課堂信息對(duì)學(xué)生思維影響研究

韓倩

曹廣福教授為首屆（2003年）百名國(guó)家級(jí)教學(xué)名師之一，現(xiàn)為廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院院長(zhǎng)，長(zhǎng)期從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)及運(yùn)籌與控制研究工作，在國(guó)內(nèi)外有重要影響的期刊上發(fā)表了大量論文，主持過(guò)國(guó)家自然科學(xué)基金、教育部博士點(diǎn)基金、教育部骨干教師資助計(jì)劃等多項(xiàng)國(guó)家級(jí)與省部級(jí)科學(xué)研究基金項(xiàng)目.并且連續(xù)主持了三屆國(guó)家級(jí)創(chuàng)建名牌課程項(xiàng)目，及省、市級(jí)精品課程建設(shè)項(xiàng)目，主編國(guó)家“十五”、“十一五”規(guī)劃教材，2014年獲得首屆國(guó)家基礎(chǔ)教育教學(xué)成果二等獎(jiǎng).2014年年底，廣州市教育局決定，分別授予廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院院長(zhǎng)曹廣福教授、執(zhí)信中學(xué)何勇校長(zhǎng)為“廣州市教育名家工作室”主持人.高校名教授與中學(xué)特級(jí)教師即可共同開(kāi)展課堂教學(xué)研究，這在全國(guó)尚屬首創(chuàng)，并開(kāi)創(chuàng)了高校與中學(xué)教研緊密結(jié)合的先例.曹先生受邀參加廣州執(zhí)信中學(xué)同課異構(gòu)的交流活動(dòng)，就高中數(shù)學(xué)“基本不等式”進(jìn)行了課例的示范，深受大家的好評(píng).培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，是當(dāng)代教育改革的核心問(wèn)題之一，而將思維學(xué)、信息論與數(shù)學(xué)教育結(jié)合起來(lái)的研究卻少之又少.徐利治先生曾開(kāi)展數(shù)學(xué)教育研究要重視跨學(xué)科研究[1].曹先生“基本不等式”的課例，彰顯了思維與信息的關(guān)系定理的內(nèi)涵.本文簡(jiǎn)介思維與信息的三個(gè)相關(guān)定理，并分析這些定理在曹先生“基本不等式”教學(xué)中的體現(xiàn)與運(yùn)用效果.1信息的概念與三個(gè)基本定理

所謂信息，是指可獲得某種事物認(rèn)識(shí)的內(nèi)容.田運(yùn)先生根據(jù)信息結(jié)構(gòu)劃分，將信息分為飽和信息、含熵信息、空殼信息、黑洞信息[2].發(fā)出的信息中攜載了信源含有的全部信息量則稱(chēng)為飽和信息，而含熵信息則是不飽和信息，空殼信息是沒(méi)有熵也沒(méi)有信息量的信息，黑洞信息則是全是熵、但沒(méi)有信息量的信息[3].

思維信息論有三個(gè)基礎(chǔ)性定理，簡(jiǎn)單的說(shuō)，思維與信息相關(guān)第一定理可以表述為：在意識(shí)對(duì)信息的消化作用大于意識(shí)對(duì)信息的抑制作用的條件下，思維的過(guò)程狀態(tài)完全取決于可觸信息的信息量和起作用的方向；思維與信息相關(guān)第二定理表述為：解釋的性質(zhì)取決于解含信息與信息度（適合的信息內(nèi)容與適合的信息數(shù)量）的符合程度（或偏離程度）；思維與信息的第三定理表述為：主體的思維性質(zhì)取決于收受信息具有何種結(jié)構(gòu)[4].2《基本不等式》關(guān)于三個(gè)定理的體現(xiàn)

2.1思維與信息相關(guān)第一定理的體現(xiàn)

