混凝土泵車臂架系統(tǒng)振動(dòng)分析與實(shí)驗(yàn)

劉榮升　李　慧　高英杰　楊育林

燕山大學(xué)，秦皇島，066004

混凝土泵車臂架系統(tǒng)振動(dòng)分析與實(shí)驗(yàn)

劉榮升李慧高英杰楊育林

燕山大學(xué)，秦皇島，066004

應(yīng)用解析法對52 m長混凝土泵車的五節(jié)臂系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)特性分析。采用拉格朗日第二類方程和假設(shè)模態(tài)法建立了臂架系統(tǒng)的柔性多體動(dòng)力學(xué)方程，基于建立的柔性模型對臂架系統(tǒng)進(jìn)行了模態(tài)分析，并應(yīng)用MATLAB軟件對模態(tài)進(jìn)行了數(shù)值求解,得出了臂架系統(tǒng)的前10階固有頻率及振型，并分析了不同的臂架參數(shù)對臂架系統(tǒng)固有頻率的影響，最后通過現(xiàn)場測試實(shí)驗(yàn)對理論固有頻率進(jìn)行了驗(yàn)證。研究結(jié)果為臂架結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步優(yōu)化及系統(tǒng)振動(dòng)的控制提供了理論依據(jù)。

混凝土泵車臂架系統(tǒng)；柔性多體動(dòng)力學(xué)；模態(tài)分析；固有頻率

0　引言

混凝土泵車是一種用于混凝土輸送和澆筑的大型建筑機(jī)械，廣泛應(yīng)用于高層建筑、橋梁、高速鐵路以及地下工程的混凝土澆筑施工。由于泵車需要實(shí)現(xiàn)大范圍的澆筑作業(yè)，故其具有較長的臂架系統(tǒng)，當(dāng)前最長的臂架已達(dá)到101 m[1]。臂架系統(tǒng)多由四到六節(jié)臂構(gòu)成，是一種典型的柔性多體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。在混凝土泵送過程中，周期性的泵送沖擊會使臂架系統(tǒng)產(chǎn)生較大幅度的振動(dòng)，導(dǎo)致臂架末端的位置難以精確控制，引發(fā)多種安全事故。而且過大的振動(dòng)會加速臂架的疲勞損傷，縮短臂架系統(tǒng)甚至整車的使用壽命。因此，展開針對臂架系統(tǒng)振動(dòng)的相關(guān)研究具有重要意義。

張大慶等[2]對不同泵送流量下的泵車臂架系統(tǒng)的振動(dòng)性能進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，并給出了各工況下的理想流量；Cazzulani等[3-4]分別研究了泵送、臂架兩個(gè)子系統(tǒng)對振動(dòng)的影響，并研制出了縮小的實(shí)驗(yàn)樣機(jī)；呂彭民等[5-7]從多方面對臂架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)機(jī)理進(jìn)行研究，找到了引起臂架振動(dòng)的主要因素，并在結(jié)構(gòu)優(yōu)化、泵送控制方面給出了減小臂架振動(dòng)的建議；劉杰等[8]分析了臂架的柔性變形對臂架末端位置控制的影響，并利用動(dòng)力學(xué)軟件進(jìn)行了末端軌跡的仿真研究；吳智勇等[9]應(yīng)用振動(dòng)預(yù)測理論及時(shí)滯補(bǔ)償方法，對臂架系統(tǒng)的振動(dòng)進(jìn)行了主動(dòng)控制研究；朱祥華等[10]建立了臂架水平全伸位置的有限元模型，并對其進(jìn)行了模態(tài)分析，得出了臂架的固有頻率范圍及振型云紋圖。現(xiàn)有針對臂架系統(tǒng)振動(dòng)特性的研究成果多是基于動(dòng)力學(xué)軟件通過仿真得出的，基于解析法的相關(guān)研究則鮮見報(bào)道。

本文以某型號52 m長混凝土泵車的臂架系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)柔性多體動(dòng)力學(xué)理論建立其動(dòng)力學(xué)方程，應(yīng)用解析法對臂架系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)求解，得到各階固有頻率及相應(yīng)振型，通過實(shí)驗(yàn)對一階固有頻率進(jìn)行了驗(yàn)證。同時(shí)進(jìn)一步分析了臂架的其他參數(shù)對臂架固有頻率的影響，得出臂架系統(tǒng)固有頻率的敏感參數(shù)。

1　臂架柔性多體動(dòng)力學(xué)方程的建立

圖1　臂架結(jié)構(gòu)示意圖

本文采用假設(shè)模態(tài)法將連續(xù)的臂架系統(tǒng)離散化[11]，并結(jié)合拉格朗日第二類方程，建立臂架系統(tǒng)的柔性多體動(dòng)力學(xué)模型。臂架系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，它由轉(zhuǎn)臺、五節(jié)臂架及相應(yīng)的驅(qū)動(dòng)液壓缸組成，其中每節(jié)臂架的長度用li(i=1,2,…,5)表示，五節(jié)臂架的總長為L。

