面向連續(xù)短線段高速加工的圓弧轉(zhuǎn)接前瞻控制算法

張　君　張立強(qiáng)　張　凱

上海工程技術(shù)大學(xué)，上海，201620

面向連續(xù)短線段高速加工的圓弧轉(zhuǎn)接前瞻控制算法

張君張立強(qiáng)張凱

上海工程技術(shù)大學(xué)，上海，201620

針對連續(xù)短線段高速加工中速度和加速度突變會引起機(jī)床運(yùn)動不平穩(wěn)的問題，提出在相鄰線段間構(gòu)建滿足精度且曲率連續(xù)的NURBS圓弧過渡路徑，以實(shí)現(xiàn)拐角平滑轉(zhuǎn)接的方法。在此基礎(chǔ)上，提出一種圓弧過渡前瞻控制算法，采用7段和5段混合的雙向S形加減速控制算法進(jìn)行速度規(guī)劃，旨在滿足弦高誤差和機(jī)床動力學(xué)條件下獲得最大轉(zhuǎn)接速度，避免電機(jī)頻繁啟停，實(shí)現(xiàn)速度、加速度的連續(xù)高速平滑轉(zhuǎn)接，大大減少了對機(jī)床的沖擊。算例表明，該算法能獲得更高更平穩(wěn)的轉(zhuǎn)接速度，可有效提高加工效率和加工質(zhì)量，滿足高速加工的需求。

高速加工；平滑轉(zhuǎn)接；圓弧過渡；前瞻控制

0　引言

高速高精度數(shù)控加工主要應(yīng)用于由復(fù)雜曲線曲面離散形成的一系列連續(xù)短線段的加工[1]。數(shù)控系統(tǒng)在對連續(xù)短線段進(jìn)行加工時，應(yīng)用較多的方法是保持原加工路徑不變，在相鄰轉(zhuǎn)接處滿足速度約束條件下，以一定的速度直接加工下一路徑段[2-3]。雖然該方法避免了在每段路徑轉(zhuǎn)接處降速為零，實(shí)現(xiàn)速度連續(xù)變化，但是其轉(zhuǎn)接速度往往不高，導(dǎo)致加工效率低，同時在轉(zhuǎn)接處加速度的突變會對機(jī)床造成沖擊，影響工件的加工質(zhì)量，因此，如何在保證轉(zhuǎn)接速度盡可能大的條件下進(jìn)行速度平滑過渡處理，實(shí)現(xiàn)速度和加速度的連續(xù)變化，最大限度地提高加工效率和加工質(zhì)量，已成為高速高精度數(shù)控加工的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。

為了攻克這一技術(shù)難題，國內(nèi)外許多學(xué)者都對其進(jìn)行了研究。張得禮等[4]提出通過構(gòu)建假設(shè)圓弧的過渡方法來處理相鄰直線段轉(zhuǎn)接處的速度問題。由于參數(shù)曲線直接插補(bǔ)具有速度平滑、數(shù)據(jù)儲存少、易表達(dá)實(shí)現(xiàn)等諸多優(yōu)點(diǎn)，越來越多的學(xué)者開始將貝齊爾曲線、B樣條曲線和NURBS曲線等各種形式的參數(shù)曲線應(yīng)用于連續(xù)線段加工中。何均等[5]提出在相鄰直線段中插入Ferguson樣條來實(shí)現(xiàn)微段的高速拐角過渡方法。冷洪濱等[6]建立了基于三次多項(xiàng)式的加減速控制模型，提出一種實(shí)現(xiàn)前瞻插補(bǔ)預(yù)處理和實(shí)時參數(shù)化插補(bǔ)的高速自適應(yīng)前瞻插補(bǔ)方法。張曉輝等[7]在考慮曲率連續(xù)的條件下，建立了五次拐角曲線過渡模型，并提出了基于此曲線的過渡插補(bǔ)算法。黃建等[3]通過在相鄰轉(zhuǎn)接段建立可調(diào)形的三次插值樣條曲線，避免了減速為零，以較為平穩(wěn)的加工速度，實(shí)現(xiàn)了拐角平滑過渡。Bi等[8]通過在轉(zhuǎn)接段處插入曲率連續(xù)的三次貝齊爾樣條曲線進(jìn)行了拐角平滑過渡處理。Zhao等[9]構(gòu)建了滿足曲率連續(xù)的B樣條拐角過渡曲線，并提出了相應(yīng)的前瞻控制算法。

