《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中的猜想性思維

[摘要]高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是理工科專業(yè)學(xué)生的專業(yè)基礎(chǔ)課之一。高等數(shù)學(xué)的教學(xué)不僅是知識的灌輸，而應(yīng)該在教學(xué)過程中，既傳授豐富的知識，又傳授基本的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生學(xué)會去“想數(shù)學(xué)”，學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，獲得終身受益的思想方法.猜想性思維的學(xué)習(xí)與掌握更是終身受益的能力之一。

[關(guān)鍵詞]高等數(shù)學(xué) 思維 猜想

面對信息社會迅猛增長的知識量，培養(yǎng)學(xué)生獲取知識的智能及能力就顯得更為重要。只有在掌握了堅實(shí)的理論知識前提下，學(xué)生才能做到融會貫通、舉一反三。在加強(qiáng)理論教學(xué)的同時，應(yīng)重視學(xué)生智能和自主學(xué)習(xí)能力的培育。自學(xué)能力是一個人運(yùn)用已學(xué)知識，不依賴或少依賴他人的幫助而獨(dú)立獲取知識、掌握知識和運(yùn)用知識的能力，是一種綜合能力。

當(dāng)一門科學(xué)真正被把握且具有某些素質(zhì)的時候，人們不一定當(dāng)初就具備了這些素質(zhì)，而往往在把握的過程中有可能形成這些素質(zhì).正是在這個意義上，人們把數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)稱為思維的體操.你經(jīng)常做數(shù)學(xué)訓(xùn)練，就是讓你的思維做著體操.在高等數(shù)學(xué)知識體系中，許多的數(shù)學(xué)思想方法都蘊(yùn)涵在大量的概念、定理、法則與解題過程中.所以，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)不僅是知識的灌輸，而應(yīng)該在教學(xué)過程中，既傳授豐富的知識，又傳授基本的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生學(xué)會去“想數(shù)學(xué)”，學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，獲得終身受益的思想方法.

猜想是對研究的對象或問題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等，依據(jù)已有的材料和知識作出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測性想象的思維形式.猜想是一種合情推理，屬于綜合程度較高的帶有一定直覺性的高級認(rèn)識過程.對于數(shù)學(xué)研究或者發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)來說，猜想方法是一種重要的基本思維方法.正如波利亞所說：“在你證明一個數(shù)學(xué)定理之前，你必須猜想到這個定理，在你弄清楚證明細(xì)節(jié)之前，你必須猜想出證明的主導(dǎo)思想.”因此，研究猜想的規(guī)律和方法，對于培養(yǎng)能力、開發(fā)智力、發(fā)展思維有著重要的意義.

數(shù)學(xué)猜想是在數(shù)學(xué)證明之前構(gòu)想數(shù)學(xué)命題的思維過程.數(shù)學(xué)事實(shí)首先是被猜想，然后是被證實(shí).那么構(gòu)想或推測的思維活動的本質(zhì)是什么呢？從其主要傾向來說，它是一種創(chuàng)造性的形象特征推理.就是說，猜想的形成是對研究的對象或問題，聯(lián)系已有知識與經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行形象的分解、選擇、加工、改造的整合過程.黎曼關(guān)于函數(shù) （其中z=x+iy）零點(diǎn)分布的猜想；希爾伯特23個問題中提出的假設(shè)或猜想等都是數(shù)學(xué)猜想的著名例子.這些猜想有些是正確的，有些是不正確的或不可能的問題，它們已被數(shù)學(xué)家所證明或否定或加以改進(jìn)；有些則至今仍未得到解決.但是所有這些猜想或問題吸引了無數(shù)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家去研究，成為推動數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動力.

數(shù)學(xué)猜想和數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中的兩個相輔相成互相聯(lián)系的方面.波利亞提出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中“必須兩樣都教”，即既要使學(xué)生掌握論證推理，也要使他們懂得合情推理.“會區(qū)別有效的論證與無效的嘗試，會區(qū)別證明與猜想”，“區(qū)別更合理的猜想與較不合理的猜想”.因此，掌握數(shù)學(xué)猜想的一些基本方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)予以加強(qiáng)的一項(xiàng)重要工作.

嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)猜想是指數(shù)學(xué)新知識發(fā)現(xiàn)過程中形成的猜想.例如非歐幾何產(chǎn)生過程中的有關(guān)猜想以及上面談到的一些猜想例子都屬于這一類.但是這些猜想并不能在短時間內(nèi)形成.它們實(shí)際上來源于廣義的數(shù)學(xué)猜想，即在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或解決問題時展開的嘗試和探索，是關(guān)于解題的主導(dǎo)思想、方法以及答案的形式、范圍、數(shù)值等的猜測.不僅包括對問題結(jié)論整體的猜想，也包括對某一局部情形或環(huán)節(jié)的猜想.在這種意義上，數(shù)學(xué)猜想的一些基本形式是：類比性猜想、歸納性猜想、探索性猜想、仿造性猜想及審美性猜想等.它們同時反映了數(shù)學(xué)猜想的一些基本方法.

類比性猜想是指運(yùn)用類比方法，通過比較兩個對象或問題的相似性，得出數(shù)學(xué)新命題或新方法的猜想.常見的類比猜想方法有形象類比、形式類比、實(shí)質(zhì)類比、特性類比、相似類比、關(guān)系類比、方法類比、有限與無限的類比、個別到一般的類比、低維到高維的類比等.

歸納性猜想是指運(yùn)用不完全歸納法，對研究對象或問題從一定數(shù)量的個例、特例進(jìn)行觀察、分析，從而得出有關(guān)命題的形式、結(jié)論或方法的猜想.

探索性猜想是指運(yùn)用嘗試探索法，依據(jù)已有知識和經(jīng)驗(yàn)，對研究的對象或問題作出的逼近結(jié)論的方向性或局部性的猜想.也可對數(shù)學(xué)問題變換條件，或者作出分解，進(jìn)行逐級猜想.探索性猜想是一種需要按照探索分析的深入程度加以修改而逐步增強(qiáng)其可靠性或合理性的猜測.探索性猜想與探索性演繹是相互交叉前進(jìn)的.在對一個問題的結(jié)論或證明方法沒有明確表達(dá)的猜想時，我們可以先給出探索性猜想，再用探索性演繹來驗(yàn)證或改進(jìn)這個猜想；在已有明確表達(dá)的猜想時，則可用探索性演繹來確定它們的真或假.

仿造性猜想是指由于受到物理學(xué)、生物學(xué)或其他科學(xué)中有關(guān)的客觀事物、模型或方法的啟示，依據(jù)它們與數(shù)學(xué)對象或問題之間的相似性作出的有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律或方法的猜想.因此，模擬方法是形成仿造性猜想的主要方法.例如，由物理學(xué)的表面張力實(shí)驗(yàn)猜想等周問題的極值；從光的反射規(guī)律猜想數(shù)學(xué)中有關(guān)最短線的解答；從力的分解與合成猜想有關(guān)圖形的幾何性質(zhì)；由拋射運(yùn)動來猜想和解決有關(guān)拋物線的幾何性質(zhì)等都是仿造性猜想的典型事例.

審美性猜想是運(yùn)用數(shù)學(xué)美的思想——簡單性、對稱性、相似性、和諧性、奇異性等，對研究的對象或問題的特點(diǎn)，結(jié)合已有知識與經(jīng)驗(yàn)通過直觀想象或?qū)徝乐庇X，或逆向思維與悖向思維所作出的猜想.例如，困難的問題可能存在簡單的解答；對稱的條件能夠?qū)е聦ΨQ的結(jié)論以及可能運(yùn)用對稱變換的方法去求解，如奇函數(shù)在對稱區(qū)域上的積分為零；相似的對象具有相似的因素或相似的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)、定積分的本質(zhì)都是極限，因此它們的一些運(yùn)算法則與極限運(yùn)算法則相同；和諧或奇異的構(gòu)思有助于問題的明朗或簡化等均屬此列.審美性猜想也與其他猜想一樣，可以根據(jù)具體情況猜想出問題的結(jié)論或者問題的解法等.

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（作者單位：商丘師范學(xué)院河南商丘）