由于每節(jié)臂架的長度都遠(yuǎn)大于截面尺寸，因此，將各節(jié)臂架作為Euler-Bernoulli梁來考慮，只考慮其橫向彎曲變形，忽略其剪切變形及軸向變形。以臂架1與轉(zhuǎn)臺的鉸接點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向直線為橫軸建立慣性坐標(biāo)系OXY。以臂架i與臂架i-1的鉸接點(diǎn)為原點(diǎn)，臂架i的起點(diǎn)與終點(diǎn)的連線為橫軸建立動(dòng)坐標(biāo)系OiXiYi。這樣建立坐標(biāo)系的方式可以避免前一節(jié)臂架的彈性運(yùn)動(dòng)對后一節(jié)臂架的彈性運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響，消除了臂架間的彈性耦合項(xiàng)[8]，降低了建模的復(fù)雜程度。以此方法建立臂架i的坐標(biāo)系如圖2所示。

圖2　臂架i坐標(biāo)系示意圖

由圖2可知，臂架i上任一點(diǎn)P在慣性坐標(biāo)系OXY中的位置矢量可表示為

(1)

其中，rk為臂架k的末端點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系OkXkYk中的位置向量，且rk=(lk,0)T；pi為點(diǎn)P在動(dòng)坐標(biāo)系OiXiYi中的位置向量，且pi=ui+vi；ui為臂架變形前點(diǎn)P在動(dòng)坐標(biāo)系中的位置矢量，即ui=(xi,0)T；vi為臂架在P點(diǎn)處的橫向彎曲變形，即vi=(0,vi)T，所以可得pi=(xi,vi)T；Ri為動(dòng)坐標(biāo)系OiXiYi到慣性坐標(biāo)系OXY的姿態(tài)變換矩陣，由圖2所示的坐標(biāo)系可以得到：

(2)

式中，θi為動(dòng)坐標(biāo)系Xi軸與水平方向(即慣性坐標(biāo)系的X軸)之間的夾角。

將式(1)兩端對時(shí)間求導(dǎo)，可以得到點(diǎn)P在慣性坐標(biāo)系下的速度矢量為

(3)

i=1,2,…,5

假設(shè)各節(jié)臂架均為均質(zhì)桿，則臂架i的單位長度質(zhì)量ρi=mi/li，其中，mi為臂架i的質(zhì)量。所以，臂架i的動(dòng)能為

(4)

下面求臂架系統(tǒng)具有的勢能，勢能主要包括重力勢能和因變形所儲存的應(yīng)變能兩個(gè)部分，即

(5)

式中，E為材料的彈性模量；Ii為臂架i的截面慣性矩。

式(5)中等號右側(cè)的第二項(xiàng)表示由臂架變形而引起的重力勢能的變化，由于臂架的彈性變形相對較小，所以重力勢能的變化可以忽略不計(jì)。臂架i的橫向彎曲變形vi為時(shí)間t和位置x的函數(shù)，根據(jù)假設(shè)模態(tài)法，vi可以用里茲基函數(shù)的線性組合得到：

(6)

其中，ψij為臂架i的第j階基函數(shù)；qij為ψij對應(yīng)的廣義坐標(biāo)；ni為所取的里茲基函數(shù)的階數(shù)，一般取前幾階基函數(shù)即可得到較為滿意的結(jié)果，在本文中均取前兩階基函數(shù)來表示各節(jié)臂架的橫向彎曲變形，即ni=2，則其前兩階基函數(shù)表示為

(7)

(8)

式中，M、C、K分別為臂架系統(tǒng)的慣性矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

2　理論模態(tài)分析

2.1臂架系統(tǒng)模態(tài)分析

由于臂架系統(tǒng)是一個(gè)低阻尼的系統(tǒng)，故在本文中忽略阻尼的影響，即C=0，所以由式(8)可以得到臂架系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)方程：

(9)

令式(9)的解以簡諧振動(dòng)的形式表示，可以得到：

q=φsinωt

(10)

式中，φ、ω分別為臂架系統(tǒng)的特征向量和固有頻率。

將式(10)代入齊次方程(式(9))中可以得到：

(K-ω2M)φ=0

(11)

如果要使得上述方程中φ具有非零解，則必須滿足下述條件：

|K-ω2M|=0

(12)

由上述方程可知，求解臂架系統(tǒng)固有頻率的問題變成了求解特征方程(式(12))特征值的問題。將式(12)的等號左側(cè)展開即得到一個(gè)關(guān)于ω2的n階特征多項(xiàng)式，即

an(ω2)n+an-1(ω2)n-1+…+a1ω2+a0=0

(13)

