從等式基本性質2表述異同說起

☉山東省日照市新營中學　田獻增

☉上海教育出版社劉祖希

從等式基本性質2表述異同說起

☉山東省日照市新營中學田獻增①

☉上海教育出版社劉祖希

①田獻增（1963-），男，山東日照人，DYQ學習策略創(chuàng)始人，中學高級教師，主要從事教育教學研究.

比較國內(nèi)11個版本義務教育數(shù)學教科書中等式基本性質2的表述形式，可以發(fā)現(xiàn)：“等式兩邊同時乘同一個數(shù)”時，這個數(shù)是否可以為0，出現(xiàn)了兩種不同的觀點.調查發(fā)現(xiàn)，這一現(xiàn)象的出現(xiàn)，對教師教學和學生學習帶來了思想的混亂，同時也影響了相關教科書自身體系的完備性.

一、蘇科版與人教版等11個版本教科書對等式基本性質2表述形式的比較

1.蘇科版教科書中的表述形式

等式兩邊都乘（或除以）同一個不等于0的數(shù)，所得結果仍是等式.（鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F，江蘇科學技術出版社數(shù)學七年級上冊，2012年6月，簡稱蘇科版）

顯然，這里認為：等式基本性質2中等式兩邊都乘同一個數(shù)，條件是“這個數(shù)不能等于0”，并且“所得結果”中“結果”的含義是指含有等號的新的數(shù)學表達式.

2.人教版等10個版本教科書中的表述形式

（1）人教版教科書中的表述形式.

等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結果仍相等.（人民教育出版社數(shù)學七年級上冊，2010年5月，簡稱人教版）

首先，從等式基本性質2的表述中可以看出，等式兩邊都乘同一個數(shù)，條件是這個數(shù)是任意數(shù)，就是說“這個數(shù)可以等于0”.這與蘇科版的觀點是不一致的.

其次，“結果仍相等”中的“結果”是指等號左、右兩邊的兩個“新”的代數(shù)式（與蘇科版“所得結果”中的“結果”含義不一致.此問題與本文無關，不作討論）.同時“結果仍相等”中的“相等”，含有強調兩個代數(shù)式的值“一定”相等之意.

（2）華師大版等8個版本教科書中的表述形式.

①等式兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結果仍是等式（.華東師范大學出版社義務教育教科書數(shù)學七年級下冊，2012年7月，簡稱華師大版）

②等式兩邊同時乘同一個數(shù)（或除以同一個不為0的數(shù)），所得結果仍是等式（.北京師范大學出版社教科書數(shù)學七年級上冊，2013年3月）

③等式兩邊同時乘同一個數(shù)（或除以同一個不為0的數(shù)），所得結果仍是等式（.山東教育出版社義務教科書數(shù)學六年級上冊，2012年7月）

④等式兩邊都乘（或除以）同一個數(shù)（或式）（除數(shù)或除式不能為0），所得結果仍是等式（.湖南教育出版社義務教育教科書數(shù)學七年級上冊，2012年6月）

⑤等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結果仍是等式（.河北教育出版社教科書數(shù)學七年級上冊，2012年7月）

⑥等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結果仍是等式（.上?？茖W技術教育出版社義務教育教科書數(shù)學七年級上冊，2012年6月）

⑦等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結果仍是等式（.青島出版社義務教育教科書數(shù)學七年級上冊，2012年6月）

⑧等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結果仍是等式（.浙江教育出版社義務教育教科書數(shù)學七年級上冊，2012年7月）

比較以上8個版本教科書對等式性質2的表述形式可以看出，其共同點如下所示.

①等式兩邊都乘同一個數(shù)（或式），這個數(shù)（或式）可以等于0.這一觀點與人教版觀點是一致的，與蘇科版觀點是不同的.

②“所得結果”中的“結果”是指含有等號的新的數(shù)學表達式.因為“等式兩邊都乘同一個數(shù)（或式）”時，這個數(shù)（或式）的限制條件差異，導致這一觀點與蘇科版表述形式相同，但本質不同；與人教版表述形式不同，本質相同.

（3）京教版教科書表述形式分析.

如果a=b，c為任意數(shù)，那么ac=bc；如果a=b，c≠0，那么a/c=b/c.（北京教育科學院、北京出版集團公司義務教育教科書數(shù)學七年級上冊，2013年6月））

這里的等式性質2是用符號表述的，它與華師大版等8個版本教科書表述形式不同，但本質是相同的.

