一類圖構(gòu)形的特征多項(xiàng)式

高瑞梅

（長(zhǎng)春理工大學(xué)　理學(xué)院，長(zhǎng)春　130022）

一類圖構(gòu)形的特征多項(xiàng)式

高瑞梅

（長(zhǎng)春理工大學(xué)理學(xué)院，長(zhǎng)春130022）

超平面構(gòu)形是奇點(diǎn)理論的一個(gè)分支，它是一類具有非孤立奇點(diǎn)的超曲面。超平面構(gòu)形是處在組合學(xué)、代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何學(xué)等多個(gè)學(xué)科交匯處的一門年輕的學(xué)科，它的巨大魅力在于：能從組合學(xué)以及代數(shù)學(xué)等不同角度去描述它的拓?fù)洳蛔兞?。特征多?xiàng)式作為構(gòu)形的一個(gè)組合不變量，在構(gòu)形組合、代數(shù)、拓?fù)湫再|(zhì)的研究中，起到非常重要的作用。本文利用圖論中的頂點(diǎn)著色理論給出一類特殊圖構(gòu)形的特征多項(xiàng)式。

超平面構(gòu)形；圖構(gòu)形；特征多項(xiàng)式

超平面構(gòu)形是指有限維向量空間中有限個(gè)超平面所形成的集合。通常將超平面構(gòu)形簡(jiǎn)稱為構(gòu)形。超平面構(gòu)形是一門新興的學(xué)科，最近三十年得到越來(lái)越多學(xué)者們的重視，并發(fā)現(xiàn)了它與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，涉及到的學(xué)科有：波前和超幾何函數(shù)、辮子和相位的研究、反射群、編碼理論、李代數(shù)等［1］。構(gòu)形是一門內(nèi)容豐富的學(xué)科，我們可以多角度對(duì)它進(jìn)行研究，例如從組合學(xué)、代數(shù)學(xué)、代數(shù)組合學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等角度［2-7］。目前，構(gòu)形的研究焦點(diǎn)主要集中在解決構(gòu)形自由性方面的Terao猜想上，日本北海道大學(xué)的Terao H、Yoshinaga M，京都大學(xué)的Abe T等學(xué)者在此方面做了大量基礎(chǔ)性和創(chuàng)新性的工作［2，4，5］。

構(gòu)形理論的發(fā)展之初，一個(gè)組合學(xué)問題呈現(xiàn)在大家面前，即如何計(jì)算實(shí)構(gòu)形補(bǔ)空間的連通分支的個(gè)數(shù)，即構(gòu)形房的個(gè)數(shù)。最終，Zaslavsky T通過(guò)引入特征多項(xiàng)式這一概念，徹底解決了上述問題。從此，構(gòu)形的特征多項(xiàng)式被大家所熟知，并成為研究的熱點(diǎn)。特征多項(xiàng)式是構(gòu)形的一個(gè)重要的組合不變量，它是貫穿構(gòu)形的組合、代數(shù)、拓?fù)湫再|(zhì)的一條主線：構(gòu)形的Orlik-Soloman代數(shù)的龐加萊多項(xiàng)式，以及復(fù)構(gòu)形補(bǔ)空間的Betti數(shù)都與特征多項(xiàng)式有著密切的聯(lián)系。由于特征多項(xiàng)式的研究具有重要的意義，學(xué)者們對(duì)于重構(gòu)形、子空間構(gòu)形的特征多項(xiàng)式也進(jìn)行了研究［5，8］。本文將圖論中的頂點(diǎn)著色原理應(yīng)用到超平面構(gòu)形上，以定理的形式給出一類特殊圖構(gòu)形的特征多項(xiàng)式。

1　構(gòu)形的基本定義

設(shè)K是一個(gè)域，V是域K上的n維向量空間。稱V中n-1維的仿射子空間為V中的一個(gè)超平面，記為H。將V中有限個(gè)超平面所組成的集合稱為一個(gè)超平面構(gòu)形，記為A。若A中超平面方程為

