一類動態(tài)型試題的命題特點與實踐
——以近五年本區(qū)中考模擬試題為例

☉浙江省寧波市江東區(qū)教研室潘小梅

一類動態(tài)型試題的命題特點與實踐
——以近五年本區(qū)中考模擬試題為例

☉浙江省寧波市江東區(qū)教研室潘小梅

所謂動態(tài)型試題，是以幾何圖形或幾何圖形中的一個或幾個元素為研究對象，通過一定的運動方式，探索圖形中某些元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，達到考查學生運用知識解決問題能力為目的的一類試題.這類試題常常集幾何、代數(shù)于一體，有較強的綜合性和靈活性；它揭示了運動過程中數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，蘊含“運動”與“靜止”、“特殊”與“一般”的辯證思想.正因如此，動態(tài)型試題越來越受到中考命題者的青睞，成為中考命題的焦點.那么，從命題的角度看，動態(tài)型試題有哪些特點呢？本文試圖以近五年命制的動態(tài)型試題為例，從命題的視角來剖析一類動態(tài)型試題的命題特點，和各位同行交流分享.

一、動態(tài)型試題的命題特點剖析

動態(tài)型試題以運動觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律，重在考查學生綜合運用數(shù)學知識和方法解決問題的能力.因此，不管從宏觀的試題結(jié)構(gòu)，還是從微觀的設(shè)問方式來看，它都具有自身的命題特點.現(xiàn)結(jié)合一道筆者親自參與設(shè)計的經(jīng)典動態(tài)型中考試題來剖析動態(tài)型試題的命題特點.

圖1

例1如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（-8，0），直線BC經(jīng)過點B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度，得到四邊形OA′B′C′，此時直線OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于點P、Q.

（1）四邊形OABC的形狀是_________，當α=90°時，的值是__________.

（2）①如圖2，當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在y軸正半軸時，求的值；

②如圖3，當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在直線BC上時，求△OPB′的面積.

（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當0＜α≤180°時，是否存在這樣的點P和點Q，使BP=BQ？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

圖2

圖3

圖4

詳細解答如下：（對學生無此要求）

如圖4，過點Q作QH⊥OA′于點H，連接OQ，則QH=OC′=OC.

①如圖4，當點P在點B左側(cè)時，OP=PQ=BQ+BP=3x.

在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）2，解得（不符實際，舍去）.所以所以

圖5

②如圖5，當點P在點B右側(cè)時，設(shè)OP=PQ=BQ-BP=x，則PC= 8-x.

在Rt△PCO中，（8-x）2+62= x2，解得x=

1.動態(tài)變化特征：改變圖形的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系動態(tài)型問題關(guān)鍵是圖形的“運動”，圖形的動態(tài)變化表現(xiàn)為圖形位置的改變或圖形形狀、大小的改變.那么，圖形或圖形中的一個或幾個元素如何才能動起來？改變圖形位置的常用策略是圖形上的點按照某種規(guī)律運動（如沿直線或曲線的圖像勻速運動）或圖形的變換（如平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、位似等）；改變圖形形狀和大小的常用策略是改變決定圖形形狀和大小的參數(shù)，如改變圖形中角的大小或邊的大小等.例1中四邊形OABC位置的改變就是通過旋轉(zhuǎn)變換改變圖形的位置，探索不同位置下的值與旋轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系.不同的運動方式?jīng)Q定了不同的表述方式，要求表述清晰、簡潔，準確地表達動態(tài)變化的規(guī)則和形式.

2.試題考查特點：寓函數(shù)思想于動態(tài)變化過程之中

由于動態(tài)型試題一般反映了動態(tài)變化過程中，圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換，因此，試題往往會遵循學生平時探究問題的習慣和思路，試題呈現(xiàn)的一般結(jié)構(gòu)為：

如例1中，先在題干中給出平面直角坐標系中的四邊形OABC，并給出了圖形運動的方式（旋轉(zhuǎn)變換），然后提出問題：“的值與旋轉(zhuǎn)角度α之間的關(guān)系”，整道試題圍繞這個問題展開設(shè)問，讓學生在解決問題的過程中感受位置關(guān)系隨著數(shù)量關(guān)系的變化而變化，反之，數(shù)量關(guān)系也隨著位置的改變而改變，將運動中的函數(shù)思想滲透在試題中.