2.結論與思考

通過上述比較可以發(fā)現(xiàn)以下幾點.

（1）蘇科版教科書認為：在等式基本性質2中，等式兩邊同時乘一個數(shù)，這個數(shù)不能是0；人教版及華師大版等10個版本教科書認為：這個數(shù)可以是0.顯然，這是兩種對立的觀點.

（2）華師大版等8個版本教科書中的結論（所得結果仍是等式）與人教版教科書中的結論（結果仍相等），盡管表述形式不同，但由于變形條件一樣，可以推斷，結論的本質是一樣的，即：都是指等號兩邊的兩個代數(shù)式的值“一定”相等.

（3）因為蘇科版等式基本性質2中的條件要求乘同一個數(shù)時，“這個數(shù)不能是0”，所以在這里，不但不能確認“所得結果仍是等式”中，等號兩邊的“兩個代數(shù)式的值”一定相等.相反地，可以確認等號兩邊的“兩個代數(shù)式的值”不一定相等.理由是假如該教科書意在強調等號兩邊的兩個代數(shù)式的值“一定”相等，就可以像人教版等10個版本教科書一樣，無需在“等式兩邊同時乘一個數(shù)”時，排除數(shù)字0了.當?shù)仁絻蛇呁瑫r乘0時，等號兩邊的“兩個代數(shù)式的值”都是0，這是一定相等的.

為此筆者思考：為什么同一個數(shù)學原理——等式基本性質2，在不同的教科書中變形的條件不同，問題的根源是什么？

二、“等式基本性質”的含義以及表述形式差異形成的原因

數(shù)學概念的性質是指從數(shù)學概念直接推導得出的運算法則或者運算公式等延伸的知識，數(shù)學的概念和性質具有緊密的銜接關系.因此追溯上述教科書對等式基本性質2表述出現(xiàn)觀點差異的原因，還需從什么是等式說起.

1.等式的定義

國家新課程標準頒布實施后，義務教育教科書把等式作為一個不加定義的數(shù)學概念.盡管如此，但不是說它沒有確定的含義.

（1）等式的定義及其含義.

1989年8月第2版人民教育出版社初級中學代數(shù)第120頁中對等式定義是：“…（像這種）表示相等關系的式子叫做等式.”

顯然，這里沒有明確等號兩邊的數(shù)值“一定”相等，即等號左、右兩邊的值不一定相等.其內(nèi)涵僅是含有等號的數(shù)學表達式.

事實上，“等式（equality）是數(shù)學的基本概念之一，指表達相等關系的式子.在等式中通常用‘=’把認為相等的兩個對象連接起來［1］”這里僅指把“認為”相等但不一定相等的兩個對象連接起來.

我們知道，常見的用“等號”連接起來的式子，有以下幾種，如：“1+2=3①”“a+b=b+a②”“x-6=13③”“x2+1=2④”“3+1=0⑤”“m2+1=0⑥”“=0⑦”等.

一般地，像①②這樣的等式，稱為恒等式.恒等式是“一種常見的等式，表示兩個解析式對所含變數(shù)字母的全部取值都相等的等式［3］”

因為等式③只有在x=19這個條件下才成立，等式④也只有在x=1或x=-1的條件下才能成立，所以像③④這樣的在一定條件下成立的等式稱為條件等式.即：“若一個等式在所討論的范圍內(nèi)僅當滿足某些條件時才能成立［2］”，這個等式就是條件等式.

而等式⑤中，顯然3+1=4，而4≠0，等式⑥中也不存在這樣的實數(shù)m使m2+1=0，同樣地，等式⑦中也不存在這樣的實數(shù)x使=0，所以我們把像⑤⑥⑦這樣的等式稱為矛盾等式.

由此可見，等式的外延是指恒等式（identity）條件等式（conditionalequality）或矛盾等式（contradictoryequality）等等式［3］

（2）從方程的定義看等式的含義.

“方程是含有未知數(shù)的等式.”（人民教育出版社義務教育教科書數(shù)學7年級上冊，2012年6月）“方程（equation）亦稱方程式.數(shù)學的一個重要概念和研究對象.一般只含有未知數(shù)或變數(shù)的等式［4］”，在初等代數(shù)中，只論代數(shù)方程，含有未知數(shù)的代數(shù)式稱為方程.按方程解的情況常把方程分為三類，即：條件方程、矛盾方程和恒等方程［5］.從以上可以看出：方程是等式，條件方程屬于條件等式，矛盾方程屬于矛盾等式，恒等方程屬于恒等式.