其中x=（x1，…，xn），且每個(gè)Li（x）都是齊次線性的，則稱多項(xiàng)式

為A的定義多項(xiàng)式。如果構(gòu)形A中每一個(gè)超平面都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則稱A是一個(gè)中心構(gòu)形，否則稱A為非中心構(gòu)形。設(shè)A是V中一個(gè)構(gòu)形，用L（A）表示A中超平面的所有非空交集構(gòu)成的集合。構(gòu)形A的特征多項(xiàng)式χA（t）定義為：

其中μ（x）是元素x的默比烏斯函數(shù)值。

設(shè) （A1，V1）和 （A2，V2）是兩個(gè)構(gòu)形，且V=V1⊕V2，定義乘積構(gòu)形（A1×A2，V1×V2）如下：

A1×A2=｛H1⊕V2|H1∈A1｝?｛V1⊕H2|H2∈A2｝

如果在坐標(biāo)變換之下，構(gòu)形A可以寫成A=A1×A2，則稱構(gòu)形A是可約的，否則稱A是不可約的。設(shè)G=（V（G），E（G））是一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖，其中V（G）是G的頂點(diǎn)集，E（G）是G的邊的集合。定義

稱AG為G對(duì)應(yīng)的圖構(gòu)形。

圖1　當(dāng)m=6，n=4時(shí)，G、G-e、G/e對(duì)應(yīng)的圖形

2　一類特殊圖構(gòu)形的特征多項(xiàng)式

本部分將利用圖論中的頂點(diǎn)著色理論得到一類圖構(gòu)形的特征多項(xiàng)式。

設(shè)G是一個(gè)簡(jiǎn)單圖，e=｛i，j｝∈E（G），G-e表示圖G去掉邊e后所得的圖，G e表示把圖G中的邊e縮為一點(diǎn)，再將所得圖中的重邊用單邊代替后所得的圖。三個(gè)簡(jiǎn)單圖G、G-e、G/e對(duì)應(yīng)的著色多項(xiàng)式之間的關(guān)系如下：

引理2.1［9］χG（t）=χG-e（t）-χG e（t）。

引理2.2［9］對(duì)任何一個(gè)圖G，我們有χAG（t）= χG（t），即簡(jiǎn)單圖G的著色多項(xiàng)式和AG的特征多項(xiàng)式是相同的。

由于χAG（t）=χG（t），因此對(duì)這兩個(gè)符號(hào)不加以區(qū)分。

引理2.3［10］設(shè)G是一個(gè)n邊形，G對(duì)應(yīng)的圖構(gòu)形AG的定義多項(xiàng)式為

則AG的特征多項(xiàng)式為

引理2.4［1］設(shè)A=A1×A2，則πA（t）=πA1（t）πA2（t），其中πA（t）是構(gòu)形A的龐加萊多項(xiàng)式。

注2.1構(gòu)形A的特征多項(xiàng)式和龐加萊多項(xiàng)式的關(guān)系為χA（t）=tnπA（-t-1），其中n是構(gòu)形A所在的空間維數(shù)。

定理2.1設(shè)圖G1，G2分別為一個(gè)m邊形和一個(gè)n邊形（m，n≥3），其中G1，G2有且只有一條公共邊，則簡(jiǎn)單圖G=G1?G2對(duì)應(yīng)的圖構(gòu)形AG的特征多項(xiàng)式為

證明應(yīng)用以上4個(gè)引理來(lái)證明此定理。不妨設(shè)G中邊e為圖G1，G2的公共邊，則G-e為一個(gè)m+n-2邊形，G/e為一個(gè)m-1邊形和一個(gè)n-1邊形構(gòu)成的圖形，其中m-1邊形和n-1邊形有且只有一個(gè)公共頂點(diǎn)。對(duì)于G、G-e、G/e中頂點(diǎn)的標(biāo)號(hào)作如下的說(shuō)明：設(shè)G1，G2這兩個(gè)圖形左右排列，公共邊按照逆時(shí)針方向分別標(biāo)記兩個(gè)頂點(diǎn)為x1，x2，接下來(lái)按照逆時(shí)針方向標(biāo)記G1的剩余頂點(diǎn)，當(dāng)G1標(biāo)記完畢后，再按照逆時(shí)針方向標(biāo)記G2的剩余頂點(diǎn)。以m=6，n=4的情形為例畫出相應(yīng)的圖G、G-e、G/e及它們的頂點(diǎn)標(biāo)記，如圖1所示。

