談二次函數(shù)與三次函數(shù)的零點(diǎn)式應(yīng)用

對(duì)于二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）若有根x1，x2，則可寫成零點(diǎn)式f（x）=ax-x1x-x2（a≠0）.同理對(duì)一個(gè)三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）若有根x1，x2，x3，則可寫成零點(diǎn)式f（x）=ax-x1x-x2x-x3（a≠0），其應(yīng)用廣泛，下面簡(jiǎn)單討論其應(yīng)用.1巧證不等式

例1證明：-33≤sinx2-cosx≤33.

證明依題設(shè)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造以±33為零點(diǎn)的二次函數(shù)，記f（t）=t-33t+33，由二次函數(shù)圖像性質(zhì)，欲證-33≤sinx2-cosx≤33成立，只需證f（sinx2-cosx）≤0即可.由f（sinx2-cosx）=sin2x2-cosx2-13=3sin2x-2-cosx232-cosx2=-1-2cosx232-cosx2≤0成立，故原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)此題證明沒用到三角中變形求值域方法，而是由結(jié)構(gòu)巧妙構(gòu)造二次函數(shù)零點(diǎn)式，依二次函數(shù)的函數(shù)值與不等式解集之間的緊密關(guān)系，數(shù)與形有機(jī)結(jié)合，方法美妙，令人印象深刻.對(duì)于證a≤f（x）≤b的形式的不等式，一般可考慮構(gòu)造二次函數(shù)零點(diǎn)式來解決.

例2（數(shù)學(xué)通報(bào)201412期問題征解2217）設(shè)長方體的長寬高分別為a，b，c（a>b>c），p為長方體各棱長之和，為表面積，d為一條對(duì)角線，求證：a>13p4+d2-12s，c<13p4-d2-12s.

解析由求證結(jié)構(gòu)形式，不妨構(gòu)造以x1=13p4+d2-12s，x2=13p4-d2-12s為零點(diǎn)的二次函數(shù)，由韋達(dá)定理知x1+x2=p6=23a+b+c，x1x2=19p216-d2+12s=19[a+b+c2-a2+b2+c2+ab+bc+ac]

=13ab+bc+ac，構(gòu)造二次函數(shù)f（x）=3（x-x1）（x-x2）=3x2-2a+b+cx+ab+bc+ac，由函數(shù)對(duì)稱軸為x=a+b+c3，又a>b>c，故a>a+b+c3>c，又由f（a）=3a2-2a+b+ca+ab+bc+ac=

a2-ab+bc-ac=（a-b）（a-c）>0，f（c）=3c2-2a+b+cc+ab+bc+ac=c2+ab-bc-ac=（c-b）（c-a）>0，故c13p4+d2-12s，c<13p4-d2-12s.

點(diǎn)評(píng)此題用一般方法較難下手，而構(gòu)造二次函數(shù)的零點(diǎn)式，問題的解決得以易乎尋常的順暢.2巧比大小

例3設(shè)函數(shù)f（x）=ax2-x，g（x）=x-a（a>0），若p，q是方程f（x）-g（x）=0的兩根，且滿足0

證明由f（x）-g（x）=0的兩根為p，q，構(gòu)建零點(diǎn)式，則f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q），由x∈（0，p），且00，即f（x）>g（x）.

又f（x）-p-a=g（x）+a（x-p）（x-q）-p-a=x-p+a（x-p）（x-q）=x-pax-q+1a，由0

綜上所述，gx

例4已知三次函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，方程f（x）-x=0的三根滿足0

解析由題意，x1，x2，x3為方程f（x）-x=0的三根，構(gòu)建零點(diǎn)式得f（x）-x=x-x1x-x2x-x3，由-ca+b+c=-f（0）[f（1）-1]=x1x2x31-x11-x21-x3，又由0

點(diǎn)評(píng)例3與例4是涉及到二次或三次函數(shù)的根的不等關(guān)系的證明問題，若按常規(guī)采用一般式方程進(jìn)行處理，問題將變得較為復(fù)雜.一般地，一些二次或三次函數(shù)的題目中涉及方程的根時(shí)，常利用其零點(diǎn)式進(jìn)行化歸處理，可大大優(yōu)化解題過程與步驟.