因此，從方程的定義也可以看出：等式的定義是一個側重于形式化的定義，其內(nèi)涵是含有“等號”，其等號兩邊數(shù)值是不一定相等的.或者說方程概念對應的等式的外延是指恒等式、條件等式或矛盾等式.

反過來，若等式的本質要求“等號兩邊數(shù)值一定”相等，數(shù)學內(nèi)部體系會產(chǎn)生如下邏輯錯誤.

因為方程是等式，等式必須滿足“等號兩邊數(shù)值一定相等”，所以方程必須滿足等號兩邊數(shù)值相等.又因為無解的方程或矛盾方程等號兩邊數(shù)值一定不相等，所以無解的方程不是等式.因為無解的方程不是等式，所以無解的方程不是方程.

（3）對11個版本教科書等式基本性質2中等式的屬性比較.

由上可知，等式基本性質2中前提中的等式外延是：恒等式或條件等式或矛盾等式.結論中等式的外延如下所示.

①蘇科版教科書因在表述等式兩邊同時乘同一個數(shù)時，強調這個數(shù)不能是0，因此“所得結果仍是等式”里的“等式”外延是“恒等式或條件等式或矛盾等式”.即利用等式基本性質2對等式變形后，變形前后等式屬性變化如表1所示.

表1

②人教版教科書中的“結果仍相等”對應的等式外延是“恒等式”.

③華師大版等8版本教科書中“所得結果仍是等式”里的“等式”外延是“恒等式”.

④京教版同③.

以上10個版本利用等式基本性質2對等式變形后，變形前后等式屬性變化如表2所示.

表2

2.“等式基本性質”的意義與等式基本性質2表述差異帶來的困惑

（1）等式基本性質2與方程同解原理的比較.

國家義務教育課程標準實施后，為了降低數(shù)學課程的難度，在解方程中，將過去數(shù)學教科書中的“方程同解原理”或“遍乘定理”以“等式基本性質”代替，“等式基本性質”在解方程中的作用相當于“方程同解原理”或“遍乘定理”.

從數(shù)學體系上說，等式基本性質是“方程同解原理”或“遍乘定理”的依據(jù).具體地說，等式基本性質2是方程同解原理2的依據(jù).方程同解原理2“方程的兩邊都乘以（或除以）不等于0的同一個數(shù)，所得的方程與原方程是同解方程.”（見人民教育出版社初級中學代數(shù)1989年8月第2版第123頁）顯然，與等式基本性質2變形條件不一致.或者說，等式基本性質2是遍乘定理的依據(jù).“如果h（x）≠0，且h（x）對方程f（x）=g（x）的未知數(shù)的一切可能值都有意義，那么與方程f（x）·h（x）=g（x）·h（x）同解.因此，方程的兩邊都乘以（或者都除以）不等于0的同一個數(shù)，所得的方程與原方程是同解方程.”［6］這里同樣與等式基本性質2變形條件不一致.

“方程同解原理2”或“遍乘定理”都要求：方程的兩邊都乘以同一個數(shù)或式時，這個數(shù)或式都不能等于0.目的是保證變形前后的方程本質屬性不變.如表3所示.

表3

當方程（等式）的兩邊都乘0時，所得新方程與原方程不同解，改變了方程的本質屬性，條件方程（等式）、矛盾方程（等式）都變?yōu)楹愕确匠蹋ǖ仁剑┝?如表4所示.

表4

比較上述分析可知，方程是等式，方程應滿足等式的性質，作用等同于“方程同解原理2”或“遍乘定理”，本質應該與“方程同解原理的2”或“遍乘原理”是一致的.

（2）等式基本性質對等式變形的意義.

等式基本性質屬于數(shù)學原理范疇，它是等式恒等變形或推理的依據(jù).等式基本性質這一數(shù)學原理表述的正確與否，直接關系到利用等式基本性質進行等式變形或經(jīng)推理所得結論正確與否.具體地說，既關系到解方程的正確與否，也關系到解決相關數(shù)學問題時，所做的等式變形后所得結論的正確與否.

