揭開“圓”的神秘面紗

吳菊芬

圓是一種特殊的曲線圖形，也是常見的幾何圖形之一，在我們生活中到處都有圓的身影，它對(duì)我們的影響非常深遠(yuǎn).古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)說過：“在一切平面圖形中，圓是最美的！”有了圓，我們的世界才變得多姿多彩.那么“圓”為什么被人們看成是最完美的圖形呢？下面我們就來揭開它神秘的面紗吧！

古代人的生活對(duì)大自然的依賴是很強(qiáng)的，“日出而作，日落而息”，太陽(yáng)和月亮就成了古人表達(dá)崇敬和信仰的對(duì)象. 有人從太陽(yáng)和陰歷十五的月亮得到了關(guān)于圓的概念.考古人員發(fā)現(xiàn)十幾萬年前的古人就會(huì)制作相當(dāng)圓的石球了；科學(xué)家還推算出一萬八千年前的山頂洞人會(huì)用一種尖狀器在獸牙、礫石和石珠上鉆很圓的孔了（如圖1）.從此圓開始進(jìn)入了人類的生活.

中國(guó)作為四大文明古國(guó)之一，為人類社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)，其中陶瓷的發(fā)明和發(fā)展更具有獨(dú)特的意義.考古發(fā)現(xiàn)中國(guó)人早在新石器時(shí)代（約公元前8000～2000年）就發(fā)明了陶器（如圖2）.為了提高生活質(zhì)量，陶器成了生活的必需品，圓形的陶器最受人們的歡迎，這是為什么呢？原來“圓”比其他形狀更加牢固，且容積相對(duì)較大、制作簡(jiǎn)單.那么圓形的陶器又是如何制作的呢？古人發(fā)現(xiàn)只需將黏土放在一個(gè)轉(zhuǎn)盤上不停地旋轉(zhuǎn)，同時(shí)不停地用手捏制即可成形，最后經(jīng)燒制而成.

中國(guó)是世界上最大的紡織品服裝生產(chǎn)和出口國(guó).紡錘是紡織業(yè)里的一種生產(chǎn)工具，人們織布需要紡線，而紡線就需要紡錘（如圖3），古人制出的石紡錘或陶紡錘都是圓形的，紡錘的發(fā)明為紡織產(chǎn)業(yè)的興起奠定了基礎(chǔ).

圓在建筑業(yè)的運(yùn)用也比較廣泛，觀察我們周圍，你肯定會(huì)發(fā)現(xiàn)許多圓形的建筑物（如圖4）.早在6000年前，西安的半坡人就學(xué)會(huì)了建造圓形的房子，面積有十多平方米呢！那么建筑物為什么選擇圓形呢？首先，圓形建筑在外觀上別具一格，給人視覺上一種享受，從建筑學(xué)的角度來說，圓形的建筑物更有利于減小風(fēng)的阻力，從而減小了高樓風(fēng)形成的概率，即使形成高樓風(fēng)，一般強(qiáng)度也要比普通建筑物小很多.另外，圓形建筑物在傳熱學(xué)上講，更能節(jié)省能源，因?yàn)閳A形是放熱最少的形狀，保溫杯做成圓形就是這個(gè)道理，天氣很冷的時(shí)候貓科動(dòng)物（比如貓和老虎）都喜歡將自己的身體蜷縮起來也是這個(gè)道理.另外，從建筑學(xué)上考慮，圓形建筑物的地基也更穩(wěn)固.

圓在運(yùn)輸業(yè)也有舉足輕重的作用呢！古代的運(yùn)輸可不像我們現(xiàn)在這么發(fā)達(dá)，起初人們發(fā)現(xiàn)圓的木頭滾著走比較省勁（如圖5），后來他們?cè)诎徇\(yùn)重物的時(shí)候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走，這樣當(dāng)然比扛著走省勁得多.但是圓木在滾動(dòng)的過程中不是固定在重物下面的，因此走一段還得把滾出來的圓木重新放到重物前面去墊著，以此類推.這種運(yùn)輸方式在平地上還是挺受用的呢，只不過要不停地搬圓木，但在今天看來也并不輕松.

