一類三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的相圖

高靜，劉娟

（1.廣東白云學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，廣州 510450，2.廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣州 510320）

1 引言及主要結(jié)果

文獻(xiàn)［1]中將系統(tǒng)

分為20類，其中一類為

其中b＞0，研究系統(tǒng)（1）的原點(diǎn)O(0,0)是中心還是焦點(diǎn)的判別，并給出了中心的條件；還研究了當(dāng)原點(diǎn)O(0,0)是中心，b=1時(shí)，系統(tǒng)的相圖.

主要結(jié)果為以下定理：

定理1系統(tǒng)（1）有奇點(diǎn)O(0,0)且有以下結(jié)論：

1）當(dāng)α+bγ＞0時(shí)，O(0,0)為一階不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)；當(dāng)α+bγ＜0時(shí)，O(0,0)為一階穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn).

2）當(dāng)α+bγ=0但(α,γ)≠(0,0)時(shí)，若γ＞0，則O(0,0)為二階不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)；若γ＜0時(shí)，O(0,0)為二階穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn).

3）當(dāng)且僅當(dāng)α=γ=0時(shí)，O(0,0)為中心.

定理2當(dāng)原點(diǎn)O(0,0)是中心時(shí)，若b=1，系統(tǒng)（1）變?yōu)?/p>

則系統(tǒng)（2）的相圖有3種，如圖1.

圖1 系統(tǒng)（2）的相圖

2 定理1的證明

經(jīng)非退化線性變換：

系統(tǒng)（1）化為

由文獻(xiàn)［2]中給出的公式，奇點(diǎn)O(0,0)的前2階焦點(diǎn)量為：

所以可以得到以下幾種情況：

3）若V3=0且V5=0，即α=γ=0.所以當(dāng)且僅當(dāng)α=γ=0時(shí)，O(0,0)為中心.

3 定理2的證明

為了計(jì)算系統(tǒng)（2）的有限奇點(diǎn)［3-4]，須求解方程組

所以易算出系統(tǒng)有奇點(diǎn)O(0,0)，A1(0,1)，A2(0,-1).

當(dāng)β2≠1+9μ2且1+9μ2-β2＞0,β+3μ+1＜0,β-3μ+1＞0或1+9μ2-β2＜0,β+3μ+1＞0,β-3μ+1＜0時(shí)還有奇點(diǎn)

O(0,0)在任何情況下都是中心，后面的討論中不再說明.

對(duì)于系統(tǒng)（2）有矩陣

所以奇點(diǎn)A1(0,1)，A2(0,-1)對(duì)應(yīng)矩陣均為其對(duì)應(yīng)的特征方程為λ2=2(1+β+3μ)，故當(dāng)β+3μ＞-1時(shí)，奇點(diǎn)A1(0,1)，A2(0,-1)均為鞍點(diǎn).

當(dāng)β+3μ＜-1時(shí)，奇點(diǎn)A1(0,1)，A2(0,-1)一次近似為中心；當(dāng)β+3μ=-1時(shí)，奇點(diǎn)A1(0,1)，A2(0,-1)為高階奇點(diǎn).

當(dāng)β+3μ=-1時(shí)，奇點(diǎn)A1(0,1)，A2(0,-1)為高階奇點(diǎn)，它們都屬于相應(yīng)的線性方程組的兩個(gè)特征根都是零，但線性項(xiàng)系數(shù)不全為零.

對(duì)于奇點(diǎn)A1(0,1)，令x1=x，y1=y-1，將原點(diǎn)移至A1(0,1)，又注意到β=-3μ-1，并令2dt=dτ，則系統(tǒng)（2）化為

由y+P2(x,y)=0，解得隱函數(shù)

并有

同理可得，A2(0,-1)與A1(0,1)有相同的類型.

奇點(diǎn)A3,A6對(duì)應(yīng)矩陣均為

若ak=-3μ＞0即μ＜0，則A1(0,1)為鞍點(diǎn).

若ak=-3μ＜0即μ＞0；n=1，bn=-2(3μ+1)＜0.

奇點(diǎn)A4,A5對(duì)應(yīng)矩陣均為

通過計(jì)算它們的行列式均小于零，容易判斷出A3,A4,A5,A6都為鞍點(diǎn).

為了研究系統(tǒng)（2）無窮遠(yuǎn)處奇點(diǎn)的性態(tài)，要作Poincaré變換.

