優(yōu)化權(quán)重下平穩(wěn)高斯序列的部分和與最大值的幾乎處處中心極限定理

汪園芳，吳群英

（桂林理工大學(xué)理學(xué)院，廣西 桂林 541004）

0 引言及定義

獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列的部分和形式的幾乎處處中心極限定理被Brosamler［1]和Schatte［2]首次引入并證明，其一般形式為：設(shè)X1,X2,…,Xn是一組獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，令和是常數(shù)數(shù)列，如果滿足為分布函數(shù)，則對(duì)于G的任意連續(xù)點(diǎn)x都有

其中，Ⅰ(·)為示性函數(shù).之后，幾乎處處中心極限定理被推廣到各種不同的形式.Fahrner［3]和Stadtmuller［3]以及Cheng［4]將部分和形式的幾乎處處中心極限定理推廣到最大值形式的幾乎處處中心極限定理，其一般形式為：設(shè)X1,X2,…,Xn是一組獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，令和是常數(shù)數(shù)列，

隨后，Csaki等［5]將幾乎處處中心極限定理應(yīng)用到平穩(wěn)高斯列，Dudzinski［6]將部分和形式的幾乎處處中心極限定理推廣到部分和與最大值的形式，筆者在文獻(xiàn)［6]的基礎(chǔ)上將權(quán)重從推廣到并且證明了該權(quán)重下的幾乎處處中心極限定理.

本文中，記X1,X2,…,Xn為平穩(wěn)的高斯序列為示性函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).an～bn表示當(dāng)表示當(dāng)n→∞時(shí)，存在c＞0使an≤cbn.

1 主要結(jié)果

定理設(shè)為平穩(wěn)高斯序列，如果為正的慢變化函數(shù)，并且常數(shù)列滿足存在0≤τ＜∞，使則有：對(duì)?x,y∈?,

注1：對(duì)于dk有（1）式成立，則對(duì)滿足（1）式也成立.

注2：當(dāng)β=0時(shí)，Dudzinski證明出的定理結(jié)果是本文中定理的一個(gè)特例.

2 幾個(gè)引理

引理1［7]設(shè)ξ1,ξ2,…為一組有界的隨機(jī)變量序列，如果存在某ε＞0,使得引理2［6]在滿足定理的情況下，對(duì)任意的x,y∈?，存在γ＞0，當(dāng)m＜n時(shí)有：

引理3［8]（正態(tài)比較引理） 設(shè){ }Xn,n≥1是平穩(wěn)高斯序列，rij=Cov(Xi,Xj)，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)ui,i=1,2,…,n,有

引理4［9]（Toeplitz引理） 設(shè)實(shí)數(shù)滿足如果x=0并且實(shí)數(shù)陣列符合條件則有如果x≠0，則在上面的條件下，再加上這個(gè)條件，仍然有

3 定理的證明

變化函數(shù)，則對(duì)?ε＞0，有當(dāng)1≤i≤n時(shí)，則有

記Yn為一隨機(jī)變量，與有相同的分布，且與( )X1,…,Xn獨(dú)立，由引理 3及（4）式知，當(dāng)時(shí)，則有

則由（5）式有：

進(jìn)一步地，再根據(jù)文獻(xiàn)［8]有

再由引理4有：

則要證明定理，只要證明

要證明（7）式，由引理1，只要證明存在某ε＞0,

根據(jù)（9）式有

對(duì)于Tn1，有下面的估計(jì)：

結(jié)合（10）～（12）式，證明了（8）式，則（7）式成立.最后由（6）式可知定理得證.

［1]Brosamler GA.An almoste very where central limit theorem［J].Math Proc Cambridge Philos Soc，1988，104:561-574.

［2]Schatte P.On strong versionsof the central limit theorem［J].Math Nachr，1988，137:249-256.

［3]Faharner I，Stadtmuller U.On almostsure centralmax-limit theorems［J].StatProbab Lett，1998，37:229-236.

［4]Cheng H，Peng L，QiYC.Almostsure convergence in extreme value theory［J].Math Nachr，1998，190:43-50.

［5]Csaki E，Gonchigdanzan K.Almostsure limit theorems for themaximum of stationary Gaussian Sequences［J].Statist Probab Lett，2002，58:195-203.

［6]Dudzinski M.The almost sure central limit theorems in the joint version for the maxima and sums of certain stationary Gaussian sequences［J].Statist Probab Lett，2008，78:347-357.

［7]WU Qunying.Almost sure central limit theory for products of sums of partial sums［J].Math Appl Chinese Univ，2012，27:169-180.

［8]Leadbetter M R，Lindgren G，Rootzen H.Extremes and related properties of random sequences and processes［M].New York:Springer，1983.

［9]吳群英.混合序列的概率極限理論［M].北京：科學(xué)出版社，2006.