3.設(shè)問的特點：從特殊到一般，體現(xiàn)探究問題的習慣和方法

動態(tài)型試題的基本圖形和運動方式一般在題干中給出，因此，題支就圍繞需要解決的問題展開設(shè)問.設(shè)問不僅要體現(xiàn)函數(shù)思想，更要遵循平時探究問題的習慣和解決問題的思路.由于函數(shù)表示的是兩個變量之間的依存關(guān)系，因此，設(shè)問的順序一般遵循從特殊到一般的方式：如例1的第1問、第2問都是對四邊形OABC特殊位置的設(shè)問（四邊形OABC的頂點落在y軸上或直線BC上）.第3問尋求旋轉(zhuǎn)變化過程中的一般規(guī)律，這和學生平時的思考習慣正好吻合，體現(xiàn)了研究的過程和策略.那么，設(shè)問中如何體現(xiàn)函數(shù)思想呢？方法是根據(jù)位置關(guān)系設(shè)問數(shù)量關(guān)系或根據(jù)數(shù)量關(guān)系設(shè)問位置關(guān)系.如例1的第1問先讓學生判斷四邊形OABC的形狀和旋轉(zhuǎn)角為90°時的值，為后續(xù)問題的展開奠定基礎(chǔ)；第2問根據(jù)位置關(guān)系（四邊形OA′B′C′的頂點B′落在y軸正半軸時；四邊形OA′B′C′的頂點B′落在直線BC上時），設(shè)問數(shù)量關(guān)系（求的值；求△OPB′的面積），考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、運用勾股定理建立等量關(guān)系的方程思想，同時，讓學生在解決問題的過程中逐漸明晰旋轉(zhuǎn)變化過程中各個量之間的關(guān)系（如△OPQ始終是等腰三角形），為第3問的解決提供隱性的鋪墊.第3問反過來進行設(shè)問，從數(shù)量關(guān)系設(shè)問位置關(guān)系（求點P的坐標），要求學生運用解決前面兩問積累的經(jīng)驗深入思考運動過程中的數(shù)量關(guān)系，充分考查了學生遷移經(jīng)驗綜合解決問題的能力，同時，由于運動狀態(tài)下數(shù)量關(guān)系的唯一并不代表位置關(guān)系的唯一引起分類討論，巧妙地考查了“分類討論、轉(zhuǎn)化”等數(shù)學思想方法，并把函數(shù)思想體現(xiàn)在試題中.

二、動態(tài)型試題命題嘗試

從以上剖析可知，動態(tài)型試題有其自身的特點與規(guī)律，那么，如何命制一道動態(tài)型試題？筆者在命題實踐中一般經(jīng)歷如下的研究過程：確定動態(tài)變化的條件→尋找動態(tài)過程的變量→研究特殊情形（特殊位置或特殊圖形）→運用動態(tài)過程中的不變性提出問題.以下筆者以近5年本區(qū)中考模擬試題為例來介紹動態(tài)型試題的命題過程和經(jīng)驗.

1.通過圖形變換改變圖形位置

例2（2010年寧波江東區(qū)中考模擬試題）如圖6，矩形ABCD內(nèi)接于圓O，將矩形ABCD繞圓心O按順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0＜α≤90°）得到的矩形A′B′C′D′仍然內(nèi)接于圓O.設(shè)旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形AD內(nèi)的圖形的周長為C.已知AB=6，AD=8.

（1）如圖7，當α=90°時，旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形AD內(nèi)的圖形是四邊形A′B′EF，則四邊形A′B′EF的周長是_______.

（2）如圖8，當旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形AD內(nèi)的圖形是四邊形時，求sinα的范圍，并比較四邊形A′B′EF的周長和圓O的直徑的大小關(guān)系.

（3）當旋轉(zhuǎn)角α為何值時，旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形AD內(nèi)的圖形是等腰三角形？此時等腰三角形的周長是多少？

圖6

圖7

圖8

解析：（1）易知四邊形A′B′EF的周長是14.

