基于多項(xiàng)式混沌理論的不確定度評(píng)定與分析

余學(xué)鋒，于 杰，王亞梅，趙婉麗

（63870部隊(duì)，陜西　華陰　714200）

基于多項(xiàng)式混沌理論的不確定度評(píng)定與分析

余學(xué)鋒，于 杰，王亞梅，趙婉麗

（63870部隊(duì)，陜西華陰714200）

針對(duì)基于ISO GUM提供的測(cè)量不確定度評(píng)估方法所存在的局限，提出了采用多項(xiàng)式混沌方法進(jìn)行測(cè)量結(jié)果不確定度評(píng)估的新方法。分析了GUM測(cè)量不確定度評(píng)估方法所隱含的假設(shè)條件，給出了多項(xiàng)式混沌方法的測(cè)量不確定度評(píng)估原理。通過GUM與多項(xiàng)式混沌方法擴(kuò)展不確定度包含因子估計(jì)誤差的數(shù)值計(jì)算表明，當(dāng)隨機(jī)變量的PDF不滿足高斯分布時(shí)，多項(xiàng)式混沌估計(jì)方法所獲得的擴(kuò)展不確定度更能反映實(shí)際情況。

計(jì)量學(xué)；多項(xiàng)式混沌；測(cè)量不確定度

1　引言

在許多高精度的專業(yè)測(cè)試中，存在著大量的不確定因素，會(huì)給測(cè)量結(jié)果帶來不確定度。因此，在實(shí)際測(cè)量過程中除了要給出被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果，還要給出測(cè)量結(jié)果不確定度，這就涉及到測(cè)量結(jié)果不確定度評(píng)定問題。關(guān)于測(cè)量不確定度評(píng)定的研究方向主要有兩個(gè)方面：一是如何從已有可靠數(shù)據(jù)中，參數(shù)化地估計(jì)隨機(jī)變量本身的不確定性，即隨機(jī)變量是否服從某種分布；二是測(cè)量過程中的各個(gè)不確定度分量對(duì)最終測(cè)量結(jié)果的影響程度，即不確定度的傳播。雖然大量的工程經(jīng)驗(yàn)表明，測(cè)量過程中的隨機(jī)變量往往是服從某種概率分布的，但是要確定其分布規(guī)律，則需要進(jìn)行大量的輔助實(shí)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)處理，這需要慢慢積累。因此，目前的分析工作主要關(guān)注于第二方面，即認(rèn)為含有隨機(jī)變量的測(cè)量過程是隨機(jī)過程，其隨機(jī)變量是服從一定已知概率分布的。

目前，測(cè)量結(jié)果不確定度的評(píng)定一般是采用ISO GUM提供的方法［1］。對(duì)各不確定度分量，分別采用A類及B類方法進(jìn)行評(píng)定。對(duì)獲得的每個(gè)不確定度分量的標(biāo)準(zhǔn)偏差，再通過合成方差的方法得出合成不確定度，然后將合成不確定度乘以一個(gè)包含因子，得到擴(kuò)展不確定度。根據(jù)GUM方法計(jì)算的測(cè)量結(jié)果不確定度，隱含了兩個(gè)假設(shè)［2］：一是在不確定度合成時(shí)，采用的不確定度傳播定律，其各不確定度分量是以一階泰勒級(jí)數(shù)近似值為依據(jù)，如果不確定度傳播關(guān)系的非線性明顯，則泰勒級(jí)數(shù)展開式中的高階項(xiàng)必須記入合成不確定度；二是擴(kuò)展不確定度中的包含因子選擇，是依據(jù)中心極限定律，認(rèn)為即使所有的不確定度分量不都為正態(tài)分布，仍將合成不確定度的分布看成是正態(tài)分布。而如果某一不確定度分量為非正態(tài)分布，且其標(biāo)準(zhǔn)偏差較大時(shí)，合成不確定度的分布就不是正態(tài)分布。