系統(tǒng)（4）在u軸(z=0)上有兩個(gè)無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)

因此得到如下結(jié)論：

作變換(u,z)→(z,u)，并除以4β3μ-β，上述系統(tǒng)化為

由z+Q2(u,z)=0，解得隱函數(shù)

并有

注意到4β3μ-β＜0，此時(shí)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性恰好與系統(tǒng)（3）中的結(jié)論相反.于是有：

i）當(dāng)β+3μ+1＞0時(shí)是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).

iii）當(dāng)β+3μ+1=0時(shí)，am=0，這種情況在后面的討論并沒有遇到，所以這里不在繼續(xù)討論.

同 理 可得：當(dāng)β+3μ+1＞0 時(shí)是 不 穩(wěn) 定 結(jié) 點(diǎn) ；當(dāng)β+3μ+1＜0 時(shí) ，是鞍點(diǎn)；另外它的4條分界線分別沿方向和進(jìn)入

系統(tǒng)（5）在v-z平面的原點(diǎn)不是無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn).

注意到Z=0是系統(tǒng)（5）的解，故赤道由奇點(diǎn)和軌線連成.又因所以在Poincare圓盤上，在與B對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)的軌線走向一致，在與C對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)C′,C″的軌線走向一致.又因?yàn)閷?duì)系統(tǒng)（2）有

所以系統(tǒng)（2）關(guān)于x軸或y軸都對(duì)稱，因而只要討論第一象限的情況就可以了.

分兩種情況討論：

這時(shí)β=-1，μ=0，此時(shí)系統(tǒng)（2）變成

右端函數(shù)有公因子，故有無窮多個(gè)奇點(diǎn)在曲線y2-x2=1上，并且還有3個(gè)奇點(diǎn)O(0,0)，A1(0,1)，A2(0,-1).對(duì)于無窮遠(yuǎn)處，它在u軸上有兩個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)B(1,0)，C(-1,0).這時(shí)A1(0,1)，A2(0,-1)，B(1,0)，C(-1,0)都為高階奇點(diǎn).系統(tǒng)（2）有首次積分x2+y2=r2,r∈R.

根據(jù)以上分析，系統(tǒng)（2）的相圖拓?fù)涞葍r(jià)于圖1（a）.

這時(shí)系統(tǒng)（2）有首次積分：

積分因子

由文獻(xiàn)［5]知，系統(tǒng)（2）在平面上不存在極限環(huán)，焦點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)，它有3個(gè)奇點(diǎn)：O(0,0)，A1(0,1)，A2(0,-1).

分兩種情況：

1）當(dāng)β+3μ＞-1時(shí)，奇點(diǎn)A1(0,1)，A2(0,-1)均為鞍點(diǎn)；

2）當(dāng)β+3μ＜-1時(shí)，奇點(diǎn)A1(0,1)，A2(0,-1)一次近似為中心，所以奇點(diǎn)A1(0,1)，A2(0,-1)就是系統(tǒng)（2）的中心.

對(duì)于無窮遠(yuǎn)處，在u軸上有兩個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

分兩種情況：

B(為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).

2）β=-9μ2+1.

當(dāng)β+3μ＞-1時(shí)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).

當(dāng)β+3μ＜-1時(shí)為鞍點(diǎn)，另外它的4條分界線分別沿方向和進(jìn)入為鞍點(diǎn)，另外它的4條分界線分別沿方向和進(jìn)入

綜合以上分析，有兩種情況：

1）當(dāng)β+3μ＞-1且時(shí)，都有A1(0,1)，A2(0,-1)為鞍點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).系統(tǒng)（2）的相圖拓?fù)涞葍r(jià)于圖1（b）.

2）當(dāng)β+3μ＜-1且時(shí)，這時(shí)所以這種情況是不成立的；

當(dāng)β+3μ＜-1且時(shí)，這時(shí)A1(0,1)，A2(0,-1)為中心為鞍點(diǎn).系統(tǒng)（2）的相圖拓?fù)涞葍r(jià)于圖1（c）.

系統(tǒng)（2）的奇點(diǎn)還有第三種情況

但較復(fù)雜，本文中沒有涉及，這是努力的方向.

［1]Yang Xinan ，Zhang Jianfeng.Algebraic classification of polynomial systems in the plane［J].Ann of Diff Eqs，1990，6（4）：463-480.

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