目前我國多數(shù)數(shù)控機(jī)床只支持直線和圓弧插補(bǔ)，只有少數(shù)高端機(jī)床才能進(jìn)行參數(shù)曲線插補(bǔ)，雖然上述參數(shù)曲線法能夠?qū)崿F(xiàn)拐角的平滑過渡，卻不能廣泛地應(yīng)用于數(shù)控系統(tǒng)。因此，本文建立了二次NURBS曲線表示的圓弧過渡模型，插入的圓弧模型同時支持圓弧插補(bǔ)和NURBS插補(bǔ)，通用性強(qiáng)，且滿足曲率連續(xù)要求，能夠?qū)崿F(xiàn)短線段間平滑轉(zhuǎn)接。基于該模型，提出一種采用7段和5段混合雙向S形加減速圓弧前瞻控制算法，進(jìn)行速度規(guī)劃，獲得速度和位移信息，實(shí)現(xiàn)速度和加速度的連續(xù)平滑過渡，有效避免了速度和加速度突變引起的機(jī)床振動和沖擊。最后結(jié)合短線段加工仿真對上述模型和算法進(jìn)行了分析和驗(yàn)證。

1　拐角圓弧過渡模型

圓弧可由二次及以上的NURBS曲線[10]表示。高次NURBS曲線往往用來擬合特殊的組合曲線等，需要更多的控制頂點(diǎn)和權(quán)因子，實(shí)時運(yùn)算能力要求較高。因此，本文使用二次NURBS曲線表示的圓弧，對相鄰線段拐角進(jìn)行平滑過渡。

如圖1所示，二次NURBS曲線表示的圓弧C(u)，作為拐角過渡曲線連接兩相鄰加工路徑Q0Q1和Q1Q2?？刂泣c(diǎn)為P0、P1、P2，P0P1和P1P2分別與圓弧相切于點(diǎn)P0和點(diǎn)P2且邊長相等。正權(quán)因子為w0=w2=1，w1=cos(θi/2)。節(jié)點(diǎn)矢量U=(0,0,0,1,1,1)。此時，圓弧也可看作是由二次NURBS曲線的特例標(biāo)準(zhǔn)有理二次Bézier曲線表示?！螿0Q1Q2的角平分線Q1O1過圓弧圓心O1，相交于圓弧中點(diǎn)B1?？傻枚蜰URBS圓弧表達(dá)式為

(1)

0≤u≤1

圖的二次NURBS圓弧

圖的二次NURBS圓弧

利用上節(jié)有理二次Bézier曲線的結(jié)果，在節(jié)點(diǎn)矢量中插入一個節(jié)點(diǎn)u=0.5，可以得到新的二次NURBS曲線表示的圓弧，如圖2所示。正權(quán)因子為w0=w3=1，w1=w2=cos2(θ/4)。節(jié)點(diǎn)矢量為U=(0,0,0,0.5,1,1,1)?？刂贫噙呅雾旤c(diǎn)為P0、P1、P2、P3。P0P1與P2P3分別在相鄰加工路徑段Q0Q1和Q1Q2上，分別與圓弧相切于點(diǎn)P0和點(diǎn)P3。P0Q1和Q1P3邊長相等。直線P1P2相切于圓弧中點(diǎn)B1。P0P1和P2P3邊長相等，且為邊P1P2長度的一半，即lP1P2=2lP0P1=2lP2P3?？傻枚蜰URBS圓弧表達(dá)式為

(2)

1.3曲率連續(xù)

通常用幾何連續(xù)(Gd，d表示次數(shù))來評估加工路徑的光順性。若路徑滿足曲率連續(xù)即G2連續(xù)，即兩條連續(xù)曲線在端點(diǎn)處有相同的坐標(biāo)和相同的切線向量，并且曲率中心重合，則能有效避免速度和加速度突變引起的機(jī)床振動和沖擊，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)接平滑過渡。由上文知道，二次NURBS圓弧在各接合點(diǎn)處切線向量重合，曲率中心就是圓心。因此，過渡圓弧是處處曲率連續(xù)的。

2　圓弧過渡前瞻控制

連續(xù)線段高速加工過程中，相鄰線段拐角處加工路徑會發(fā)生突變，如果不對加工速度進(jìn)行提前規(guī)劃控制，就可能由于超出機(jī)床加減速的限制，使刀具產(chǎn)生過切，影響加工質(zhì)量和進(jìn)給平穩(wěn)性。