對(duì)此，有學(xué)者提出了一些解決方法，如高階矩（HOM）方法［3］。該方法在通常情況下，不確定度估計(jì)與GUM方法一致，在不滿足GUM方法假設(shè)條件時(shí)，高階矩方法將獲得更高的估計(jì)精度。但高階矩方法比較復(fù)雜，實(shí)際使用困難。

近年來，基于譜分析的測(cè)量不確定度評(píng)估方法開始引起人們的注意。多項(xiàng)式混沌方法（PCT，Polynomial Chaos Theory）便是其中之一。該方法最早由Wiener提出，在解決流體動(dòng)力學(xué)、電路仿真、環(huán)境與聲場(chǎng)等方面得到了較好的應(yīng)用［4］。本文把多項(xiàng)式混沌方法引入測(cè)量結(jié)果不確定度評(píng)估中，通過構(gòu)造多項(xiàng)式混沌空間以及數(shù)值計(jì)算分析，表明該方法可有效減少GUM近似假設(shè)而導(dǎo)致的評(píng)估誤差。

2　測(cè)量不確定度與多項(xiàng)式混沌理論

2.1基于ISO GUM的測(cè)量不確定度描述

在多數(shù)情況下，測(cè)量結(jié)果可看作是一個(gè)隨機(jī)變量，其與多個(gè)不確定分量有關(guān)，可描述為：Y=f（X1，X2，…，Xn），式中Y為測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)變量，通過與輸入估計(jì)值Xi形成的關(guān)系式得到。Xi為具有一定概率分布的不確定分量，其分布參數(shù)可在現(xiàn)行的測(cè)量過程中直接確定，或通過外部信息（如技術(shù)手冊(cè)）引入測(cè)量過程來確定。

圖1　不確定度的一般描述

在GUM中不確定度的一般描述如圖1所示。把測(cè)量過程作為一個(gè)隨機(jī)過程，變量eA和eB1，eB2，…，eBn均為不含系統(tǒng)誤差相互獨(dú)立具有各自的PDF分布函數(shù)的不確定度分量。eA為采用不確定度A類方法獲得的測(cè)量不確定度，eB1，eB2，…，eBn為采用不確定度B類方法獲得的測(cè)量不確定度。對(duì)于測(cè)量過程M而言，其合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為XM。由隨機(jī)過程的測(cè)量不確定度傳播定律可以得到：

從式（1）可以看出，它是對(duì)測(cè)量過程的各項(xiàng)不確定度分量進(jìn)行了簡(jiǎn)單的均方求和運(yùn)算。式（1）及相關(guān)不確定度分量均以Y=f（X1，X2，…，Xn）的一階泰勒級(jí)數(shù)近似值為依據(jù)，用來表示不確定度的傳播。同時(shí)在計(jì)算擴(kuò)展不確定度時(shí)，基于中心極限定律（CLT），用正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差及對(duì)應(yīng)的包含區(qū)間來描述。

顯然，有兩種情況需要認(rèn)真分析：一種情況是對(duì)于所描述的間接測(cè)量過程，當(dāng)某些分量不是正態(tài)分布時(shí)，有可能出現(xiàn)σ2（Y）接近或不比其中某個(gè)分量的要大很多的情況；另一種情況是當(dāng)間接測(cè)量不滿足線性關(guān)系時(shí)，仍采用泰勒一階展開多項(xiàng)式來描述不確定度傳播規(guī)律就是不可接受的。

而對(duì)于上述兩種情況，本文將嘗試用PCT方法給予解決。結(jié)合實(shí)際工程應(yīng)用，重點(diǎn)放在測(cè)量過程的不確定度分量為非正態(tài)分布，且不滿足合成不確定度遠(yuǎn)大于任何一個(gè)不確定度分量條件時(shí)，其不確定度傳播規(guī)律及相應(yīng)的包含因子和包含概率關(guān)系。