例5（2010年湖北龍泉中學(xué)考試題）已知實(shí)數(shù)a1

a1a2+a1a3+a2a3=b1b2+b1b3+b2b3，且a1b1b2b3；（4）（1-a1）（1-a2）（1-a3）<（1-b1）（1-b2）（1-b3），其中真命題的個(gè)數(shù)為（）.

A.1B.2C.3D.4

解析由三次方程根與系數(shù)關(guān)系，構(gòu)建三次函數(shù)f（x）=x-a1x-a2x-a3=x3-a1+a2+a3x2+

a1a2+a1a3+a2a3x-a1a2a3，a1

b1b2+b1b3+b2b3x-b1b2b3，b1

b1b2+b1b3+b2b3，則函數(shù)g（x）即為函數(shù)f（x）向下作了部分平移而得，如右圖示：

故由圖知（1）（2）顯然正確，且a1a2a30，即（1-a1）（1-a2）（1-a3）>（1-b1）（1-b2）（1-b3），

則（4）不對(duì).故正確的為2個(gè)，選B.

點(diǎn)評(píng)在一些題目中，根據(jù)一元二次方程或一元三次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可構(gòu)造二次函數(shù)或三次函數(shù)零點(diǎn)式，巧妙解決一些數(shù)學(xué)問題，可起到讓人耳目一新的效果.3解決不定方程問題

例6兩個(gè)正整數(shù)的和比積小2015，并且其中一個(gè)是完全平方數(shù)，則較大數(shù)與較小數(shù)的差是.

解析由兩正數(shù)的和與積，聯(lián)想二次函數(shù)零點(diǎn)式，不妨設(shè)此兩正整數(shù)分別為m，n（m>n>0），記f（x）=（x-m）（x-n），依題意，mn-m-n=2015，故f（1）=（1-m）（1-n）=2016=25×7×32，由m，n中有一個(gè)為完全平方數(shù)，則m-1=672，

n-1=3，或m-1=84，

n-1=24，或m-1=288，

n-1=7.故m=673，

n=4，或m=85，

n=25，或m=289，

n=8.所以m-n=669或60或281.

例7已知函數(shù)f（x）=x2+ax-a+2（a∈Z）有兩個(gè)不同的正整數(shù)零點(diǎn)，求整數(shù)a的值.

解析不妨設(shè)此函數(shù)零點(diǎn)為m，n，則f（x）=x-mx-n，則由題意，m+n=-a，mn=2-a，故mn-m-n=2，則f（1）=1-m1-n=3，由m，n為不同的正整數(shù)零點(diǎn)，則m-1=1，

n-1=3，或m-1=3，

n-1=1.

所以兩正整數(shù)只能為2，4，則a=-6.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)涉及兩數(shù)和與積結(jié)構(gòu)時(shí)，可聯(lián)想二次函數(shù)零點(diǎn)式，在解決不定方程問題時(shí)，有時(shí)可使有關(guān)問題的解法變得簡(jiǎn)潔、明快.

零點(diǎn)式的應(yīng)用是相當(dāng)廣泛的，不但二次與三次可利用其零點(diǎn)式解決問題，甚至一次函數(shù)也是如此.如像不等式證明中af（x）可構(gòu)建一次函數(shù)零點(diǎn)式f（t）=t-a，也可用零點(diǎn)視角來研究.當(dāng)然二次函數(shù)與三次函數(shù)零點(diǎn)式的應(yīng)用肯定不止本文中所提到的這些，由于本人知識(shí)水平有限，歡迎同行進(jìn)行交流與補(bǔ)充.作者簡(jiǎn)介黃旭東，1975年6月生，湖北黃石人，中級(jí)職稱.主研方向?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)解題規(guī)律與教學(xué)規(guī)律.發(fā)表文章若干篇.