（2）如圖9，當旋轉(zhuǎn)到點B′與點A重合時，旋轉(zhuǎn)角即為∠AOB，在△AOB中，可求得它的正弦值為，當點B′過了點A后旋轉(zhuǎn)的矩形落在弓形AD內(nèi)的圖形開始變?yōu)樗倪呅危詓inα的取值范圍是0＜sinα＜.如圖9，四邊形A′B′EF的周長為線段AB和線段AD的長度之和，思路很多，如：證△A′FD和△AEB′是等腰三角形；證△A′FA≌△DFD′等.在△ABC中，由三角形兩邊之和大于第三邊可知四邊形A′B′EF的周長大于圓O的直徑.

圖9

（3）如圖10，設(shè)A′B′與AD、AB分別相交于點M、P，A′D′與AD相交于點N，并設(shè)A′M=a，AM=b，當旋轉(zhuǎn)45°時△A′MN是等腰三角形.∠A′=90°，知△A′MN和△AMP都是等腰直角三角形，同（2）易證A′N=DN，AP=B′P，故AD=AM+MN+ND=b+a+a=8，A′B′=A′M+MP+PB′=a+b+b=6.由AD-A′B′得a-b=2，所以a-b=，即A′MAM=.故△A′MN的周長=AD+=8+

圖10

本題編擬過程及命題意圖如下：

（1）確定動態(tài)變化的條件.《數(shù)學課程標準》要求能探索圖形變換的性質(zhì)，感悟圖形研究中的運動變換思想，以動態(tài)、相互聯(lián)系的觀點理解圖形的性質(zhì)及相互關(guān)系.因此，確定旋轉(zhuǎn)變換作為考查的對象.常見的圖形旋轉(zhuǎn)問題會把三角形或四邊形進行旋轉(zhuǎn)，命題時希望能有所創(chuàng)新，所以別出心裁地將矩形放在圓中進行旋轉(zhuǎn)，開辟了旋轉(zhuǎn)變換問題的新視角.

（2）尋找動態(tài)過程的變量.變換問題本質(zhì)上是以數(shù)量關(guān)系來刻畫位置關(guān)系.運用幾何畫板探索發(fā)現(xiàn)，“旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形內(nèi)的圖形的周長”和“旋轉(zhuǎn)角度”有密切關(guān)系，從而確定問題研究的主線是“探究旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形內(nèi)的圖形的周長和旋轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系”，即問題的兩個變量是周長、旋轉(zhuǎn)角.

（3）研究特殊位置.運用幾何畫板動態(tài)展示發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形內(nèi)的圖形可能是三角形，也可能是四邊形，其中最特殊的位置是旋轉(zhuǎn)角為90°的情形，此時落在弓形內(nèi)的圖形是一個長方形，而這個長方形的周長竟然代表著所有落在弓形內(nèi)的四邊形的周長.

（4）研究設(shè)問的方法.為了讓學生探究“旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形內(nèi)的圖形的周長和旋轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系”這一問題，遵循學生認識事物的順序展開設(shè)問：設(shè)問1——先從最簡單的情況入手，讓學生觀察圖形并獲得直觀感知，輕松地進入解題狀態(tài)；設(shè)問2——通過圖形特殊位置讓學生比較圖形周長和圓的直徑大小，仍然緊扣核心問題，加深對問題的認識，而且設(shè)問2的解法多樣，給了他們廣闊的展示自身學習水平的空間；設(shè)問3——反過來，由確定的旋轉(zhuǎn)角度來探索周長，整個問題的解決還需要運用整體思想，對學生提出了很大的挑戰(zhàn).3個問題覆蓋初中階段眾多知識點：圓、三角形全等、等腰三角形性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、勾股定理、方程，以及旋轉(zhuǎn)變換、整體思想、化歸思想等，設(shè)問由特殊到一般，層層遞進.能夠誘發(fā)學生開展積極的、深層次的思考，進而反映出學生的數(shù)學思維水平.

2.通過點動改變圖形位置和形狀

例3（2012年寧波江東區(qū)中考模擬試題）已知：如圖11，拋物線C1：y=（x-m）2+n（m＞0）的頂點為A，與y軸相交于點B，拋物線C2：y=-（x+m）2-n的頂點為C，并與y軸相交于點D，其中點A、B、C、D中的任意三點都不在同一條直線上.

圖11

圖12

（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由.

（3）是否存在m、n的值，使四邊形ABCD是鄰邊之比為1的矩形？若存在，請求出m、n的值；若不存在，請說明理由.

解析：（1）略.

（2）m=3，n=0.

