一類利用Catas算子定義的p葉解析函數(shù)類

闞興莉

（湖北工業(yè)大學商貿(mào)學院，湖北 武漢 430079）

0 引言

設(shè)A(p,n)表示在單位圓盤U={z∈C:|z|＜1}內(nèi)p葉解析且具有如下泰勒展開式

的函數(shù)族，并記A(1,1)=A,T(p,n)表示A(p,n)中由下式組成的函數(shù)集合：

Darwish等[1]介紹了A(p,n)中的函數(shù)類β-UST(α,β,p,n)：

和β-UCV(α,β,p,n)：

顯然，f(z)∈β-UCV(α,β,p,n)當且僅當zf′(z)∈β-UST(α,β,p,n).對上述函數(shù)類中參數(shù)進行適當?shù)馁x值，可以得到以下函數(shù)類：

1）S(p,n,α)=β-UST(α,0,n,p),K(p,n,α)=β-UCV(α,0,p,n)由 Owa[2]引入并研究，S?(p,α)=S(p,1,α),K?(p,α)=K(p,1,α)分別稱為α階星象函數(shù)和α階凸函數(shù)，由Patil和Thakare[3]引入并研究；

2）UST(α,β)=β-UST(α,β,1,1),UCV(α,β)=β-UCV(α,β,1,1)由 Bharathi等[4]引入并研究；UCV(0,β),UCV(0,1)分別由Goodman[5]和Kanas等[6]引入并研究.

對函數(shù)類A，Nishiwaki等[7]改變參數(shù)α和β的取值范圍，引入了新的函數(shù)類MD(α,β)：

和ND(α,β)：

容易驗證，f∈ND(α,β)當且僅當zf′∈MD(α,β).對于其他類型的函數(shù)類可參見文獻［8-10].

設(shè)f∈A(p,n),η,λ,l≥0 ，Catas[11]定義了A(p,n)上的算子函數(shù)Ⅰp(η,λ,l)（稱為Catas算子）為：

在Catas算子中對參數(shù)p,η,λ,l做適當?shù)馁x值，可以得到一些特殊形式的算子，具體參見文獻［12-18].本文中利用Catas算子，定義一類新的函數(shù)類S(α,β,p,n,η,λ,l)：

這 里α≥p,β≤0. 容 易 驗 證 ，MD(α,β)=S(α,β,1,1,η,0,l). 為 下 面 敘 述 方 便 ，記S0(α,β,p,n)=S(α,β,p,n,η,λ,l),TS0(α,β,p,n)=S0(α,β,p,n)?T(p,n).筆者利用一些不等式的技巧研究函數(shù)類TS0(α,β,p,n)的系數(shù)不等式、星象半徑、凸半徑、極值點，推廣了一些已有的結(jié)論.

1 系數(shù)不等式

定理1.1若由（0.1）式定義的函數(shù)f(z)∈A(p,n)滿足下面不等式

則f(z)∈S0(α,β,p,n).

定理1.1的證明為證明方便，假設(shè)

若則ReF(z)＜0 ，即f(z)∈S0(α,β,p,n).又因為

由于f(z)滿足（1.1）式，將（1.1）式變形，得

即（1.2）式的最后的一個表達式有上界1，所以f(z)∈S0(α,β,p,n)，定理得證.

特別地，當p=1,n=1,λ=0時，有下面的推論成立.

推論1.2[7]若f(z)∈A,滿足不等式

則f(z)∈MD(α,β).

推論1.3[7]若f(z)∈A,滿足不等式

則f(z)∈ND(α,β).

推論1.4設(shè)f(z)∈TS0(α,β,p,n)，則

2 星象半徑、凸半徑

定理2.1設(shè)f(z)∈TS0(α,β,p,n),f(z)在|z|=r1上為δ(0≤δ＜p)階星象函數(shù)，這里

定理2.1的證明由星象函數(shù)的定義，為了得到結(jié)論，只需

而

因此，如果

則（2.1）式成立.又由于f(z)∈TS0(α,β,p,n)，由推論1.4知

所以，只要不等式

成立即可，上述不等式變形即為

取

在|z|=r1上，f(z)為δ階星象函數(shù).

定理2.2 設(shè)f(z)∈TS0(α,β,p,n),f(z)在|z|=r2上為δ(0≤δ＜p)階凸函數(shù)，這里

定理2.2的證明由凸函數(shù)的定義，為了得到結(jié)論，只需

而

因此，如果

則（2.2）式成立.又由于f(z)∈TS0(α,β,p,n)，由推論1.4，知

所以，只要不等式

成立即可，上述不等式變形即為

取

f(z)在|z|=r2上為δ(0≤δ＜p)階凸函數(shù).

3 極值點

定理3.1設(shè)則f(z)∈當且僅當

這里

定理3.1的證明先證明充分性.假設(shè)

將fp(z),fk+p(z)代入f(z)，得

利用定理1.1知，

所以f(z)∈TS0(α,β,p,n).

再證明必要性.令f(z)∈TS0(α,β,p,n)，因為

令

且

由于

結(jié)論得證.

推論3.2TS0(α,β,p,n)的極值點由下列函數(shù)

構(gòu)成.

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