大約在6000年前，美索不達(dá)米亞人，做出了世界上第一個(gè)輪子——圓的木盤，這對(duì)車子的發(fā)明及使用具有開創(chuàng)性的意義.大約在4000多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，就成了最初的車子（如圖6）.因?yàn)檩喿拥膱A心是固定在一根軸上的，而圓心到圓周總是等長(zhǎng)的，所以只要道路平坦，車子就能平穩(wěn)地在路上前進(jìn)了.可以想象“圓”對(duì)運(yùn)輸業(yè)的發(fā)展有多么重要了！“圓”對(duì)人們的生活產(chǎn)生了巨大的影響，這也促使大家展開了對(duì)“圓”的研究.

首先就是如何畫一個(gè)圓？一個(gè)釘子、一根繩子、一支筆，把釘子釘在一個(gè)平面上，用繩子把筆和釘子連在一起，拉直繩子用筆繞著釘子畫就行.古代，規(guī)是畫圓的工具.“規(guī)”創(chuàng)造于什么年代，已不可考.漢代武梁祠壁畫有兩幅伏羲手執(zhí)矩、女媧手執(zhí)規(guī)的圖（如圖7）.伏羲、女媧是神話中人類的始祖，由此說明規(guī)的起源非常早.

據(jù)說著名的畫家達(dá)·芬奇不僅畫藝超群，同時(shí)還是一個(gè)數(shù)學(xué)家、發(fā)明家.他曾經(jīng)設(shè)計(jì)過一種圓規(guī)如圖8所示，有兩個(gè)互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計(jì)），一根沒有彈性的木棒的兩端A、B能在滑槽內(nèi)自由滑動(dòng)，將筆插入位于木棒中點(diǎn)P處的小孔中，隨著木棒的滑動(dòng)就可以畫出一個(gè)圓來.

那么圓究竟如何定義呢？?jī)汕Ф嗄昵拔覈?guó)的墨子給圓下了一個(gè)定義：“一中同長(zhǎng)也.”意思是說：圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等.這個(gè)定義比古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下定義還要早100年呢！圓是一個(gè)很簡(jiǎn)單又很復(fù)雜的圖形，自從認(rèn)識(shí)了圓，人們就展開了對(duì)圓的進(jìn)一步的研究，比如圓的周長(zhǎng)與面積.而要研究圓的周長(zhǎng)和面積，就不得不提到一個(gè)奇特的數(shù)——圓周率.德國(guó)數(shù)學(xué)史家康托說：“歷史上一個(gè)國(guó)家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度，可以作為衡量這個(gè)國(guó)家當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展水平的指標(biāo).”直到19世紀(jì)初，求圓周率的值應(yīng)該說是數(shù)學(xué)中的頭號(hào)難題.

對(duì)于古人而言，要準(zhǔn)確地量出一個(gè)圓的圓周長(zhǎng)，是非常困難的事情.但我們的祖先很早就發(fā)現(xiàn)了一件奇妙的事，就是每一個(gè)圓的圓周長(zhǎng)大約是直徑的三倍，他們把這個(gè)“大約三倍”叫作“圓周率”（即π），為了計(jì)算方便，在計(jì)算時(shí)我們可以把圓周率當(dāng)成3來算. 無論是大圓還是小圓，每個(gè)圓的圓周長(zhǎng)都大概是直徑長(zhǎng)的三倍，而且這個(gè)結(jié)論對(duì)所有的圓都成立的，古人長(zhǎng)期使用圓周率等于3這個(gè)數(shù)值.在《周髀算經(jīng)》中就記載有圓“周三徑一”這一結(jié)論，但它僅僅是一個(gè)近似值.為求得圓周率的值，人類走過了漫長(zhǎng)而曲折的道路，它的歷史是饒有趣味的.但這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題，一直到今天都沒有解答完.

