分式方程“增根”之芻議

“增根”是在分式方程解答過程中時常出現(xiàn)的問題.在近期的閱讀過程中發(fā)現(xiàn)，針對有關分式“增根”的數(shù)學問題，出現(xiàn)了不少爭議.這些爭議直接反映出的是時常出現(xiàn)的涉及“增根”的有誤數(shù)學問題，而背后則反映出了一些教師在分式方程“增根”理解上的模糊、片面，甚至錯誤.筆者對出現(xiàn)的問題進行了一些梳理，并根據(jù)現(xiàn)有的資料，對分式方程“增根”概念的內(nèi)涵進行了細致的分析，且以此對中學階段關于分式方程增根的教材編排提出了個人看法.現(xiàn)將思考所得呈現(xiàn)于此，與大家交流.

1 對“增根”理解上的問題

筆者查閱了一些文獻資料，對于“增根”的理解，存在以下幾方面的錯誤認識：

（1）使分母為零的值為增根.

如習題：①[1]方程x（x+1）x-1=0的增根是（ ）.

（2）分式方程會產(chǎn)生增根.如習題：①，題意已確認其必有增根；③m為何值時，方程x+1x-2-mx-2=2有增根？去分母，得x+1-m=2x-4，當x=2時，m=3.所以當m=3時，原分式方程有增根[3].也就是說，題解是在x=2一定是方程增根的前提下進行的，且分式方程x+1x-2-3x-2=2一定有增根.

（3）不同的非同解變形產(chǎn)生不同的增根.我們知道，在解分式方程時，通過去分母，把分式方程轉化為整式方程，以整式方程的解來求得原分式方程的解.但由于這一轉化可能為非同解變形，所以分式方程就可能產(chǎn)生增根.準確地說，是因為去分母的緣故，使得分式方程可能產(chǎn)生增根.羅峻在解答分式方程④6（x+1）（x-1）-3x-1=1時，對方程采用了三種不同的變形即三種不同的去分母方式，得到了三種不同的增根.解答1：將方程兩邊同時乘以（x+1）（x-1），原方程有一個增根x=1；解答2：將方程兩邊同時乘以（x2-1）（x+1），得到原方程有兩個增根x=±1；解答3：將方程的兩邊同時乘以x（x2-1）（x+1），得到原方程有三個增根x=0、±1[4].

2 “增根”概念包含的三個基本條件

對以上問題的分析，我們需要從概念入手.受能力局限，筆者查閱了很多資料，關于“增根”未曾獲得一個較為權威的、嚴格的定義.這里不妨以北師大版初中數(shù)學教材（2002年版，八年級下冊，P80～81）為例.

教材在利用去分母求解分式方程⑤1-xx-2=12-x-2之后，對“增根”作了如下描述：“在這里，x=2不是原方程的根，因為它使得原分式方程的分母為零，我們稱它為原方程的增根.產(chǎn)生增根的原因是，我們在方程的兩邊同乘了一個可能使分母為零的整式.”

筆者對這段關于“增根”的描述作如下理解：1、x=2是原分式方程變形后的整式方程的解；2、x=2使得原分式方程的分母為零；3、“在這里”意指對方程⑤進行了兩邊同乘整式x-2的變形，這時的x-2是原分式方程⑤的最簡公分母，而不是其它的公分母，其“最簡”是數(shù)學簡潔性的特點要求.綜上可見，分式方程“增根”的概念包含了三個基本條件：1、在解法上，采取的是通過“去分母”（分式方程兩邊同乘“最簡公分母”）把分式方程轉化為整式方程求解的方法（不妨簡稱為“去分母”法）；2、“增根”是變形后整式方程的解；3、“增根”使得原分式方程的分母為零.

3 關于“增根”問題的兩個結論

根據(jù)以上對“增根”的分析，容易判斷“使分母為零的值為增根”的理解是錯誤的.“增根”首先是變形后的整式方程的解，如果不是整式方程的解，也就談不上原方程的“增根”.同時，我們還能得到以下兩個重要結論：

3.1 “增根”是分式方程“去分母”解法的產(chǎn)物

“增根”的產(chǎn)生與分式方程的解法有關，與方程本身無關.筆者曾撰文認為“無論是分式方程，還是其它形式的方程，方程自身是不可能產(chǎn)生增根的”、“方程有沒有解、有怎樣的解是由方程自身決定的，與我們有沒有求解無關，與怎樣求解無關”、“分式方程求解的過程中之所以可能產(chǎn)生增根，與我們求解的方式有關”[5].