設(shè)圖G、G-e、G/e所對(duì)應(yīng)的圖構(gòu)形分別為AG、AG-e、AG e，其中AG和AG-e所在的空間是m+n-2維，AG e所在的空間是m+n-3維。下面我們分別求出AG-e和AG e的特征多項(xiàng)式。

（1）求AG-e的特征多項(xiàng)式。

由于G-e是一個(gè)m+n-2邊形，由引理2.3可知，

（2）求AG e的特征多項(xiàng)式。

G/e是一個(gè)m-1邊形和一個(gè)n-1邊形構(gòu)成的圖形，且兩個(gè)多邊形有且只有一個(gè)頂點(diǎn)。G/e中共有m+n-3個(gè)頂點(diǎn)，按照上面頂點(diǎn)標(biāo)記的說(shuō)明，可知AG e中共含有m+n-2個(gè)超平面，且

作如下的坐標(biāo)變換：

則

設(shè)

由可約構(gòu)形的定義，AG e是可約構(gòu)形，且AG e=A1×A2。 A1，A2分別看做 m-1邊形和n-1邊形對(duì)應(yīng)的圖構(gòu)形，因此由引理2.3可知，

由注2.1，特征多項(xiàng)式和龐加萊多項(xiàng)式的關(guān)系可知，

由于AG e=A1×A2，由引理2.4可知，

因此，

再由引理2.1可知，

證明完畢。

注2.2由于t|（t-1）n-1+（-1）n-1（t-1），（n≥3），因此定理2.1中給出的式子是一個(gè)m+n-2次多項(xiàng)式。

例2.1對(duì)于圖1中給出的m=6，n=4的情形，我們分別得到AG-e和AG e的特征多項(xiàng)式如下：

因此，AG的特征多項(xiàng)式為

4　總結(jié)

本文給出兩個(gè)多邊形有且只有一條公共邊時(shí)，所得到簡(jiǎn)單圖對(duì)應(yīng)圖構(gòu)形的特征多項(xiàng)式，即本文的定理2.1。此定理可以將多邊形的個(gè)數(shù)進(jìn)行推廣，即研究若干個(gè)多邊形兩兩相連后，所得圖構(gòu)形的特征多項(xiàng)式。當(dāng)然，在推廣后的問題中，我們還需要深入研究的是多邊形相連的方式和順序?qū)τ谔卣鞫囗?xiàng)式的影響。

［1］OrlikP，TeraoH.Arrangementsofhyperplanes ［M］.GrundlehrenderMathematischenWissenschaften，300，Springer-Verlag，Berlin，1992.

［2］Terao H.Generalized exponents of a free arrangement of hyperplanes and Shephard-Todd-Brieskorn formula［J］.Invent.Math，1981（63）：159-179.

［3］ Solomon L，Terao H.The double Coxeter arrangement［J］.Comm.Math.Helv，1998（73）：237-258.

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［10］ 高瑞梅.超平面構(gòu)形及其特征多項(xiàng)式［J］.長(zhǎng)春理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，37（5）：151-154.

The Characteristic Polynomials of a Class of Graphical Arrangements

GAO Ruimei
（School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

The arrangement of hyperplanes，which is a branch of singularity theory，is a hypersurface with non-isolated singularities.The arrangement of hyperplanes is a new interdisciplinary field which comes from combinatorics，algebra，topology，algebraic geometry and so on.The greatest charm of the theory of hyperplane arrangements is expressing topological invariants of the complement space in terms of combinatorics and algebra.The characteristic polynomials are combinatorial invariants for hyperplane arrangements，and play important roles in the studying of the properties of the aspects of combinatorics，algebra and topology.In this paper，the characteristic polynomials of a class of graphical arrangements are established by the chromatic theory of the vertices graphs.

hyperplane arrangement；graphical arrangement；characteristic polynomial

O189.1

A

1672-9870（2015）06-0123-04

2015-08-26

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11501051）；吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（吉教科合字［2015］第52號(hào)）；長(zhǎng)春理工大學(xué)科技創(chuàng)新基金項(xiàng)目（XJJLG-2014-01）

高瑞梅（1983-），女，博士，講師，E-mail：gaorm135@nenu.edu.cn