將任一固有頻率ωj代入式(12)中，即可求解得到相應(yīng)的特征向量φj，φj又表示臂架系統(tǒng)的第j階模態(tài)振型，它主要描繪了振動(dòng)系統(tǒng)中離散質(zhì)量在該固有頻率下的振動(dòng)情況。

2.2計(jì)算仿真結(jié)果

各節(jié)臂架的端面均呈箱形結(jié)構(gòu)，由彈性模量為210GPa的鋼板焊接而成，它們的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。該型號泵車?yán)碚摫盟皖l率為每分鐘13～22次，即0.2167～0.3667Hz。臂架系統(tǒng)處于水平姿態(tài)下的混凝土澆筑工況是較危險(xiǎn)的作業(yè)工況，受振動(dòng)的影響較嚴(yán)重，因此在此工況下對臂架系統(tǒng)的振動(dòng)進(jìn)行分析。應(yīng)用MATLAB編寫計(jì)算仿真程序，通過計(jì)算得到了臂架系統(tǒng)的5個(gè)零頻率和10個(gè)非零頻率，以及各階頻率所對應(yīng)的主振型。表2給出了各階非零固有頻率的仿真計(jì)算結(jié)果，同時(shí)還指出了在各階振動(dòng)中起主要作用的臂架。

表1　臂架系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2　各階非零固有頻率及主振動(dòng)對應(yīng)臂架節(jié)號

通過仿真得到了臂架系統(tǒng)的一階固有頻率下的振型曲線，如圖3所示。其中圖3a為整個(gè)臂架系統(tǒng)的一階振型曲線，圖3b～圖3f分別為臂架1～5的一階振型曲線。

(a)臂架系統(tǒng)振型曲線(b)臂架1振型曲線

(c)臂架2振型曲線(d)臂架3振型曲線

(e)臂架4振型曲線(f)臂架5振型曲線圖3　一階振型曲線

通過臂架系統(tǒng)自由振動(dòng)的模態(tài)分析結(jié)果可以得出以下結(jié)論：

(1)相對于臂架4和臂架5，前三節(jié)臂架的振動(dòng)非常微弱，因此臂架系統(tǒng)的振動(dòng)主要體現(xiàn)于后兩節(jié)臂架。

(2)五節(jié)臂架系統(tǒng)的五個(gè)零頻率對應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)即為剛體模態(tài)。剛體模態(tài)包含于特征解的完整解中，是一種重要的特殊模態(tài)，很多情況下這種剛體運(yùn)動(dòng)是位移場的重要參與者。

(3)臂架系統(tǒng)具有十個(gè)不重復(fù)的非零固有頻率，為臂架系統(tǒng)的前十階固有頻率。其中一階固有頻率為0.3807Hz，與混凝土的泵送頻率十分接近，這正是臂架系統(tǒng)產(chǎn)生大幅振動(dòng)的主要原因。

(4)前三階固有頻率對應(yīng)的主振動(dòng)是臂架5的彎曲振動(dòng)；第4、9階固有頻率對應(yīng)的主振動(dòng)是臂架4的彎曲振動(dòng)；第5、8階固有頻率對應(yīng)的主振動(dòng)是臂架2的彎曲振動(dòng)；第6、7、10階固有頻率對應(yīng)的主振動(dòng)是臂架3的彎曲振動(dòng)。

2.3參數(shù)對臂架系統(tǒng)固有頻率的影響

本文進(jìn)一步分析了臂架4和臂架5的參數(shù)對系統(tǒng)固有頻率的影響。通過分析，分別得到了臂架系統(tǒng)的固有頻率與臂架的長度、剛度以及關(guān)節(jié)角位置之間的關(guān)系，如圖4所示。由于臂架的振動(dòng)主要是由低階模態(tài)引起的，所以圖4只給出一階和二階固有頻率隨參數(shù)改變的變化曲線。根據(jù)圖4所示的變化趨勢，可得出以下結(jié)論：

(a)臂架5長度的影響(b)臂架4長度的影響

(c)臂架5剛度的影響(d)臂架4剛度的影響

(e)臂架5角度的影響(f)臂架4角度的影響圖4　臂架參數(shù)對固有頻率的影響

(1)一階、二階固有頻率都隨臂架長度的增大而減小，而頻率的變化率對于不同的頻率階數(shù)以及臂架節(jié)數(shù)而有所不同。隨著臂架5長度的增大，系統(tǒng)一階、二階固有頻率呈相似的遞減趨勢，臂架4長度的變化對二階固有頻率影響較大，但對一階固有頻率影響很小。