2.2多項(xiàng)式混沌理論概述

多項(xiàng)式混沌理論是指采用多項(xiàng)式基所構(gòu)成的隨機(jī)空間來描述和傳播（合成）具有PDF形式的隨機(jī)變量的不確定度。其基本思想是用含獨(dú)立隨機(jī)變量的正交多項(xiàng)式混沌之和來近似表示隨機(jī)過程，其關(guān)鍵步驟在于確定每個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)。對(duì)于很多復(fù)雜模型，多項(xiàng)式混沌展開的系數(shù)可以通過系統(tǒng)在某些配置點(diǎn)的輸出來計(jì)算。配置點(diǎn)使用正交配點(diǎn)法來計(jì)算，與比多項(xiàng)式混沌展開階次高一次的多項(xiàng)式之根相對(duì)應(yīng)［5］。

在一個(gè)概率空間中，對(duì)于任意樣本空間上的n個(gè)隨機(jī)變量，采用多項(xiàng)式混沌展開逼近來描述該隨機(jī)過程空間，其解析式為［6］：

式中，X為待分析的隨機(jī)過程，ai為展開多項(xiàng)式的系數(shù)，Ψi為所選擇的多項(xiàng)式基，ξi1為不確定度分量的概率密度函數(shù)（PDF）所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式基展開式的隨機(jī)變量。根據(jù)Askey法則，對(duì)應(yīng)不同的概率密度函數(shù)，存在不同的最優(yōu)多項(xiàng)式。對(duì)于概率密度函數(shù)為正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其最優(yōu)多項(xiàng)式為埃爾米特（Hermite）多項(xiàng)式。對(duì)于概率密度函數(shù)為均勻分布的隨機(jī)變量，其最優(yōu)多項(xiàng)式為勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式［7］。

一般來說，任何一種概率密度函數(shù)都可以用完整的多項(xiàng)式混沌展開基構(gòu)成的隨機(jī)空間來描述。但在工程實(shí)際中，用多項(xiàng)式混沌逼近來描述式（2）所給出的隨機(jī)（過程）空間中概率密度函數(shù)，其所形成的隨機(jī)空間必須限制在有限的維數(shù)內(nèi)，而這有限維數(shù)的選擇不但與獨(dú)立的不確定分量個(gè)數(shù)nv，即用于描述隨機(jī)過程系統(tǒng)中隨機(jī)空間獨(dú)立變量ξ的個(gè)數(shù)有關(guān)，同時(shí)也與所選擇的多項(xiàng)式基的最高階數(shù)np有關(guān)。當(dāng)給定nv和np的值后，則描述隨機(jī)過程中每一個(gè)變量所需的多項(xiàng)式展開式的項(xiàng)數(shù)，可由下式來確定［8］：

式中，np為所選多項(xiàng)式基的最高階數(shù)，nv為隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)。采用不高于p階的多項(xiàng)式進(jìn)行有限項(xiàng)截?cái)嗖懗删o湊形式有：

一般稱式（4）為多項(xiàng)式混沌。其中，Ψi是根據(jù)nv個(gè)隨機(jī)變量和np個(gè)最大階數(shù)計(jì)算所得到的p個(gè)多項(xiàng)式基。ai是第i個(gè)多項(xiàng)式基所對(duì)應(yīng)的系數(shù)，對(duì)于概率密度函數(shù)已知的隨機(jī)變量，式中的系數(shù)為確定值。根據(jù)Askey法則，對(duì)應(yīng)于不同的概率密度函數(shù)，存在不同的最優(yōu)多項(xiàng)式，當(dāng)權(quán)函數(shù)與概率密度函數(shù)相同時(shí)，展開式按指數(shù)收斂于隨機(jī)變量［9］。