本題編擬過程及命題意圖如下：

（1）確定動態(tài)變化條件.四邊形和拋物線相結(jié)合的圖形比較常見，尤以四邊形的某些點在同一條拋物線上的問題居多.本題以兩條成中心對稱的拋物線為藍本構(gòu)造四邊形ABCD.四邊形ABCD的頂點由拋物線的解析式確定，這樣一旦拋物線的頂點運動，四邊形ABCD的形狀和大小便隨之運動.用“點動”帶動“形動”也是常用的動態(tài)條件.

（2）尋找動態(tài)過程變量.本題中“四邊形ABCD的形狀”隨著“拋物線頂點的位置”變化而變化，這樣動態(tài)變化的變量就形成了.

（3）研究特殊情形.四邊形ABCD的形狀隨著頂點A位置的改變而改變，當頂點A在某一個特殊的位置時，四邊形ABCD可能是正方形，也可能是矩形，反過來，當四邊形的形狀確定時，相應(yīng)的四邊形ABCD的形狀也就隨之而確定了.

（4）研究動態(tài)問題設(shè)置.例3的第1問讓學生判斷四邊形ABCD的形狀，證明的方法有別于平時學生遇到的幾何證明，需要結(jié)合拋物線的解析式加以證明.第2問反過來由四邊形的形狀設(shè)問拋物線頂點的位置，考查了特殊位置（點A落在x軸上時），四邊形ABCD的形狀與拋物線的頂點之間的關(guān)系.第3問再問拋物線的頂點運動至哪些位置時，可以使得四邊形ABCD是邊長之比確定的矩形.讓學生在問題解決的過程中感受“四邊形ABCD的形狀如何隨著點的運動而變化，感受動態(tài)問題中的函數(shù)思想.

3.通過設(shè)置參數(shù)改變圖形形狀

決定圖形形狀和大小的是圖形的邊和角，因此，我們可以通過改變圖形本身的角或邊的大小來改變圖形的形狀或大小，從而使圖形動起來.

例4（2013年寧波江東區(qū)中考模擬試題）如圖13，分別以矩形ABCD的一組對邊AD、BC為一邊在矩形ABCD外作菱形ADEF和菱形BCGH，∠FAD=∠HBC=α（0＜α≤90°），點O是矩形ABCD的邊AB的中點，連接OE、OG、EG.

（1）小明在探究中發(fā)現(xiàn)：如圖14，當α=90°時，有以下兩個結(jié)論成立：①OE=OG；②AB∥EG.于是，小明猜想：“當α≠90°時，以上兩個結(jié)論仍然成立.”你同意他的猜想嗎？請你分別作出判斷，并說明理由.

（3）若矩形ABCD的邊長AB=4，AD=5，當△OEG的中位線長正好等于線段AD長時，請你直接寫出sinα的值.

圖13

圖14

圖15

解析：（1）以上兩個結(jié)論仍然成立.

①OE=OG的證明方法有如下3種.

方法1：如圖16，延長OA、EF交于點M，延長OB、GH交于點N，先證△FAM≌△HBN，得FM=HN，從而EM= GN，再證△EMO≌△GNO，得OE=OG.

方法2：如圖17，連接AE、BG，先證明△EDA≌△GCB，得AE=BG，再證明△EAO≌△GBO，從而OE= OG.或者：如圖18，連接OD、OC，先證明△AOD≌△BOC，再證明△EDO≌△GCO，得OE=OG.

圖16

圖17

圖18

圖19

方法3：如圖19，取CD的中點M，連接OM并延長交EG于點N，連接EM、GM，先證明△EMD≌△GMC，再證明OM⊥CD，證明△EMO≌△GMO，得OE=OG.

②AB∥EG的證明方法有如下4種.

方法1：如圖20，在第①小題得OE＝OG，∠GOB＝∠AOE的基礎(chǔ)上，證明∠GOB＝，∠EGO＝，從而得AB∥EG.

圖20

圖21

方法2：如圖21，在已證EM＝GN，∠M＝∠N＝90°的基礎(chǔ)上，證明四邊形EMNG是矩形或平行四邊形，從而得AB∥EG.

方法3：如圖22，在已證OE＝OG，∠OED＝∠OGC的條件下，證明∠DEG＝∠CGE，∠EDC＝∠GCD，利用四邊形內(nèi)角和，得到∠CGE＋∠GCD＝180°，從而AB∥EG.

