☉江蘇省南通市八一中學(xué) 丁麗云
解題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生“回到概念”
——以七年級(jí)上學(xué)期期末模擬測(cè)試考題為例
☉江蘇省南通市八一中學(xué)丁麗云
最近,筆者所在七年級(jí)數(shù)學(xué)組為了“備戰(zhàn)”期末考試,安排了模擬測(cè)試,最后一道題選用了北京某區(qū)七年級(jí)期末卷上的一道把關(guān)題,由于學(xué)生考試時(shí)間有限,很少有學(xué)生能完整解決該題,也使得這道習(xí)題呈現(xiàn)了一定的區(qū)分功能.本文對(duì)這道較難幾何題展開(kāi)講評(píng),希望引發(fā)大家深入思考這類(lèi)問(wèn)題的解題策略、講評(píng)技巧.
例1已知∠AOB=α(30°<α<45°),∠AOB的余角為∠AOC,∠AOB的補(bǔ)角為∠BOD,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD.
圖1
(1)如圖1,當(dāng)α=40°,且射線OM在∠AOB的外部時(shí),用直尺、量角器畫(huà)出射線OD、ON的準(zhǔn)確位置.
(2)求(1)中∠MON的度數(shù),要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程.
(3)當(dāng)射線OM在∠AOB的內(nèi)部時(shí),用含α的代數(shù)式表示∠MON的度數(shù).(直接寫(xiě)出結(jié)果即可)
1.讀懂語(yǔ)句想概念,明確起點(diǎn)是關(guān)鍵
問(wèn)題的“題干”中并沒(méi)有“如圖”,就說(shuō)明題目中雖然有一個(gè)圖形,但是并不是題干所約定的一個(gè)圖形,這是不少學(xué)生初讀題時(shí)就陷入一個(gè)不好的思考方向.實(shí)際上問(wèn)題的起點(diǎn)只是一個(gè)“∠AOB=α(30°<α<45°)”.進(jìn)一步,這個(gè)角的余角為∠AOC,仔細(xì)觀察和分析會(huì)發(fā)現(xiàn),這個(gè)角與∠AOB有一條公共邊,但另一邊(射線OC)的位置有幾種?唯一嗎?想清楚這個(gè)問(wèn)題是很關(guān)鍵的,因?yàn)樯婕啊坝嘟恰钡母拍?,?shù)學(xué)上對(duì)于余角的定義,只強(qiáng)調(diào)數(shù)量關(guān)系,并沒(méi)有特殊的位置關(guān)系;同樣的思考就可用于“∠AOB的補(bǔ)角為∠BOD”.理解題意后,才會(huì)發(fā)現(xiàn),問(wèn)題的起點(diǎn)就很復(fù)雜,需要分類(lèi)討論,我們可以用量角器畫(huà)圖,如圖2、圖3所示.
圖2
圖3
進(jìn)一步思考,射線OD1一定需要用量角器來(lái)作圖嗎?射線OD1與OA的位置關(guān)系如何?它們恰在一條直線上嗎?回答是肯定的!類(lèi)似地,射線OC1與OB的位置關(guān)系是一種垂直狀態(tài)嗎?當(dāng)然,它們各自的另一種情形(射線OC2,OD2),目前還是需要用量角器來(lái)畫(huà)圖的;進(jìn)一步兩種角的平分線也就可以畫(huà)出了(圖3).
上面說(shuō)了這么多,還沒(méi)有進(jìn)入第(1)問(wèn),“慢”得真讓人不可思議,這是什么意圖呢?因?yàn)槲覀冃枰嬲鞔_問(wèn)題的起點(diǎn).當(dāng)我們深刻理解了上面的這些可能的圖形及位置關(guān)系,就對(duì)于后續(xù)問(wèn)題的求解起到很好的作用.
2.特例引路畫(huà)準(zhǔn)圖,分類(lèi)討論防漏解
第(1)問(wèn)“當(dāng)α=40°,且射線OM在∠AOB的外部時(shí)”這句話的意思是什么呢?要分開(kāi)解讀,第一,α=40°說(shuō)明∠AOB的大小被確定;第二,“射線OM在∠AOB的外部”就比較難理解了!從圖3發(fā)現(xiàn),我們要舍一種情況,得出圖4,圖4中,待求的∠MON有兩種可能,即∠M1ON1,∠M1ON2,根據(jù)互余、互補(bǔ)易得∠M1OA=25°,∠N1OB=∠N2OB=70°,求出相應(yīng)的∠M1ON1,∠M1ON2為135°、5°.
圖4
3.強(qiáng)化條件是何意,以美啟真來(lái)破題
第(3)問(wèn)有一定的難度,但是與上面第(1)問(wèn)的思考類(lèi)似,結(jié)合強(qiáng)化條件“射線OM在∠AOB的內(nèi)部”從圖3出發(fā),得出圖5.