對(duì)于測(cè)量過程而言，測(cè)量不確定度分量的概率密度函數(shù)主要有兩種，即正態(tài)分布和均勻分布。若隨機(jī)變量ξ為具有零均值的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則展開的多項(xiàng)式基為埃爾米特（Hermite）多項(xiàng)式。若隨機(jī)變量ξ為具有-1到+1的均勻分布，則展開的多項(xiàng)式基為勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式。根據(jù)Legendre多項(xiàng)式和Hermite多項(xiàng)式的遞推關(guān)系，可以得到Hermite多項(xiàng)式基的前6級(jí)表達(dá)式為：H0（x）=1，H1（x）=x，H2（x）=x2-1，H3（x）=x3-3x，H4（x）=x4-6x2+3，H5（x）=x5-10x3+15x；勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式基前6項(xiàng)表達(dá)式為：P0（x）=1，P1（x）=x，P2（x）=1.5x2-0.5，P3（x）= 2.5x3-1.5x，P4（x）=4.375x4-3.75x2+0.375，P5（x）=7.875x5-8.75x3+1.875x。顯然，采用多項(xiàng)式混沌方法進(jìn)行測(cè)量不確定度表達(dá)，其關(guān)鍵就在于如何選擇多項(xiàng)式基以及確定多項(xiàng)式的維數(shù)。

3　多項(xiàng)式混沌方法的測(cè)量不確定度表達(dá)

3.1不確定度分量的多項(xiàng)式混沌空間

事實(shí)上，對(duì)于分布函數(shù)或概率密度函數(shù)已知的隨機(jī)變量，展開式的系數(shù)為確定值。隨機(jī)變量的分布函數(shù)或概率密度函數(shù)由要求解的實(shí)際問題決定，其分布參數(shù)為已知。下面將用兩個(gè)例子來說明多項(xiàng)式混沌理論如何表達(dá)測(cè)量不確定度以及如何彌補(bǔ)GUM方法的不足。

3.2GUM與PCT測(cè)量不確定度估計(jì)誤差

根據(jù)前面的分析，PDF為均勻分布時(shí)，其多項(xiàng)式展開為采用Legendre多項(xiàng)式基的二階單變量多項(xiàng)式，兩個(gè)不確定度分量，按照Legendre多項(xiàng)式展開后就變?yōu)槿?xiàng)［10］。

顯然，通過對(duì)兩個(gè)為均勻分布的不確定度分量合成，可以得到其擴(kuò)展不確定度包含因子與包含概率間的一系列對(duì)應(yīng)關(guān)系。按照采用混沌多項(xiàng)式展開后進(jìn)行計(jì)算，得到一組不同包含概率下對(duì)應(yīng)的包含因子。同時(shí)按照GUM的方法，其合成不確定度的概率密度函數(shù)仍按照高斯分布處理，也可得到一組不同包含概率下對(duì)應(yīng)的包含因子。將這些數(shù)據(jù)分別與理論分析結(jié)果（合成不確定度的PDF為三角分布）不同包含概率下對(duì)應(yīng)的包含因子相比較，它們的相對(duì)誤差分布情況如圖2所示。從圖中可以看出，當(dāng)不確定度分量不滿足高斯分布條件時(shí)，仍按照GUM方法進(jìn)行不確定度合成，其擴(kuò)展不確定度因子與理論值的偏差較大，除了在包含因子為2這個(gè)點(diǎn)。而采用多項(xiàng)式混沌展開方式得到的合成不確定度，其擴(kuò)展不確定度包含因子與理論值的偏差較小。

圖2　GUM和PCT計(jì)算擴(kuò)展不確定度包含因子與理論值的相對(duì)誤差

4　GUM與PCT方法的數(shù)值比較

前面分析了兩個(gè)均勻分布隨機(jī)變量不確定度的合成，對(duì)PCT與GUM方法得到的合成不確定度包含概率以及對(duì)應(yīng)的包含因子通過圖形給予了說明。下面將選擇更復(fù)雜的一種情況，利用數(shù)值計(jì)算合成不確定度以及在不同包含概率下對(duì)應(yīng)的包含因子，進(jìn)一步了解PCT與GUM方法在描述擴(kuò)展不確定度方面的效果。方法如下：