世界上存在著數(shù)以萬(wàn)計(jì)的信息，其中對(duì)思維主體能夠發(fā)生作用的只有一小部分，若教師在課堂中不能以語(yǔ)言或行動(dòng)引起學(xué)生注意，學(xué)生意識(shí)就會(huì)起到抑制信息作用，從而不能引起學(xué)生的思維認(rèn)知過(guò)程，教學(xué)效果則會(huì)大打折扣.而在曹廣福教授的這一課中，課堂開(kāi)始時(shí)他說(shuō)道：

“很高興能有這個(gè)機(jī)會(huì)給大家上一節(jié)課，不過(guò)說(shuō)心里話，我站在這個(gè)講臺(tái)上心里是十分忐忑不安的，并不是說(shuō)在座有很多老師我感到緊張，反正我這人臉皮本身比較厚，不會(huì)因?yàn)檫@個(gè)緊張.我緊張有兩個(gè)原因，一個(gè)是我們?cè)谧耐瑢W(xué)都是這個(gè)年級(jí)最優(yōu)秀的同學(xué)，第二個(gè)呢，我已經(jīng)差不多30年沒(méi)站在中學(xué)的課堂上，心里很沒(méi)譜，所以需要同學(xué)們給我信心，我們大家一起來(lái)共同探討好這節(jié)課.”

這樣的開(kāi)白場(chǎng)，曹教授把自己放在了一個(gè)十分謙虛的位置，給學(xué)生以下幾點(diǎn)信息：第一，老師是非常緊張的，以引起學(xué)生注意；第二，同學(xué)們都是很優(yōu)秀的，以增強(qiáng)學(xué)生的自信心；第三，老師需要同學(xué)來(lái)給以信心，以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的重視度，提升聽(tīng)課效率.“共同探討”一詞更是謙虛地把學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情帶動(dòng)起來(lái).以上信息都旨在提升學(xué)生對(duì)本節(jié)課的關(guān)注，使學(xué)生將意識(shí)集中到課堂學(xué)習(xí)中來(lái)，從而使后期的知識(shí)信息能盡可能多的成為可觸且易消化的信息.這同思維與信息相關(guān)第一定理表述的是一致的.只有盡可能多的給予學(xué)生可觸信息，才能使學(xué)生意識(shí)具有消化作用，激發(fā)起學(xué)生對(duì)于課堂新知的學(xué)習(xí)興趣.

“我今天要和大家一起探討的問(wèn)題是‘基本不等式.大家已經(jīng)學(xué)過(guò)很多不等式了，我相信大家一定很清楚，不等式用來(lái)干什么？除了用來(lái)考試，它還能干什么？（停頓）一個(gè)是用來(lái)比較，還有一個(gè)是用來(lái)估計(jì).我們知道一個(gè)函數(shù)通常是在一個(gè)范圍內(nèi)變化的，隨著自變量發(fā)生變化，函數(shù)值也會(huì)跟著發(fā)生變化，就是說(shuō)在這范圍內(nèi)它會(huì)出現(xiàn)很多的量，在各種不同量的比較中，有兩個(gè)量是比較特殊的，大家知不知道是哪兩個(gè)量？”

曹老師用了一分鐘的時(shí)間回顧了不等式所學(xué)過(guò)的應(yīng)用范疇，提出了一個(gè)問(wèn)題，通過(guò)更具體的提問(wèn)引導(dǎo)讓學(xué)生回答出我們研究不等式是解決最大值和最小值問(wèn)題，而對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的思考，同樣也是用了一分鐘的時(shí)間.當(dāng)然這兩個(gè)一分鐘所要表達(dá)信息的重要程度以及學(xué)生所獲得的信息類(lèi)型是截然不同的，前一分鐘的信息為飽和信息，而后一分鐘信息會(huì)造成學(xué)生的認(rèn)知沖突，是含熵信息，更容易引起學(xué)生意識(shí)的消化作用.