其實，對于分式方程而言，如果我們采取“通分、移項、合并”的方法是不會產(chǎn)生增根的.如方程⑤可作如下解答：1-xx-2=-1x-2-2（x-2）x-2，1-xx-2+1x-2+2（x-2）x-2=0，x-2x-2=0，得出該方程無解（x=2不是原方程的解）.

之所以人們把分式方程與“增根”聯(lián)系起來，是因為我們默認了“去分母”是分式方程最為便捷的解法，因而為人們一貫采用，以致被一些教師片面地認為這是分式方程的唯一解法.需要注意的是，我們在理解“增根”的概念時，切不可忽略“去分母”解法這基本前提，而這也正是被很多教師所忽略的.“‘增根是由于選擇了‘去分母這樣一個不能確保同解變形的方法而產(chǎn)生的‘副產(chǎn)品，而不是方程自身的‘副產(chǎn)品！嚴格地講，稱之為‘原方程的增根是不貼切的，叫做‘去分母法的增根才準確恰當”[6].

關于分式方程的“增根”問題，筆者認為有兩種處理方式：1）根據(jù)上述分式方程“增根”所包含的三個基本條件，給分式方程的“增根”作類似如下明確的定義：“在方程兩邊同乘最簡公分母，將分式方程轉化為整式方程時，如果該整式方程的解使得原方程的分母為零，那么我們稱之為原方程的增根.”這樣，我們說“原方程的增根”便有了充足的理由，因為盡管“增根”并非分式方程的固有屬性，但給其作這樣一個定義，亦未嘗不可.2）回避“增根”問題.人教社2004年版教材（八年級下冊）在分式方程內(nèi)容的安排上即采取了這種處理策略.教材在介紹了分式方程解答的全部過程后，作了如下歸納：“一般地，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0，因此應如下檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.”

筆者以為，人教版教材的處理比較恰當.一方面，在教材未對“增根”概念作明確定義的前提下提出、使用“增根”，容易產(chǎn)生片面的，甚至是錯誤的理解，并在數(shù)學學習中出現(xiàn)諸多有爭議的，甚至是錯誤的問題.在中學階段，只需能夠檢驗出變形后的整式方程的解是否是原分式方程的根即可，無需涉及較為模糊的“增根”概念.另一方面，即便對分式方程的“增根”給出了嚴格的定義，那么無理方程以及其它方程的“增根”亦需定義，況且類似概念的定義對于中學階段的數(shù)學學習有多大意義，筆者實難判斷.

3.2 去分母時，方程兩邊所乘整式應為“最簡”公分母

用“去分母”法求解分式方程時，我們在方程兩邊同乘一個整式，將分式方程轉化為整式方程.因為這樣的轉變有可能是非同解變形，那么就有可能產(chǎn)生增根.但值得注意的是，方程兩邊同乘的這個整式是不是一定為最簡公分母？如果如羅峻在解方程④時那樣，方程兩邊分別同乘了（x+1）（x-1）、（x2-1）（x+1）、x（x2-1）（x+1），能否認為原分式方程有三種不同的增根？筆者根據(jù)自己對“增根”的理解，認為在中學階段求解分式方程的解法已基本統(tǒng)一的前提下，方程兩邊同乘的整式應該是最簡公分母.一方面，數(shù)學講究簡潔，繁瑣的解答過程不利于分式方程的求解；另一方面，若按羅峻的做法——方程兩邊同乘的只是公分母，而非最簡公分母，即會出現(xiàn)除根之外的任何一個數(shù)都可以成為原方程的增根，這既對解題無益，亦對“增根”問題的研究無益.

參考文獻

[1][3] 孟祥靜.分式方程增根問題的討論[J].數(shù)學學習與研究：教研版，2008（3）：1.

[2] 楊波.由一道分式方程題引起對增根的思考[J].中學教與學，2009（7）：29

[4] 羅峻.中考題也會出錯——對“有增根”類中考試題的討論[J].中學數(shù)學（初中版），2013（5）：34-35

[5] 黃良春.分式方程增根之我見[J].中小學數(shù)學（初中），2014（9）：14-16

[6] 武海娟.不會產(chǎn)生增根的分式方程解法——兼談關于分式方程增根的辯論[J].中小學數(shù)學（初中），2015（3）：19-20

作者簡介 黃良春，男，1963年1月生，江蘇揚中人，高級講師.