考慮有3個(gè)隨機(jī)變量的不確定度合成，這3個(gè)隨機(jī)變量的分布分別為一個(gè)正態(tài)分布，兩個(gè)均勻分布。不確定度合成模型如圖3所示。A1代表A類不確定度概率分布，其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布，所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)多項(xiàng)式逼近為Hermite多項(xiàng)式。B1、B2分別代表B類不確定度概率分布，其概率密度函數(shù)為均勻分布，所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)多項(xiàng)式逼近為勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式，D1代表合成不確定度概率分布。

圖3　GUM方法測(cè)量不確定度評(píng)估模型

此時(shí)，合成不確定度多項(xiàng)式混沌空間，用不高于p階的多項(xiàng)式進(jìn)行有限項(xiàng)截?cái)嗨鶎?duì)應(yīng)的多項(xiàng)式基的系數(shù)描述如下式：

從理論上分析上述不確定度模型，其合成不確定度的概率密度函數(shù)為近似三角形分布。對(duì)式（8）按照多項(xiàng)式混沌理論進(jìn)行不確定度合成，其合成不確定度的概率密度函數(shù)也近似為三角分布。而按照GUM的理論，其合成不確定度的概率密度函數(shù)仍默認(rèn)為正態(tài)分布。對(duì)于這些差異通過數(shù)值計(jì)算，可以有較為清晰的了解。

分別用GUM和PCT方法計(jì)算圖3不確定度模型下的擴(kuò)展不確定度的包含因子及對(duì)應(yīng)的包含概率：

（1）首先對(duì)各個(gè)不確定度分量，按照GUM指南方法進(jìn)行不確定度合成，獲得方差（x）和標(biāo)準(zhǔn)偏差σt（x），根據(jù)GUM指南所假設(shè)條件，即合成不確定度的概率密度分布滿足中心極限定律，計(jì)算擴(kuò)展不確定度的包含因子以及對(duì)應(yīng)的包含概率。

（2）然后對(duì)各個(gè)不確定度分量，按照多項(xiàng)式混沌展開方法對(duì)其PDF進(jìn)行重構(gòu)，計(jì)算合成不確定度的方差（x）和標(biāo)準(zhǔn)偏差σp（x），根據(jù)多項(xiàng)式混沌理論計(jì)算擴(kuò)展不確定度的包含因子以及對(duì)應(yīng)的包含概率。

設(shè)計(jì)兩組數(shù)據(jù)，第1組數(shù)據(jù)為：設(shè)定A類不確定度分量的PDF為正態(tài)分布，分布參數(shù)，期望E= 1，標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.3。B類不確定度分量的PDF為均勻分布，分布參數(shù)，期望E=0，標(biāo)準(zhǔn)偏差為1/，GUM和PCT方法計(jì)算結(jié)果見表1。而根據(jù)GUM指南方法計(jì)算獲得的合成不確定度為：σt（x）=0.983 2。由于合成不確定度值要遠(yuǎn)大于B類不確定度分量的標(biāo)準(zhǔn)偏差，因此滿足中心極限定律假設(shè)條件，其按照正態(tài)分布計(jì)算的擴(kuò)展不確定度包含因子及對(duì)應(yīng)的包含概率與理論值相近。而采用多項(xiàng)式混沌方法計(jì)算獲得的合成不確定度為：σt（x）=0.864 3，擴(kuò)展不確定度包含因子及對(duì)應(yīng)的包含概率與理論值也表現(xiàn)出良好的一致性。

