩

僅限于第（2）小題，不難發(fā)現(xiàn)BM、DN和MN三條線段可以看做是梯形的兩底一腰，只要把BD一連，一個(gè)直角梯形就顯現(xiàn)在我們面前，剩下的任務(wù)無(wú)非就是尋找直角梯形兩底與一腰的關(guān)系，這類問(wèn)題我們有非常樸素的經(jīng)驗(yàn)，作梯形的高，通過(guò)“勾股定理”把它們鏈接在一起，然后就是代數(shù)變形了.這些想法更接近學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，更貼近我們的數(shù)學(xué)教材，更重要的是這道題目的魅力才能得到更好的展現(xiàn).

如圖4，連接BD，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥DN，垂足為點(diǎn)H，可證四邊形MNDB為直角梯形，進(jìn)而得知MH=BD.又BD=，DH=MB，根據(jù)勾股定理得MN2=MH2+NH2，即MN2=BD2+（DN-BM）2，MN2=（a）2+ DN2+BM2-2DN·BM.根據(jù)（1）的結(jié)論BM·DN=a2，可知MN2=（a）2+DN2+BM2-2a2，則MN= DN2+BM2.根據(jù)勾股定理逆定理可知以BM、DN、MN為三邊的三角形是直角三角形.

圖4

六、方法比對(duì)

方法一（試題解析）：這一方法以圖形的全等變換為載體，立足三角形全等的構(gòu)造，通過(guò)全等三角形的性質(zhì)及相關(guān)知識(shí)進(jìn)行推理獲得“90°”角，進(jìn)而作出構(gòu)成直角三角形的判斷，有精妙輕巧之感，但有遠(yuǎn)離學(xué)生的基本經(jīng)驗(yàn)之嫌.

方法二：另一個(gè)思路其實(shí)在給定的“標(biāo)準(zhǔn)答案”之后有說(shuō)明，但不知何因沒(méi)有給出具體的過(guò)程.這個(gè)方法，立足圖形現(xiàn)有的元素，用最通俗的作梯形高輔助線（小學(xué)生都會(huì)的輔助線），然后借助勾股定理構(gòu)建起相關(guān)給定三線段的數(shù)量關(guān)系，借力問(wèn)題（1）中獲得的結(jié)論變換而得三線段的平方關(guān)系，根據(jù)勾股定理逆定理敲定問(wèn)題的答案.相比之下，這個(gè)方法脫胎于學(xué)生學(xué)習(xí)《四邊形》一章的基本經(jīng)驗(yàn)，不高蹈、不玄妙，更貼近學(xué)生，更接地氣.

若從欣賞的角度來(lái)說(shuō)，這兩個(gè)方法可以說(shuō)相得益彰，一個(gè)是圖形變換、一個(gè)是數(shù)式變換，縱橫兩大領(lǐng)域；若從題目本身承載的效能來(lái)說(shuō)，試題解析制定成第二個(gè)思路的形式，更能體現(xiàn)題目命制的精妙，因?yàn)橛玫谝粋€(gè)思路，第一問(wèn)就是擺設(shè)，兩個(gè)子問(wèn)題不搭界，彼此不相往來(lái)；若用第二個(gè)思路，境界就不同了，第二問(wèn)有機(jī)鏈接了第一問(wèn)，呈現(xiàn)內(nèi)在的“遞進(jìn)”求解關(guān)聯(lián)，使得兩個(gè)子問(wèn)題渾然一體，那命題者的良苦用心才會(huì)真正體現(xiàn)出它的價(jià)值來(lái).

兩個(gè)方法、兩個(gè)思路、兩重境界.

1.段長(zhǎng)榮.“妙解”源于“厭繁”［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（10）.

2.單墫.解題研究［M］.南京：南京師范大學(xué)出版社，2002.

3.劉瑞祥.從命題視角談“并列”問(wèn)題與“遞進(jìn)”求解［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（9）.