古人在計(jì)算“圓周長(zhǎng) ÷直徑長(zhǎng)”時(shí)，并不是真的去量某一個(gè)圓的直徑和圓周長(zhǎng)，而是按圖9的方式算出圓周長(zhǎng).古人首先在圓里面畫一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形，由圖你可以發(fā)現(xiàn)，多邊形的邊數(shù)愈多，畫出來的多邊形愈接近圓形，古人便是利用這種方法，準(zhǔn)確地以數(shù)學(xué)方法算出多邊形的周長(zhǎng)，然后再與直徑相除得到圓周率的.

第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人便是阿基米德，他在《圓的度量》（公元前3世紀(jì)）中從正六邊形開始，逐次加倍計(jì)算到正96邊形，開創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法（亦稱古典方法，或阿基米德方法），得出精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的π值.另外，他還求出了圓的面積公式S=πr2，這是世界史上的重大發(fā)現(xiàn).

魏晉時(shí)期的劉徽于公元263年給《九章算術(shù)》作注時(shí)發(fā)現(xiàn)，“周三徑一”只是圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)和直徑的比值.于是他創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，認(rèn)為圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時(shí)，周長(zhǎng)就越逼近圓周長(zhǎng).他用圓內(nèi)接正3 072邊形算出圓周率π==3.141 6. 劉徽已經(jīng)把“極限”的概念運(yùn)用于解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題之中，這在世界數(shù)學(xué)史上也是一項(xiàng)重大的成就.

依照這種方法，公元5世紀(jì)時(shí)中國(guó)人祖沖之以圓內(nèi)接24 576邊形計(jì)算出圓周率在3.141 592 6與3.141 592 7之間.這個(gè)圓周率是當(dāng)時(shí)全世界最準(zhǔn)的圓周率，在歐洲，直到1000年后的16世紀(jì)，德國(guó)人鄂圖和安托尼茲才得到這個(gè)數(shù)值.

而這個(gè)紀(jì)錄，一直到1000年以后，才被法國(guó)的律師兼業(yè)余數(shù)學(xué)家韋達(dá)所打破.韋達(dá)用阿基米德的方法，算出3.141 592 653 5<π<3.141 592 653 7；后來德國(guó)數(shù)學(xué)家柯倫于1596年將π值算到20位小數(shù)值，后投入畢生精力，于1610年以邊數(shù)多過32 000 000 000的多邊形算出有35個(gè)小數(shù)位的圓周率，該數(shù)值被用他的名字稱為魯?shù)婪驍?shù).

到1948年英國(guó)的弗格森和美國(guó)的倫奇共同發(fā)表了π的808位小數(shù)值，成為人工計(jì)算圓周率值的最高紀(jì)錄.

當(dāng)然之后由于電腦的發(fā)明，人類得以在計(jì)算上求得速度和準(zhǔn)確度的突破.2010年8月30日，日本計(jì)算機(jī)奇才近藤茂利用家用計(jì)算機(jī)和云計(jì)算相結(jié)合，計(jì)算出圓周率到小數(shù)點(diǎn)后5萬億位.但是即使電腦再?gòu)?qiáng)大，圓周率仍然是一個(gè)連電腦也算不完的無窮小數(shù)，因?yàn)樵缬锌茖W(xué)家證明圓周率是一個(gè)無理數(shù).

既然如此，為什么要繼續(xù)計(jì)算π呢？其實(shí)，用這個(gè)方法就可以測(cè)試出電腦的毛病.如果電腦在計(jì)算π中得出的數(shù)值出了錯(cuò)，這就表示電腦出了故障.同時(shí)，用電腦計(jì)算圓周率也能使科技得到進(jìn)步，從而改善人類的生活.據(jù)說微積分、高等三角恒等式，也是在研究圓周率過程中得到的結(jié)論呢！

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）