借用“數(shù)形結(jié)合”巧解數(shù)學(xué)問題

朱若蘭

【摘 要】數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。“數(shù)形結(jié)合”不僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種行之有效的教學(xué)方法，在促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展方面有著不可忽視的作用。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;解題

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想。數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)（數(shù)量關(guān)系）與形（空間形式）的相互轉(zhuǎn)化、互相利用來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。它既是一個重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。數(shù)形結(jié)合，可將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，是抽象思維與形象思維結(jié)合。有些數(shù)量關(guān)系，借助于圖形的性質(zhì)，可以使抽象的概念和關(guān)系直觀化、形象化、簡單化;而圖形的一些性質(zhì)，借助于數(shù)量的計量和分析，得以嚴(yán)謹(jǐn)化。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時少直覺，形無數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離?！睌?shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的?！皵?shù)形結(jié)合”不僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種行之有效的教學(xué)方法，在促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展方面有著不可忽視的作用。筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐， 談?wù)剶?shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中在運(yùn)用和體會。

一、見形想數(shù)，體現(xiàn)直觀

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的一個重要方面就是關(guān)于算理、法則、規(guī)律的認(rèn)識和運(yùn)用，代數(shù)知識和幾何知識同樣包含許多規(guī)律性的知識。這些知識的學(xué)習(xí)和把握往往比較抽象和深奧，數(shù)形結(jié)合可在一定程度上減緩學(xué)生認(rèn)識上的難度。

[例1]乘法分配律

在乘法分配律的教學(xué)中，出示圖形：

提問：圖中大長方形的面積可以怎樣計算？學(xué)生思考后不難想到這兩種方法：一是用左邊長方形的面積加上右邊長方形的面積，算式表示為a×c+b×c，另一種是先算出大長方形的長，再用長乘寬算出大長方形的面積，算式表示為（a+b）×c。這兩種算法都能求出大長方形的面積，所以a×c+b×c=（a+b）×c，這恰好就是乘法分配律的字母表達(dá)式。

由于乘法分配律內(nèi)在的算理對于小學(xué)生來說比較復(fù)雜，加之變式較多，是五大運(yùn)算定律中最難理解、最難掌握的運(yùn)算定律。案例中教師借助幾何圖形面積計算的例子既讓學(xué)生形象地記住乘法分配律的表達(dá)式，又加深了對乘法分配律算理的理解。不難看出，在這種情況下“數(shù)”與“形”的結(jié)合，有助于降低學(xué)生對知識掌握的難度。

二、見數(shù)思形，化繁為簡

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會有一些復(fù)雜的代數(shù)問題。這時，如果能過借助圖形，巧妙地將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形問題，那么就能促使學(xué)生的思維再上新臺階，從而充分體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的好處。

[例2]+++=？

教師出示題目后，讓學(xué)生嘗試練習(xí)。絕大多數(shù)學(xué)生采用通分的方法，把這些分?jǐn)?shù)化成分母是16的分?jǐn)?shù)，極個別的學(xué)生采用把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的方法。教師繼續(xù)提問：還有其他的方法嗎？沒有學(xué)生舉手。這時，教師出示一個正方形，指出把這個正方形的面積看做“1”，那么這道算式在圖中該怎么表示呢？學(xué)生邊說邊在圖中表示出相應(yīng)的部分，如圖：

通過觀察圖形，學(xué)生很容易明白：陰影部分的和，正好等于一個正方形減去空白部分所得的差。也就是+++=1-=。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察算式的特點(diǎn)。接著，教師讓學(xué)生觀察簡便運(yùn)算的過程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：用1減去最后一個分?jǐn)?shù)就行了。最后，學(xué)生總結(jié)出計算這類算式的規(guī)律：分子是1，后一個分?jǐn)?shù)的分母是前一個分?jǐn)?shù)的兩倍，求這樣一組分?jǐn)?shù)的和，只要用1減去最后一個分?jǐn)?shù)就得出了結(jié)果。

以上案例中，教師先放手讓學(xué)生嘗試練習(xí)，學(xué)生雖然計算出結(jié)果，但計算過程比較繁瑣，容易出錯。這時，教師將“數(shù)”（枯燥的算式）巧妙地轉(zhuǎn)化為“形”（規(guī)則的圖形），學(xué)生很容易就想出了更簡便的解題方法。今后，再遇到類似的算式，學(xué)生就能很快想到這個圖形。

三、數(shù)形結(jié)合，解決疑難

在解決問題的教學(xué)中，特別是碰到稍難一點(diǎn)的題目，有時單靠分析，可能學(xué)生也并不一定能夠理解，而且教師講解起來費(fèi)力又費(fèi)時，這時我們可以借助圖形來幫助學(xué)生理解題意，巧妙解題。

[例3]雞兔同籠問題

“雞兔同籠，有10個頭，34條腿。雞、兔各有多少只？”教師設(shè)計了一個簡單易行的方法———畫圖法。

先畫10個圓表示10個頭，

假設(shè)籠子里都是雞，每只雞有2條腿，就用2根豎線表示。一共畫了20條腿，少了14條腿。

把兔子看成雞，每只兔子少了兩條腿，再2條2條地畫上14條。

這樣一眼看出有7只兔子，3只雞。

案例中教師通過引導(dǎo)學(xué)生畫圖，讓學(xué)生觀察圖畫中直觀的“形”（頭和腿），去理解問題中抽象的“數(shù)”（隱含的數(shù)量關(guān)系），學(xué)生以后對這類題目的第一感覺不再是畏難，而是覺得有趣，更有信心找到合適的方法去解決它。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合能不失時機(jī)地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，可以將抽象的?shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學(xué)生順利的、高效率的學(xué)好數(shù)學(xué)知識，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、智力的開發(fā)、能力的增強(qiáng)，使教學(xué)收到事半功倍之效?！皵?shù)形結(jié)合”作為一種基本的數(shù)學(xué)思想方法，對于學(xué)生來說“不管他們將來從事什么工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終生”。endprint