為了達(dá)到教學(xué)目的，教師首先必須想方設(shè)法使自己的教學(xué)能夠最大限度地吸引學(xué)生[5].通過(guò)曹老師課堂的開(kāi)場(chǎng)白我們了解到，適當(dāng)?shù)奶釂?wèn)、停頓、自答都可以給予學(xué)生一定的可觸信息，引起其意識(shí)的消化作用，特別要抓住學(xué)生心理，將其吸引到課堂中來(lái)，才能使本節(jié)課的學(xué)習(xí)更為高效，比如精彩幽默的語(yǔ)言，揮灑自如的教態(tài)，得體的儀表，親切的話語(yǔ)，熱情的鼓勵(lì)，信任的目光等.

2.2思維與信息相關(guān)的第二定理的體現(xiàn)

人總是通過(guò)自己頭腦中的某種思想框架來(lái)消化信息的，解釋就是一定的思想框架對(duì)一定的信息的消化結(jié)果[6].所以在教學(xué)過(guò)程中，即使適當(dāng)引入了情境及問(wèn)題串啟發(fā)學(xué)生，也是需要教師對(duì)所提出的情境及問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)解釋.

在曹教授的課堂中，關(guān)于函數(shù)中兩個(gè)最重要的量是最值這一問(wèn)題，曹教授解釋道：“最大值最小值問(wèn)題大家在前面其實(shí)已經(jīng)碰到過(guò)，再講二次函數(shù)的時(shí)候肯定碰到過(guò)，對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行配方，在配方之后，這個(gè)完全平方是非負(fù)的，甚至是一個(gè)正的，所以把它給省掉，這樣就可以把自變量給消失掉，最后解得到一個(gè)常數(shù)，在驗(yàn)證這個(gè)常數(shù)能不能得到.但實(shí)際上最大值最小值問(wèn)題，它所出現(xiàn)的函數(shù)類(lèi)型是各種各樣的，不一定僅僅是二次函數(shù)，實(shí)際上最大值最小值問(wèn)題，從古希臘到今天已有一千二百年歷史，一直是數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要的問(wèn)題，它也是自然科學(xué)非常重要的問(wèn)題.實(shí)際上數(shù)學(xué)就是自然界中一種抽象的印象，所以很多自然科學(xué)中的問(wèn)題和數(shù)學(xué)是平行的，把它抽象出來(lái)就變成數(shù)學(xué)問(wèn)題了，在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，有一門(mén)學(xué)科堪稱(chēng)最偉大的發(fā)明創(chuàng)造，叫微積分，而促使微積分產(chǎn)生并促使它發(fā)展的一個(gè)很重要的問(wèn)題，就是最值問(wèn)題.由此可見(jiàn)最大值最小值問(wèn)題在我們的自然科學(xué)以及我們的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，他充當(dāng)了一個(gè)多么重要的角色.”

較長(zhǎng)的一段解釋?zhuān)荚谡f(shuō)明函數(shù)最值的重要性，也說(shuō)明了不等式問(wèn)題應(yīng)結(jié)合函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.我們應(yīng)如何去界定這個(gè)解釋是否適合，并沒(méi)有一個(gè)定論，不同的對(duì)象、不同的解釋有不同的信息數(shù)量.思維與信息的第二定理告訴我們，解釋的性質(zhì)取決于解含信息數(shù)量與信息度的符合程度（或偏離程度）.在曹教授的上述解釋中以微積分的發(fā)明創(chuàng)造指出不等式的重要地位，引起學(xué)生對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的積極性，可見(jiàn)上述解釋是適合的.

在將不等式問(wèn)題歸為函數(shù)的最值問(wèn)題之后，曹教授給出如下的情境信息：

思考1你家建別墅時(shí)還剩下些材料，你打算使用這些剩余材料在別墅旁邊依著墻壁修一個(gè)高度一定的矩形狗窩，若你剩余的材料可以修一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的圍墻，請(qǐng)問(wèn)如何修建可以獲得最大面積的狗窩？

該問(wèn)題實(shí)質(zhì)為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，我們?cè)O(shè)面積為，狗窩與別墅墻壁平行的那一側(cè)長(zhǎng)為x，則有

=x（L-x）2=12（xL-x2）=12[-（x-L2）2+L24]≤L28.