表1　第1組數(shù)據(jù)情況下計(jì)算結(jié)果

第2組數(shù)據(jù)：設(shè)定A類不確定度分量的PDF為正態(tài)分布，分布參數(shù)為：期望E=1，標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.1。B類不確定度分量的PDF為均勻分布，分布參數(shù)為：期望E=0，標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.2/，GUM和PCT方法計(jì)算結(jié)果見表2。而根據(jù)GUM指南方法計(jì)算獲得的合成不確定度為：σt（x）=0.19148。由于合成不確定度值接近B類不確定度分量0.115 5，因此不能完全滿足中心極限定律假設(shè)條件，但仍按照正態(tài)分布來計(jì)算擴(kuò)展不確定度包含因子及對(duì)應(yīng)的包含概率，可以看出與理論值出現(xiàn)較大偏差。同樣的不確定度分量，采用多項(xiàng)式混沌方法計(jì)算擴(kuò)展不確定度包含因子及對(duì)應(yīng)的包含概率，與理論值比較接近，表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性。

表2　第2組數(shù)據(jù)情況下計(jì)算結(jié)果

實(shí)際上，當(dāng)合成不確定度值接近某一B類不確定度分量值情況下，合成不確定度的概率密度函數(shù)近似為三角分布，而不是GUM所假設(shè)的正態(tài)分布，因此，采用GUM方法進(jìn)行不確定度合成，得到的擴(kuò)展不確定度其包含因子所對(duì)應(yīng)的包含概率就會(huì)出現(xiàn)較大的偏差。

5　結(jié)論

（1）在大多數(shù)情況下，基于多項(xiàng)式混沌的不確定度分析方法與采用ISO（GUM）分析方法得出的結(jié)果相一致，這也說明多項(xiàng)式混沌方法完全可以應(yīng)用于測(cè)量不確定度評(píng)估中。相比而言，多項(xiàng)式混沌方法具有更好的靈活性和更強(qiáng)的適應(yīng)性。

（2）當(dāng)測(cè)量過程中隨機(jī)變量PDF分布與理論假設(shè)不相符時(shí)，或不滿足中心極限定律條件時(shí)，采用GUM方法進(jìn)行不確定度合成并計(jì)算擴(kuò)展不確定度時(shí)可能帶來較大的偏差，而根據(jù)多項(xiàng)式混沌方法所獲得的擴(kuò)展不確定度更能反映實(shí)際情況。

（3）假如對(duì)不確定度分量的概率分布未知，按照GUM方法來處理，就有可能會(huì)出現(xiàn)擴(kuò)展不確定度的計(jì)算誤差跳動(dòng)的現(xiàn)象。而按照PCT方法來處理，擴(kuò)展不確定度的計(jì)算誤差變化就相對(duì)平穩(wěn)。顯然當(dāng)不確定度分量的概率分布難以確定時(shí)，采用PCT方法來處理，其擴(kuò)展不確定度的估計(jì)更為穩(wěn)健。

［1］ISO/IEC：Uncertainty of measurement—Part 3：Guide to the expression of uncertainty in measurement［S］.2008.

［2］國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局.JJF 1059.1-2012測(cè)量不確定度評(píng)定與表示［S］.2012.

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Measurement Uncertainty Evaluation and Analysis Based on Polynomial Chaos Approach

YU Xue-feng，YU Jie，WANG Ya-mei，ZHAO Wan-li
（PLA 63870 Unit，Huayin，Shaanxi 714200，China）

Deal with the limitations of measurement uncertainty evaluation method based on ISO GUM，A new approach to the evaluation of measurement uncertainty based on the polynomial chaos theory is presented.The main assumptions behind the measurement uncertainty propagation based on the GUM is analyzed.The measurement uncertainty evaluation used the PCT approach is provided.By the GUM and PCT method，the relative absolute difference between the confidence obtained in the two cases and the true value is computed.It is show that in case of a distribution very different from the Gaussian，the polynomial approach leads to results very close to the ideal case.

Metrology；Polynomial chaos；Measurement uncertainty

TB9

A

1000-1158（2015）01-0107-06

10.3969/j.issn.1000-1158.2015.01.23

2013-06-14；

2013-11-27

余學(xué)鋒（1963-），男，江蘇南京人，63870部隊(duì)高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)閮x器儀表與計(jì)量測(cè)試。yxfyd@163.com