因此，必須加入前瞻處理功能提前獲得各路徑的速度信息、變速點(diǎn)位置信息，及時調(diào)整加工速度，使速度的變化能滿足數(shù)控系統(tǒng)的限定和加工路徑的變化。本文提出的前瞻控制處理主要實(shí)現(xiàn)三個功能:構(gòu)建基于二次NURBS曲線表示的圓弧過渡段，獲得弦高誤差和機(jī)床動力學(xué)限制條件下的最優(yōu)圓弧轉(zhuǎn)接速度以及實(shí)現(xiàn)加工直線段與圓弧轉(zhuǎn)接段的加減速控制。前瞻控制流程圖如圖3所示。

圖3　圓弧過渡前瞻控制流程

2.1圓弧的構(gòu)建

圖4　圓弧過渡路徑分析

(1)由各轉(zhuǎn)接點(diǎn)數(shù)據(jù)Qi得到相鄰微段夾角θi，根據(jù)夾角范圍確定所用圓弧模型；

(3)得到各控制點(diǎn)Pi，根據(jù)式(1)、式(2)求出NURBS圓弧C(u)。 其中，相鄰線段夾角為

(3)

(4)

NURBS圓弧的半徑ri為

(5)

2.2轉(zhuǎn)接速度的確定

在加工過渡圓弧過程中，轉(zhuǎn)接速度必須在弦高誤差和機(jī)床動力學(xué)特性兩方面的允許范圍內(nèi)。圓弧插補(bǔ)時的弦高誤差εi,2為

(6)

式中，vi,2為弦高誤差限制下的加工速度；T為插補(bǔ)周期。

由式(6)反求,得到在弦高誤差限制下的加工速度為

(7)

當(dāng)?shù)毒呒庸す战菆A弧時，加工速度會受到法向加速度的作用，為防止加工速度超出加速度的限制，設(shè)機(jī)床提供的最大加速度為amax，則在機(jī)床動力學(xué)特性限制下的加工速度vi,1需滿足：

(8)

過渡圓弧的轉(zhuǎn)接速度既要滿足弦高誤差的精度要求和機(jī)床動力學(xué)特性的限制，又要滿足機(jī)床編程進(jìn)給速度vf的約束，避免頻繁地加減速。因此，轉(zhuǎn)接速度應(yīng)為三者限制條件下速度最小的一個，即

vi=min(vi,1,vi,2,vf)

(9)

2.3圓弧過渡速度平滑處理

2.3.1混合S形雙向加減速控制算法

由于加工直線段的機(jī)床編程速度和圓弧轉(zhuǎn)接速度不一致，故加工各短線段時需要進(jìn)行加減速的規(guī)劃控制，以保證加工速度的平滑過渡。根據(jù)相鄰圓弧轉(zhuǎn)接速度vi、vi+1和編程速度vf以及加工直線段長度lQiQi+1的具體情況不同，在進(jìn)行速度平滑調(diào)整時需要考慮七種加減速方式，分別是：只有加速區(qū)，只有減速區(qū)，只有勻速區(qū)，同時有加速區(qū)和減速區(qū)，同時有加速區(qū)、勻速區(qū)和減速區(qū)，同時有加速區(qū)和勻速區(qū)，同時有勻速區(qū)和減速區(qū)。目前比較常用的控制算法有：直線加減速法[2]、S形加減速法[4,11]、多項(xiàng)式加減速法[6]等。

S形加減速法具有柔性好、能實(shí)現(xiàn)速度和加速度的連續(xù)變化、加工質(zhì)量高等特點(diǎn)，已成為加減速算法的主要研究方向之一。S形加減速算法又分為7段加減速法和5段加減速法，5段加減速法是在7段加減速法的基礎(chǔ)上去掉勻加速段和勻減速段得到的。7段S形加減速算法分段方程較多，計算量大，算法實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜。5段S形加減速算法雖然在一定程度上實(shí)現(xiàn)了算法的簡化，但該算法的加速度是時刻變化的，不能恒定在某一個較高值，導(dǎo)致速度變化較慢，會花費(fèi)更多的加減速時間。故采用7段和5段混合的S形加減速控制算法更為合理，既兼顧了加工效率又能減少計算量。由S形加減速中加速段和減速段的對稱性可知，其減速段可以看作反向加速段，這樣在加減速規(guī)劃中相當(dāng)于只有加速段，從而簡化了方程，如圖5所示。