對(duì)于二次函數(shù)的最值問(wèn)題，我們可以通過(guò)配方法進(jìn)行伸縮變換.這是學(xué)生已知的情境及解決方法，此時(shí)曹教授提問(wèn)道，對(duì)于不是二次的問(wèn)題，又要如何解決.而對(duì)于新課的引入，曹教授并未更改情境，同樣的情境下，只是反過(guò)來(lái)問(wèn).

思考2你家建別墅的材料用完了，沒(méi)有準(zhǔn)備好修建狗窩的材料，現(xiàn)在你計(jì)劃依著墻壁修建一個(gè)面積為的矩形狗窩，你已選中建狗窩的材料，狗窩的高度也確定了，如何以最小的成本建成這樣的狗窩？

情境未變，只是把已知和求解反過(guò)來(lái)，就化成了新課要解決的問(wèn)題.設(shè)狗窩與別墅墻壁平行的那一側(cè)長(zhǎng)為x，周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則L=x+2x，該式不是二次函數(shù)，求該式的最值啟發(fā)學(xué)生同思考1中信息結(jié)合起來(lái)，從而學(xué)生想到可以把x（x>0）寫(xiě)成x2的形式，進(jìn)而應(yīng)用二次函數(shù)配方法求最值解決，這樣學(xué)生便主動(dòng)找出新問(wèn)題的解決辦法，鍛煉了思維能力.

其中更值得注意的是，對(duì)于思考2中的式子，是由某學(xué)生上臺(tái)板書(shū)出來(lái)的，其通過(guò)思考1中的信息，自己找到了解決基本不等式的方法.這就是曹教授成功之處，他像是一位向?qū)Щ騾f(xié)助者，通過(guò)思考1及對(duì)函數(shù)最值信息的解釋?zhuān)龑?dǎo)啟發(fā)學(xué)生思維.對(duì)于上臺(tái)板書(shū)的同學(xué)獲得的信息是含熵信息，使得她研究后續(xù)問(wèn)題時(shí)能夠主動(dòng)聯(lián)想到已有信息，從得獲得正確的探究問(wèn)題的思路.而后，曹教授對(duì)學(xué)生板書(shū)的式子進(jìn)行了解釋和修正，這里解釋信息以使全班同學(xué)對(duì)于基本不等式的提出都能清楚明了，當(dāng)然是合理且必要的.

2.3思維與信息相關(guān)第三定理的體現(xiàn)

該課例思考1中信息為飽和信息，關(guān)于思考1的不確定性已在思維中全部消除，思考2則是給予學(xué)生含熵信息，學(xué)生必然努力去尋求更多的信息以消除不確定性，通過(guò)對(duì)思考1中信息的再思考，想到配方法求最值問(wèn)題，自己找到解決新問(wèn)題的方法.而后追隨學(xué)生的思路，曹教授給出

a+b=a2+b2±2ab2ab=（a±b）22ab

配成完全平方式之后，平方部分是大于等于零的，于是該式大于等于平方后面部分，這時(shí)再看學(xué)生板書(shū)的式子，大于等于一個(gè)負(fù)數(shù)對(duì)于我們的研究是沒(méi)有意義的，所以得到基本不等式為

a+b=（a-b）2+2ab≥2ab

在已知了基本不等式之后，曹教授并沒(méi)有立刻給出練習(xí)，而是對(duì)基本不等式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析：

“這個(gè)不等式看起來(lái)并不難，剛才我們用配方法證明了它的正確性，但其實(shí)呢，數(shù)學(xué)中代數(shù)與幾何是相通的，通常我們會(huì)把幾何問(wèn)題代數(shù)化（如解三角形），同樣也可以將代數(shù)問(wèn)題幾何化，那么同學(xué)們課下可以運(yùn)用幾何的方法將這個(gè)基本不等式進(jìn)行證明一下（教師指導(dǎo)了思路）.接下來(lái)我們來(lái)分析一下這個(gè)基本不等式變形的結(jié)構(gòu)a+b2≥ab（a>0，b>0），它反映了什么關(guān)系？”

