冪硬化對疲勞彈塑性彎曲裂紋塑性區(qū)的影響

楊大鵬，潘海洋，趙耀，李天勻

（1.鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程系，河南 鄭州 450121；2.華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074；3.鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院城市軌道交通系，河南 鄭州 450121）①

0 引言

準(zhǔn)靜態(tài)輕微彎曲裂紋的攝動(dòng)分析最早由Banichuk［1]、Goldstein和Salganik［2-3]完成.Cotterell和Rice［4]用同樣方法得到了應(yīng)力強(qiáng)度因子的簡易表達(dá)式，研究了無限大平面中半無限裂紋的路徑預(yù)測問題.Karihaloo等［5]、Sumi等［6-7]曾分別運(yùn)用二階、一階攝動(dòng)方法研究了無限大平面內(nèi)受制于無窮遠(yuǎn)處多向拉應(yīng)力的輕微彎曲裂紋的擴(kuò)展問題.YoichiSumi等［8]已計(jì)算出任意遠(yuǎn)場邊界條件、線彈性彎曲裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的近似值.Wu［9]、Amestoy和Leblond［10]也求解出彎曲裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子與路徑形狀參數(shù)的近似解.

但是，關(guān)于彎曲裂紋擴(kuò)展路徑的研究均針對線彈性和理想塑性材料［11].關(guān)于疲勞載荷作用下冪硬化材料彈塑性彎曲裂紋的路徑預(yù)測、硬化塑性區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力場計(jì)算、硬化塑性區(qū)域范圍的確定問題，科技工作者們至今尚少著手研究.在工程實(shí)際中，理想塑性材料并不存在，實(shí)際金屬材料均具有冪硬化特性.因此，有必要研究冪硬化金屬材料的斷裂特性.本文中將運(yùn)用二階攝動(dòng)方法對疲勞載荷作用下冪硬化材料彈塑性裂紋彎曲擴(kuò)展問題進(jìn)行研究，計(jì)算疲勞載荷作用下彎曲裂紋尖端硬化塑性區(qū)尺寸的最大值和變化幅值，從而更精確地服務(wù)于工程實(shí)際.

1 疲勞載荷作用下冪硬化材料彈塑性彎曲裂紋塑性區(qū)最大值和變化幅值的修正計(jì)算

1.1 彎曲裂紋尖端硬化塑性區(qū)邊界應(yīng)力狀態(tài)分析由已有文獻(xiàn)［12-16]可得彎曲裂紋尖端硬化塑性區(qū)邊界應(yīng)力的最大值為：σ1、σ2和σ3，其中n為材料的形變硬化指數(shù)，σs為材料的塑性屈服極限，σb為材料的抗拉強(qiáng)度，α、β、γ是彎曲裂紋形狀參數(shù)，(KIP)max、(KIIP)max分別為硬化塑性區(qū)邊界上的均布正應(yīng)力σ1與剪應(yīng)力σ2在假想彎曲裂紋尖端產(chǎn)生的I型、II型應(yīng)力強(qiáng)度因子的最大值，ΔKIP、ΔKIIP分別為硬化塑性區(qū)邊界上的均布正應(yīng)力σ1與剪應(yīng)力σ2在假想彎曲裂紋尖端產(chǎn)生的I型、II型應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化幅值，設(shè)kI與kII分別為I型、II型靜態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子，T、bI與bII分別為準(zhǔn)靜態(tài)遠(yuǎn)場邊界值決定的系數(shù)分別為彎曲裂紋尖端I型、II型應(yīng)力強(qiáng)度因子的遠(yuǎn)區(qū)域漸進(jìn)值分別表示彎曲裂紋尖端交變應(yīng)力I型、II型強(qiáng)度因子的遠(yuǎn)區(qū)域漸進(jìn)最大值，KI(f)、KII

(f)分別為彎曲裂紋尖端交變I型、II型應(yīng)力強(qiáng)度因子的遠(yuǎn)區(qū)域漸進(jìn)修正值分別表示彎曲裂紋尖端交變I型、II型應(yīng)力強(qiáng)度因子的遠(yuǎn)區(qū)域漸進(jìn)修正最大值.

式（3）、式（4）與式（5）中的負(fù)號表示彎曲裂紋尖端硬化塑性區(qū)邊界上的正應(yīng)力、剪應(yīng)力的作用與外應(yīng)力的作用是相反的.

硬化塑性區(qū)邊界上的均布正應(yīng)力σ1與剪應(yīng)力σ2在假想彎曲裂紋尖端產(chǎn)生的I型、II型應(yīng)力強(qiáng)度因子的最大值分別為（KIP）max、（KIIP）max，變化幅值分別為ΔKIP、ΔKIIP.于是，同理［14]可得：

1.2 彎曲裂紋尖端硬化塑性區(qū)的最大值和變化幅值在裂紋直線部分延長線上投影長度的數(shù)值求解由文獻(xiàn)［17]可得彎曲裂紋尖端硬化塑性區(qū)大小隨疲勞載荷的增減而變化，外應(yīng)力越大，塑性區(qū)越大，裂紋尖端硬化塑性區(qū)與彈性區(qū)循環(huán)交替變化.因?yàn)閺澢鸭y硬化塑性區(qū)的端點(diǎn)無奇異性，由文獻(xiàn)［14]可得：

將式（7）、式（16）與式（17）代入式（11），再將式（9）、式（18）與式（19）代入式（12），并輔以式（15），用數(shù)值解法可以計(jì)算出彈塑性彎曲裂紋尖端硬化塑性區(qū)最大值和變化幅值在裂紋直線部分延長線上的投影長度.