圖22

圖23

方法4：如圖23，過點D作DM⊥EG于點M，過點C作CN⊥EG于點N，在已證明OE＝OG的條件下，證明△EDM≌△GCN，得DM＝CN，再證明四邊形CDMN是矩形，得到CD∥MN，從而得到AB∥EG.

本題編擬過程及命題意圖如下：

（1）確定動態(tài)變化條件.搜索全國各地的中考題，發(fā)現(xiàn)常見的圖形動態(tài)問題的特征為以單一圖形上點（單點、雙點、多點）的運動或變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱）引起的動態(tài)問題，于是腦子中出現(xiàn)了多圖組合的設(shè)想.首先想到了當矩形和菱形有一邊長相等的時候，可以組合在一起，在幾何畫板中構(gòu)造了圖24：由2個全等的菱形和1個矩形組合成的復(fù)合圖形，拖動點B可以改變矩形ABCD的邊長大小，拖動點E可改變菱形ADEF的內(nèi)角大小，則四邊形BCGH的形狀也隨著改變，但兩個四邊形始終保持全等.

圖24

圖25

（2）尋找動態(tài)過程的變量.圖24中四邊形ADEF和BCGH的形狀隨著改變，但圖形太過簡單提不出一個合適的綜合性問題.所以想到再增加一些線段，由于圖24本身是軸對稱圖形，繼續(xù)構(gòu)造軸對稱圖形得到圖25，出現(xiàn)了一些三角形.在圖25中拖動點E，發(fā)現(xiàn)線段EG始終與AB平行，且它的長度隨角度的改變而改變.這樣就找到了動態(tài)過程中的一對變量：“線段EG的長度”隨著“菱形的一個內(nèi)角”（不妨設(shè)∠FAD=α）的變化而變化，不妨設(shè)長方形ABCD的邊長分別為AB=a，AD=b，則EG=a+ 2bsinα，如果給定a、b的值，則EG的長是關(guān)于角度α的函數(shù).

（3）研究特殊情形.先來研究圖形的特殊情形：如圖26，當α=90°時，顯然有OE=OG，繼續(xù)拖動點E，也可以得到一種特殊位置（如圖27）：點O、D、E在同一條直線上，圖27考查的知識點很豐富：如何證明DC//EG？根據(jù)CD的長求得EG的長需要具備相似三角形的相關(guān)知識.

圖26

圖27

繼續(xù)觀察到圖27，還發(fā)現(xiàn)線段CD很可能正好是△OEG的中位線，于是便有了設(shè)問：“若△OEG的中位線恰好等于線段CD的長，求sinα的值”，通過多次的嘗試發(fā)現(xiàn)當AD=4，AB=6時，可保證OD是一個整數(shù)，倒過來問題便可迎刃而解.

（4）研究設(shè)問的方式和順序.在以上探究過程中，筆者發(fā)現(xiàn)在所有問題的解決中，都需要說明AB∥EG，這個結(jié)論有一定的難度，但如果不提出讓學生證明AB∥EG，有許多學生很可能會默認兩直線平行，而直接運用兩直線平行去解決問題，達不到考查目的.于是想到了利用特殊位置探究規(guī)律并向?qū)W生展示“從特殊到一般”研究問題的方法.例4第1問以特殊位置存在的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系引導學生探究一般位置時線段的數(shù)量和位置關(guān)系，起點低，證明方法多樣，同時又為后續(xù)的問題作了思維上的鋪墊.第2問讓學生運用探究到的結(jié)論來計算、求解問題，綜合考查了初中數(shù)學相似三角形、等腰三角形等初中數(shù)學核心知識.第3問根據(jù)三角形中位線的位置不同設(shè)置問題，考查了三角形中位線的概念，分類討論思想，運用方程等工具解決問題的能力.全題以“從特殊到一般探究結(jié)論→應(yīng)用結(jié)論解決問題”的方式展開，讓學生經(jīng)歷數(shù)學問題研究和解決的過程，考查了學生的知識技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度等諸多方面，有良好的評價導向功能.

最后，筆者想說的是動態(tài)型問題靈活多變，姿態(tài)萬千，筆者只是梳理一些淺薄的實踐經(jīng)驗，還望各位讀者海涵，并提出更多的建議與筆者分享.