學(xué)生沉默，曹教授引導(dǎo)：

“大家應(yīng)該對(duì)不等式前面的a+b2不陌生，很容易在生活中找到這樣的例子.”學(xué)生輕聲說(shuō)道“平均數(shù).”“對(duì)，就是算術(shù)平均，它是一個(gè)集中量數(shù)（比如考試成績(jī)的平均分），ab呢？我們稱(chēng)之為幾何平均，幾何平均通常用在比率以及平均增長(zhǎng)速度中，（教師舉例子求GDP的平均增長(zhǎng)速度）.所以這一個(gè)簡(jiǎn)單的不等式它溝通了兩個(gè)正因子的和與積的不等關(guān)系，將積與和之間架起了橋梁，方便了我們的估計(jì)運(yùn)算.既然兩者之間可以相互轉(zhuǎn)化，那么同學(xué)們可以對(duì)第一個(gè)問(wèn)題=xy=x（L-x）2試著將積化為和看能不能求出最值.”接著教師總結(jié)“所以當(dāng)我們?cè)儆龅椒e與和的形式的問(wèn)題時(shí)，我們就可以通過(guò)基本不等式將兩者進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，目的是為了做估計(jì)或者是求最值問(wèn)題，這就是這個(gè)基本不等式的最大用途.”

基本不等式結(jié)構(gòu)的分析，學(xué)生對(duì)基本不等式的理解更加深刻，并對(duì)它的用途及方法更加清楚明了.從以上教學(xué)過(guò)程中可以看出，課堂中信息的作用是滲透到教學(xué)的每一個(gè)細(xì)小環(huán)節(jié)的，教師給予學(xué)生不同的信息結(jié)構(gòu)，會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生不同性質(zhì)的思維，這同思維與信息相關(guān)第三定理是吻合的.一堂高質(zhì)量的數(shù)學(xué)課，不僅是知識(shí)的傳授，更要盡可能地啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，這就要求教師在不同的授課階段給予學(xué)生不同的信息，新知識(shí)的講授不僅僅是定義、定理、公式的累積，而應(yīng)使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程中產(chǎn)生與已有知識(shí)信息的認(rèn)知沖突，激發(fā)其探索精神，主動(dòng)尋求信息以消除不確定性，從而思維得到訓(xùn)練，知識(shí)得到擴(kuò)展，更對(duì)知識(shí)的本質(zhì)加深理解.3小結(jié)

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)[7]，高效的數(shù)學(xué)教學(xué)是在活躍的思維中積極主動(dòng)的數(shù)學(xué)知識(shí)生成，是在獨(dú)立思考基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，形成與貫穿理性質(zhì)疑、批判性思維和探究創(chuàng)新性的活動(dòng)過(guò)程[8]，教師課堂信息對(duì)學(xué)生思維活動(dòng)起著至關(guān)重要的作用.首先教師所提供信息應(yīng)使學(xué)生將意識(shí)集中到課堂學(xué)習(xí)中來(lái)，從而使后期的知識(shí)信息能盡可能多的成為可觸且易消化的信息；新課的引入方式不拘一格，其目的都是對(duì)新課的引導(dǎo)和推進(jìn)；進(jìn)而課堂中適當(dāng)?shù)奶釂?wèn)、探究及討論，都是可以使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突的含熵信息，使學(xué)生努力去尋求知識(shí)或通過(guò)已知消除未知，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考；課堂中的教學(xué)過(guò)程應(yīng)符合人類(lèi)的認(rèn)識(shí)規(guī)律，才能使學(xué)生在活躍的思維中積極主動(dòng)的生成數(shù)學(xué)知識(shí).總之，思維與信息是相關(guān)的，遵循信息與思維的相關(guān)定理，在任何的教學(xué)模式下都是激發(fā)學(xué)生思維的重要途徑.

參考文獻(xiàn)

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