1.3 彎曲裂紋尖端硬化塑性區(qū)最大值和變化幅值在裂紋直線部分延長線上投影長度的計(jì)算分析由文獻(xiàn)［18]知：σ*=E(ε*)n，其中σ*為有效應(yīng)力，ε*為有效應(yīng)變.n為材料的硬化指數(shù).對于一般金屬材料，1 9≤n≤1 3.理想塑性材料的硬化指數(shù)為0，理想彈性材料的硬化指數(shù)為1.H是裂紋直線部分的長度，Rmax是彎曲裂紋尖端硬化塑性區(qū)最大值在裂紋直線部分延長線上的投影長度，ΔR是彎曲裂紋尖端硬化交變塑性區(qū)在裂紋直線部分延長線上的投影長度，a是彎曲裂紋在裂紋直線部分延長線上的投影長度，α0是彎曲裂紋的形狀參數(shù)［22]，(σa)max是與裂紋直線部分垂直的外部作用應(yīng)力的最大值，(σr)max是與裂紋直線部分平行的外部作用應(yīng)力的最大值，σs是材料的屈服極限，E是材料的彈性楊氏模量.

基于彈塑性彎曲裂紋尖端硬化塑性區(qū)最大值和變化幅值在裂紋直線部分延長線上投影長度的數(shù)值解隨彎曲裂紋形狀參數(shù)的變化關(guān)系，分別作圖如下：

圖1 彎曲裂紋塑性區(qū)最大值投影長度隨裂紋彎曲形狀參數(shù)的變化關(guān)系

從圖1可以看出，在同樣外載荷作用下，相同的裂紋彎曲形狀參數(shù)對應(yīng)的彎曲裂紋塑性區(qū)最大值在裂紋直線部分延長線上的投影長度隨著材料硬化指數(shù)不斷增大而逐漸減小.具體減少的數(shù)量詳見圖1（a）到（e）.當(dāng)n等速均勻增加時(shí)，硬化塑性區(qū)最大值的投影長度加速減少，減少的幅度越來越大.

從圖2可以看出，在同樣外載荷作用下，相同的裂紋彎曲形狀參數(shù)對應(yīng)的彎曲裂紋塑性區(qū)變化幅值在裂紋直線部分延長線上的投影長度隨材料硬化指數(shù)不斷增大而逐漸減小.當(dāng)n等速均勻增加時(shí)，硬化塑性區(qū)變化幅值的投影長度加速減少，減少的幅度越來越大.還可以看出，當(dāng)材料的硬化指數(shù)相同時(shí)，彎曲裂紋塑性區(qū)變化幅值在裂紋直線部分延長線上的投影長度隨外載荷的不斷減小而逐漸減小.

從圖3可以看出，材料硬化指數(shù)越大，彎曲裂紋塑性區(qū)最大值于裂紋直線部分延長線上的投影長度隨著外載荷的不斷增大而增大的速度逐漸放慢.當(dāng)硬化指數(shù)均勻增加時(shí)，彎曲裂紋塑性區(qū)最大值投影長度隨著外載荷增大而增大的速度逐漸增加.

圖2 彎曲裂紋塑性區(qū)變化幅值投影長度隨裂紋彎曲形狀參數(shù)的變化關(guān)系

圖3 彎曲裂紋塑性區(qū)尺寸最大值與外載荷之間的變化關(guān)系

圖4 彎曲裂紋塑性區(qū)尺寸變化幅值與外載荷之間的變化關(guān)系

從圖4可以看出，材料硬化指數(shù)越大，彎曲裂紋塑性區(qū)變化幅值在裂紋直線部分延長線上的投影長度隨著外載荷的不斷增大而增大的速度逐漸放慢.當(dāng)硬化指數(shù)均勻增加時(shí)，彎曲裂紋硬化塑性區(qū)變化幅值投影長度隨著外載荷增大而增大的速度逐漸增加.

2 結(jié)論

1）計(jì)算得出疲勞載荷作用下彈塑性彎曲裂紋尖端硬化塑性區(qū)邊界上任意一點(diǎn)的應(yīng)力的最大值和變化幅值.

2）用數(shù)值解法計(jì)算得出彈塑性彎曲裂紋尖端硬化塑性區(qū)最大值和變化幅值在裂紋直線部分延長線上的投影長度，并作圖分析硬化塑性區(qū)尺寸的最大值、變化幅值與材料硬化指數(shù)之間的變化關(guān)系.

3）彎曲裂紋尖端硬化塑性區(qū)最大值和變化幅值在裂紋直線部分延長線上的投影長度隨材料硬化指數(shù)n的增大而減少，當(dāng)n等速均勻增加時(shí)，硬化塑性區(qū)最大值和變化幅值的投影長度加速減少，減少的幅度越來越大.

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