利用等式基本性質將等式變形或推理時，像將一個條件等式或矛盾等式變形后得到一個恒等式是毫無意義的（如表2）.利用等式基本性質將等式變形或推理，必須保證變形前后等式的“屬性”不變，即原來是矛盾等式（條件等式或恒等式），變形后還應該是矛盾等式（條件等式或恒等式）（如表1），并且對于條件等式來說，變形前后所得等式的條件應該完全相同.

具體到方程中，將一個條件方程或矛盾方程變形后得到一個恒方程是毫無意義的（如表4）.也就是說，利用等式基本性質將方程變形或推理，必須保證變形前后方程的“屬性”不變，即原來是矛盾方程（條件方程或恒方程），變形后還應該是矛盾方程（條件方程或恒方程）（如表3），并且對于條件方程來說，變形前后所得方程的條件應該完全相同，也就是說變形前后所得方程的解應該完全相同.這也是方程同解原理的意義所在.

三、等式基本性質2表述差異帶來的困惑

由以上分析可知：類似于“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結果仍是等式”的表述形式，因為乘以一個數(shù)時，這個數(shù)沒有排除0，導致前后兩個“等式”所表示的外延縮小，從邏輯的角度看，犯了“偷換概念”的錯誤.

1.對數(shù)學體系的影響

因為等式基本性質2“等式兩邊同時乘同一個數(shù)”時，這個數(shù)為0，會犯偷換概念的錯誤，從而導致數(shù)學自身體系出現(xiàn)了像類似上述問題中的“無解的方程不是方程”的邏輯錯誤或矛盾.

這一現(xiàn)象的出現(xiàn)是否是課程標準或課改能容忍的或允許的，在此無從考究.即使課程標準或課改對教材體系或邏輯體系沒有目標要求，但作為數(shù)學自身體系，也不應出現(xiàn)這樣的邏輯錯誤或矛盾.原因是數(shù)學本身就擔負著培養(yǎng)學生思維能力或邏輯思維能力的任務.

2.對數(shù)學教學和學習的潛在影響

像上面介紹的因為“等式兩邊同時乘以同一個數(shù)，這個數(shù)可以是0”而引發(fā)的邏輯問題，盡管在數(shù)學中“隱蔽”性很深，短時間內(nèi)對學生學習造成的影響也不明顯，但從長遠看，對學生思維能力的培養(yǎng)有負面影響是毫無置疑的.對教師教學帶來的不便也是顯然的.筆者通過不全面調查獲知，教師對此理解非常混亂.特別是在2009年3月底，在日照市新營中學楊老師執(zhí)教的公開課（課題：人教版分式方程第一節(jié)）后的評課過程中，老師們針對課上問題“解分式方程為何要檢驗”，只能用“分母不能是0”來解釋.筆者認為這個解釋是勉強的.也與維果茨基最近發(fā)展區(qū)理論不一致.

但是若用相應教科書體系中的數(shù)學原理“等式基本性質2”就無法解釋清楚，甚至出現(xiàn)矛盾.原因是解分式方程過程中的第一步是“方程兩邊同時乘以最簡公分母”，按相應教科書體系中的“等式基本性質2”理解，“方程兩邊同時乘以最簡公分母，這個最簡公分母可以是0.既然可以是0，就沒有違背該數(shù)學教科書體系中的數(shù)學原理等式的基本性質2，后面的變形、計算步驟只要不違背其他數(shù)學原理，計算正確，所得結果應該是“真”的，無需進行檢驗.否則，這樣就會出現(xiàn)如下事實：如果說沒有違背數(shù)學原理的解題過程也需要檢驗，以此類推，那么解一元一次方程、一元二次方程同樣是需要檢驗的.事實上，數(shù)學教科書中只強調解分式方程必須檢驗，而解一元一次方程、一元二次方程時不需檢驗.

沒有違背數(shù)學原理的數(shù)學解題過程要檢驗不是數(shù)學的本意.數(shù)學活動過程中之所以要檢驗，只是因為解題過程中出現(xiàn)了違背數(shù)學原理的解題步驟，并且這里的“檢驗”是彌補前面違背數(shù)學原理“錯誤”的過程.

四、建議對“等式基本性質2”表述加以規(guī)范統(tǒng)一

綜上所述，建議數(shù)學中對等式基本性質2表述予以統(tǒng)一，即：“等式兩邊都乘（或除以）同一個不為0的數(shù)或式，所得結果仍是等式”，達到完善數(shù)學自身體系的目的.

1.數(shù)學辭海［M］．山西教育出版社，中國科學技術出版社，東南大學出版社，2006.