圖5
很明顯,問(wèn)題還應(yīng)該是有兩解,∠M2ON1,∠M2ON2.那么怎么用含α的式子表示呢?還是先退回“題干”中思考概念吧!根據(jù)互余、互補(bǔ)的概念能否用含α的式子表示∠M2OA,∠N1OB,∠N2OB呢?想清楚這個(gè)步驟是很關(guān)鍵的,即∠M2OA∠D2OB=(180°-α),進(jìn)一步可以表示出∠BOM2=∠AOB-于是,∠M2ON1=
反思回顧收獲大:?jiǎn)栴}的答案已經(jīng)獲得,但并不代表思考就可以終止.美國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)者舍費(fèi)爾德所說(shuō)的“求出答案并繼續(xù)前進(jìn)”就是這個(gè)道理.下面我們基于對(duì)稱(chēng)的角度來(lái)思考,請(qǐng)看圖6.
圖6
在圖6中,我們構(gòu)造出兩條對(duì)稱(chēng)軸(請(qǐng)注意,學(xué)生在小學(xué)就知道對(duì)稱(chēng)軸的概念),基于對(duì)稱(chēng),就容易發(fā)現(xiàn)射線OD1與OD2,OC1與OC2它們的對(duì)稱(chēng)關(guān)系,這樣也就知道問(wèn)題的兩種情況不僅僅是“數(shù)量”上的關(guān)系,而且也有“圖形”上的關(guān)聯(lián),可見(jiàn),數(shù)學(xué)上的數(shù)形結(jié)合思想方法并不是一句空話.
上面圍繞這道幾何把關(guān)題給出問(wèn)題的思路突破,其實(shí)也是解題教學(xué)上的一種講評(píng)策略,以下再由這道具體習(xí)題的解題與講評(píng)說(shuō)開(kāi)去,進(jìn)一步思考解題教學(xué)值得在哪些方面用力.
1.當(dāng)思路受阻時(shí),引導(dǎo)學(xué)生“回到概念”
解題思路受阻是解決數(shù)學(xué)題時(shí)經(jīng)常碰到的,這時(shí)是盲目突進(jìn)、胡思亂想?還是有序思考、冷靜從容?從哪些角度嘗試呢?當(dāng)問(wèn)題毫無(wú)思路或念頭時(shí),要先向上退,退到問(wèn)題表述中,逐字逐句重新讀題,比如上文提出的考題,第(1)問(wèn)有強(qiáng)化條件“射線OM在∠AOB的外部”,如何解讀這句,對(duì)于問(wèn)題的思路打通是很關(guān)鍵的,除了上文在解題準(zhǔn)備階段先分析出圖2、圖3有助于進(jìn)一步分析之外;這句強(qiáng)化條件也能啟發(fā)思考,射線OM在什么情況下才會(huì)在∠AOB的外部?從而思考角的概念,知道角的內(nèi)部、外部與角的兩邊(共端點(diǎn)的兩條射線)之間的關(guān)系,也就使得問(wèn)題結(jié)構(gòu)進(jìn)一步清晰化.
2.當(dāng)解答漏解時(shí),引導(dǎo)學(xué)生“回到概念”
這道考題最大的一個(gè)問(wèn)題就是容易出現(xiàn)漏解.這時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀“∠AOB的余角為∠AOC”,就可以“回到概念”,回到“余角”的概念,就知道余角的概念只是一種數(shù)量關(guān)系,而與位置關(guān)系無(wú)關(guān),結(jié)合這道題有一個(gè)公共邊OA,則需要考慮不同的情形,也就能夠獲得進(jìn)展,防止漏解了.
3.當(dāng)解后反思時(shí),引導(dǎo)學(xué)生“回到概念”
我們知道,數(shù)學(xué)問(wèn)題解后缺少回顧反思,常?!叭雽毶蕉辗怠?解后反思環(huán)節(jié),除了思考問(wèn)題考查的深層結(jié)構(gòu)、經(jīng)典模式、思想方法等角度外,還可思考問(wèn)題考查了哪些核心概念,這些概念的本質(zhì)屬性對(duì)于問(wèn)題思路的獲取有何作用.比如,上面在回顧反思階段,基于對(duì)稱(chēng)的角度讓學(xué)生獲得更為全面的認(rèn)識(shí),有一種“居高臨下”之感,就容易洞察問(wèn)題的本質(zhì),明晰問(wèn)題的結(jié)構(gòu),這樣有助于達(dá)到“解一題、會(huì)一類(lèi)、通一片”的解題效果.
1.袁亞良.一次市級(jí)說(shuō)題比賽的成果展示與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中),2014(5).
2.楊千帆.3P策略:有效的師生溝通策略[J].基礎(chǔ)教育課程(上),2015(6).
3.肖維松.回到概念:解題教學(xué)的一種取向——以2014年江蘇泰州卷第25題教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上),2014(7).