(a)有勻速區(qū)

(b)沒有勻速區(qū)圖5　S形加減速

本文給出基于7段和5段混合的雙向S形加減速控制算法。其基本思想是：對于第i+1段路徑，首末速度為vi、vi+1，分別從正反兩個方向加速到最大速度v，通過比較兩加速段位移Sa、Sb與路徑長度S的大小來判斷速度曲線的類型。在實(shí)際應(yīng)用中，因系統(tǒng)不能預(yù)先確定加工速度能否達(dá)到編程速度，故無法確定加減速的計算表達(dá)式。此時，可以先假設(shè)加工速度能夠達(dá)到編程速度，再根據(jù)速度、位移的比較來確定所需加減速類型和對應(yīng)計算方程。算法流程如圖6所示，其中，①表示速度曲線為速度能達(dá)到vf的先加速再勻速再減速的運(yùn)動曲線。②表示若Sa+Sb>S，則令Sa+Sb=S，按最大速度v小于vf的情況重新計算各速度參數(shù)，速度曲線為先加速再減速曲線。③表示勻速運(yùn)動。④表示若SaS,則令Sa=S，按只有加速區(qū)重新計算各速度參數(shù)。⑤表示若SbS,則令Sb=S，按只有反向加速區(qū)重新計算各速度參數(shù)。⑥表示速度曲線為恰能達(dá)到vf的先加速再減速曲線。

圖6　混合雙向S形加減速控制算法流程

2.3.2加速段各速度參數(shù)的確定

以正向加速段為例進(jìn)行分析，設(shè)機(jī)床加加速度為J，速度變化量Δv=v-vi(v為vf時速度變化量最大)。由于7段加減速法和5段加減速法的位移計算公式不同，因而7段和5段的混合加減速法的關(guān)鍵是確定位移方程。由S形曲線加減速的表達(dá)式可知，5段加減速法的加速段滿足Δv=a2/J，而7段加減速法中Δv>a2/J。因此，通過比較Δv和a2/J可以確定位移的計算公式為

(10)

具體算法如下：

2.3.3S形加減速各類型及參數(shù)的確定

S形加減速算法計算復(fù)雜的一個原因就是：不同長度的加工路徑對應(yīng)的加減速曲線類型不同。當(dāng)路徑長度足夠長時，加工速度能夠達(dá)到編程速度，速度曲線中存在勻速段；當(dāng)路徑較短時，加工速度為小于編程速度的某一值，速度曲線中沒有勻速段。

(2)加工速度不能達(dá)到編程速度的情況。若加工速度能夠達(dá)到編程速度時有Sa+Sb>S，則只有最大加工速度小于vf時才有Sa+Sb=S，此時速度曲線中沒有勻速段，需要重新計算各速度參數(shù)使位移滿足Sa+Sb=S。由于最大加工速度v是未知的，所以導(dǎo)致Δv和a2/J的關(guān)系不確定，因而位移表達(dá)式有多種可能形式。為了簡化計算可能性，明確位移公式，設(shè)Δv和a2/J恰好滿足5段加減速算法，可得加速區(qū)和減速區(qū)速度增量公式為

(11)

位移公式為

(12)

3　仿真分析

為了驗(yàn)證所提算法的正確性和可行性，對圖7所示短線段路徑進(jìn)行分析。設(shè)置數(shù)控加工參數(shù):機(jī)床最大加工速度vf=100 mm/s，最大加速度amax=3000 mm/s2，默認(rèn)加加速度J=300 m/s3，插補(bǔ)周期T=2 ms，最大輪廓誤差εi,1=0.5 mm，最大弦高誤差εi,2=0.002 mm。

圖7　路徑轉(zhuǎn)接對比

對轉(zhuǎn)接路徑進(jìn)行前瞻控制分析，所得數(shù)據(jù)見表1，本文以路徑段1為例來說明算法的有效性。

表1　前瞻控制算法數(shù)據(jù)