(2)一階、二階固有頻率均隨臂架剛度的增大而增大。其中，臂架5剛度的變化對一階固有頻率影響較大，而臂架4剛度的變化對二階固有頻率影響較大。

(3)一階固有頻率受關(guān)節(jié)角度θ4、θ5的變化影響不明顯，而二階固有頻率隨著關(guān)節(jié)角度的增大呈先減小后增大的趨勢。由此可知，對于不同的位姿，臂架系統(tǒng)的固有頻率會有不同。

3　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證理論分析的正確性，在52m長的混凝土泵車上進(jìn)行了固有頻率的測試。在本實(shí)驗(yàn)中，通過安裝空間傾角傳感器(SAS)來測試臂架的振動(dòng)情況。應(yīng)用工程機(jī)械用控制器TTC將采集的傾角傳感器信號轉(zhuǎn)換成實(shí)時(shí)角度信號，并通過CAN總線傳輸給DEWEsoft軟硬件系統(tǒng)，將實(shí)時(shí)的角度信息在計(jì)算機(jī)中顯示并存儲到磁盤中。實(shí)驗(yàn)設(shè)備如圖5所示。在本次實(shí)驗(yàn)中，系統(tǒng)的采樣周期設(shè)為20ms。

圖5　臂架振動(dòng)測試系統(tǒng)

實(shí)驗(yàn)過程中，將臂架預(yù)先展開到相應(yīng)的水平姿態(tài)，通過施加外力改變臂架的初始位置，然后瞬間釋放外力以激發(fā)臂架系統(tǒng)的振動(dòng)。通過實(shí)驗(yàn)可以得知，在臂架振動(dòng)過程中前三節(jié)臂的振動(dòng)非常微弱，而后兩節(jié)臂振動(dòng)非常明顯，這與模態(tài)分析中的結(jié)論一致。圖6a給出了臂架系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)曲線，將測得數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉變換之后得到系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的幅頻圖，如圖6b所示。根據(jù)圖6所示曲線，可得臂架系統(tǒng)的一階固有頻率為0.3501Hz，而通過模態(tài)分析得到的一階固有頻率為0.3807Hz，與實(shí)測值接近，誤差為8.7%?？梢?，應(yīng)用解析法得到的分析結(jié)果能夠反映臂架系統(tǒng)的振動(dòng)特性，說明所建立臂架模型以及相應(yīng)的理論分析是正確的。

(a)振動(dòng)響應(yīng)曲線(b)幅頻圖圖6　實(shí)驗(yàn)曲線

4　結(jié)語

本文針對52m五節(jié)臂混凝土泵車的臂架系統(tǒng)的振動(dòng)特性展開了研究。在建立臂架系統(tǒng)柔性多體動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，利用解析法得到了臂架系統(tǒng)的固有頻率及振型，并分析了臂架的相關(guān)參數(shù)對臂架系統(tǒng)固有頻率的影響，通過臂架系統(tǒng)固有頻率的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的正確性。結(jié)果表明：①臂架系統(tǒng)的一階固有頻率與泵送頻率相近，這是臂架系統(tǒng)在作業(yè)工況下產(chǎn)生大幅振動(dòng)的主要原因；②臂架4、臂架5振幅較大，對整體振動(dòng)起主要影響；③不同的臂架參數(shù)對固有頻率影響不同，適當(dāng)改變相應(yīng)參數(shù)可使臂架系統(tǒng)的固有頻率遠(yuǎn)離泵送工作頻率，有助于減小系統(tǒng)振動(dòng)。研究結(jié)果為泵車結(jié)構(gòu)的優(yōu)化、振動(dòng)的抑制奠定了理論基礎(chǔ)。

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(編輯王艷麗)

Vibration Analysis and Experimental Test of a Boom System of Truck Mounted Concrete Pump

Liu RongshengLi HuiGao YingjieYang Yulin

Yanshan University,Qinhuangdao,066004

An analytic method was applied to study the vibration performance of the 52-meter-long five-boom system of truck mounted concrete pump. The combination of Lagrange’s equations of the second kind and assumed mode method was utilized to establish the flexible multi-body dynamics equation of the boom system. Based on the dynamic model, modal analysis was implemented and numerically solved by MATLAB, and the first ten nature frequencies and modes of vibration of the boom system were acquired. The impacts of the boom parameters on nature frequencies of the boom system were also analyzed. In addition, vibration experiments on a real boom system were implemented to verify the theoretical nature frequency. The research results can provide basis for the improvement of the boom structure and the further research of vibration control.

boom system of truck mounted concrete pump; flexible multi-body dynamics; modal analysis; natural frequency

2015-02-05

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50875228)

TH6DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.15.023

劉榮升，男，1983年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向?yàn)槎嘧杂啥却笮痛?lián)臂架系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)分析及智能控制。發(fā)表論文4篇。李慧，女，1987年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。高英杰(通信作者)，男，1965年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。楊育林，男，1953年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。