“圓”中的最值問(wèn)題

許秋

近年來(lái)，以圓為載體的最值問(wèn)題頻頻出現(xiàn)，這類問(wèn)題往往知識(shí)面廣、綜合性大、應(yīng)用性強(qiáng)，而且情境新穎，能很好地考查同學(xué)們的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì)，因此也成為學(xué)習(xí)圓的難點(diǎn)之一. 本文按知識(shí)點(diǎn)分四大類，以部分中考題為例，歸納總結(jié)此類試題的解題方法.

一、 利用“直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短”求最值

例1 （2012·浙江寧波）如圖1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長(zhǎng)度的最小值為________.

【解析】如圖2，連接OE，OF，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥EF于點(diǎn)H.由圓周角定理可知：∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，由三角函數(shù)可求得EH=OE·sin∠EOH=OE. 再由垂徑定理可知：EF=2EH=OE=AD，所以當(dāng)AD最小時(shí)EF最小.由垂線段最短可知：當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短.因?yàn)锳B=2，∠ABC=45°，所以AD=BD=2，代入EF與AD的關(guān)系式即可求出EF的最小值為.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道融圓周角定理、垂徑定理、解直角三角形、動(dòng)點(diǎn)于一體的綜合應(yīng)用題.根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化，將兩動(dòng)點(diǎn)之間的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的最小值，找出EF與直徑AD的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

二、 利用“切線的性質(zhì)”求最值

例2 （2011·浙江臺(tái)州）如圖3，⊙O的半徑為2，點(diǎn)O到直線l的距離為3，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ切⊙O于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為________.

【解析】因?yàn)镻Q為切線，所以△OPQ是直角三角形，所以PQ=.又因?yàn)镺Q為定值，所以當(dāng)OP最小時(shí)，PQ最小.根據(jù)垂線段最短知：OP=3時(shí)，PQ最小，根據(jù)勾股定理可求出PQ的最小值為.

【點(diǎn)評(píng)】切線的性質(zhì)和垂線段最短是解決本題的關(guān)鍵.

例3 （2010·江蘇蘇州）如圖4，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標(biāo)為（-1，0），半徑為1. 若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值是（ ）.

A. 2 B. 1

C. 2- D. 2-

【解析】如圖5，根據(jù)三角形的面積公式知，△ABE底邊BE上的高AO不變，BE越小，則面積越小，可以判斷當(dāng)AD與⊙C上面半圓相切時(shí)，BE的值最小.根據(jù)勾股定理求出AD的值為2，然后根據(jù)△AOE與△ADC相似求出OE的長(zhǎng)為，所以BE最小值為2-，代入三角形的面積公式可得2-，故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OE的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

三、 利用“軸對(duì)稱”求最值

例4 （2014·貴州安順）如圖6，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn). 點(diǎn)P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為（ ）.

A. B. 1

C. 2 D. 2

【解析】如圖7，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接OA、OB、OB′、AB′，則AB′與MN的交點(diǎn)即為PA+PB最小時(shí)的點(diǎn)，PA+PB的最小值為AB′，由圓周角定理可知∠AON=2∠AMN=2×30°=60°.因?yàn)辄c(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn)，所以∠BON=∠AON=30°.由對(duì)稱性得∠B′ON=∠BON=30°，所以∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°，所以AB′=OA=，即PA+PB的最小值為.故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題、垂徑定理、圓周角定理，熟記定理并做出圖形，判斷出PA+PB的最小值等于哪條線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

四、 利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最值

例5 （2014·福建三明）如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).連接AP，則AP的最小值是________.

【解析】如圖9，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，交半圓于點(diǎn)P2，在半圓上取點(diǎn)P1，連接AP1，EP1，可得，AP1+EP1>AE，即AP2是AP的最小值.再根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)為，然后減掉半徑可得AP的最小值為-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、最短路徑問(wèn)題，兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵.

例6 如圖10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），沿DE翻折△DBE使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接AF，則線段AF長(zhǎng)的最小值是________.

【解析】本題看似折疊的題目，好像與圓沒(méi)有關(guān)系，實(shí)則是例5的拓展，因?yàn)樵谡郫B的過(guò)程中，點(diǎn)D始終是定點(diǎn)，DF始終是定長(zhǎng)，所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路線為圓.如圖11，連接AD交圓D于點(diǎn)F1，則AF1 的長(zhǎng)度即為AF的最小值，利用勾股定理可求得AD=5，所以AF1=5-3=2，即線段AF長(zhǎng)的最小值為2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了轉(zhuǎn)化的思想、勾股定理、最短路徑問(wèn)題，折疊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓中最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

以圓為載體的最值問(wèn)題多以“小而精”的形式在中考選擇、填空的壓軸題頻繁出現(xiàn).所以，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，要多注意練習(xí)、總結(jié)這類題型的解題方法，輕松面對(duì)圓中的最值問(wèn)題.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）