通過MATLAB軟件進(jìn)行仿真驗(yàn)證，可得采用本文NURBS圓弧過渡前瞻控制算法和對未進(jìn)行拐角轉(zhuǎn)接過渡的直線路徑分別采用直線加減速控制算法、S形加減速控制算法(二者統(tǒng)稱直接過渡法)三種加工方式下的加工誤差對比圖(圖8)、速度曲線對比圖(圖9)和加速度曲線對比圖(圖10)。由圖7可知，插入的圓弧使拐角轉(zhuǎn)接路徑更加光順，避免了直接加工拐角，大大減輕了加工拐角時機(jī)床的振動和沖擊，提高了工件加工質(zhì)量。由圖8分析知，雖然在拐角處會產(chǎn)生輪廓誤差，但是本文算法的誤差在最大加工誤差0.5mm的控制范圍內(nèi)，因而能夠滿足工件的加工精度要求。由圖9可知，采用本文圓弧過渡前瞻控制算法相比另外兩種算法能夠以較高的速度實(shí)現(xiàn)拐角平滑過渡，加工時間分別縮短0.032s、 0.068s，加工效率分別提高8%、15.5%。尤其是夾角在[90°，180°)范圍時，角度越大，轉(zhuǎn)接速度越快[6]，例如Q3點(diǎn)處的轉(zhuǎn)接速度為最大加工速度100mm/s，避免了系統(tǒng)頻繁的加減速，加工效率更高。高速加工中相鄰線段的夾角一般都處于[90°，180°)范圍內(nèi)，可見隨著加工路徑的增多，加工效率的提升必將更加明顯。由圖9、圖10、表2知，采用本文算法可以實(shí)現(xiàn)加速度、速度的連續(xù)平滑轉(zhuǎn)接，因而能夠有效避免加速度和速度突變引起的刀具振動、過切，大大提高零件加工質(zhì)量。直線加減速法雖然能實(shí)現(xiàn)速度平滑，但是加速度的躍變會引起刀具劇烈振動，極大地影響加工質(zhì)量。雖然采用S形加減速法亦可實(shí)現(xiàn)加速度、速度的平滑轉(zhuǎn)接，但是頻繁地減速且轉(zhuǎn)接速度不高會使得加工效率不高。

圖8　加工誤差對比

圖9　速度曲線對比

圖10　加速度曲線對比

算法振動情況路徑段內(nèi)路徑段間加工時間t(s)本文算法無輕微0.370S形加減速無明顯0.438直線加減速明顯劇烈0.402

綜上可知，NURBS圓弧過渡前瞻控制算法有效且可行，相比直接過渡法能夠有效提高加工效率，改善零件加工質(zhì)量。

4　結(jié)語

本文建立了基于二次NURBS圓弧擬合的拐角過渡模型，該模型滿足曲率連續(xù)的條件，能顯著減小速度波動和機(jī)床振動，保證速度平滑轉(zhuǎn)接，支持圓弧插補(bǔ)，實(shí)用性強(qiáng)?；谠撃Ｐ?，提出了一種圓弧過渡前瞻控制算法。該算法在滿足加工精度和機(jī)床動力學(xué)的限制下，能夠獲得最優(yōu)圓弧轉(zhuǎn)接速度，采用7段和5段混合的雙向S形加減速算法進(jìn)行微線段與圓弧轉(zhuǎn)接段的加減速控制規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)加速度、速度的連續(xù)高速平滑過渡，大大提高了加工效率和加工質(zhì)量。仿真對比結(jié)果表明該算法有效且可行，能夠滿足連續(xù)短線段高速加工的需求。

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(編輯王艷麗)

A High-speed Smooth Arc Transition and Look-ahead Control Algorithm for Continuous Short-segments

Zhang JunZhang LiqiangZhang Kai

Shanghai University of Engineering Science,Shanghai,201620

A quadratic NURBS arc transition path in the adjacent segments which was everywhere curvature-continuous was proposed to solve the problems of the machine vibration and shocks caused by abrupt change of velocity and acceleration, and then the high-speed smooth transition was obtained. Based on the arc model, a look-ahead control algorithm was established. Under the conditions of the chord errors and machine dynamics, the algorithm aimed to achieve optimal transition velocity, and control acceleration/ deceleration by using the 7 section and 5 section mixed bidirectional S algorithm, and to avoid the motor starting/stopping frequently, then the high-speed transition was realized smoothly. The example demonstrates that the proposed algorithm can achieve more stable transition velocity, improve the machining efficiency and quality, and satisfy the demands of high-speed machining.

high-speed machining; smooth transition; arc transition; look-ahead control algorithm

2014-10-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305254)；上海市教委科研創(chuàng)新項(xiàng)目(13YZ108)

TP391DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.15.018

張君，男，1988年生。上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。研究方向?yàn)镃AD/CAM。張立強(qiáng)，男，1979年生。上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授、博士。張凱，男，1987年生。上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。