數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度考點(diǎn)風(fēng)向標(biāo)

夏冬平

數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度的中考考點(diǎn)有哪些？夏老師給大家做了總結(jié)，請(qǐng)看下文.

考點(diǎn)一 求平均數(shù)

例1 （2015·江蘇無錫）某種蔬菜按品質(zhì)分成三個(gè)等級(jí)銷售，銷售情況如下表：

則售出蔬菜的平均單價(jià)為________元/千克.

【解析】用加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算：售出蔬菜的平均單價(jià)為=4.4（元/千克）.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)平均數(shù)的定義，這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)可以表示為=，這樣求得的平均數(shù)叫作加權(quán)平均數(shù)，其中w1，w2，…，wk叫作權(quán)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)時(shí)，常用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算平均數(shù).

考點(diǎn)二 求中位數(shù)和眾數(shù)

例2 （2015·廣東梅州）在“全民讀書月”活動(dòng)中，小明調(diào)查了班級(jí)里40名同學(xué)本學(xué)期計(jì)劃購(gòu)買課外書的花費(fèi)情況，并將結(jié)果繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

（1） 這次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_______；

（2） 這次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_______；

（3） 若該校共有學(xué)生1 000人，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)本學(xué)期計(jì)劃購(gòu)買課外書花費(fèi)50元的學(xué)生有_______人.

【解析】（1） 眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，觀察統(tǒng)計(jì)圖可知，數(shù)據(jù)30出現(xiàn)的次數(shù)最多，達(dá)12次，因此，樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是30.

（2） 班級(jí)共有40名同學(xué)，將40個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，第20、21個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，由圖可知，第20、21個(gè)數(shù)據(jù)均是50，因此，樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為50.

（3） 算出樣本數(shù)據(jù)中本學(xué)期計(jì)劃購(gòu)買課外書花費(fèi)50元的學(xué)生所占總?cè)藬?shù)的百分比，再乘1 000即可.

∴估計(jì)本學(xué)期計(jì)劃購(gòu)買課外書花費(fèi)50元的學(xué)生有：1 000×=250（人）.故答案是250.

【點(diǎn)評(píng)】將給出的一組數(shù)據(jù)從小到大（或由大到?。┡帕校缓蟾鶕?jù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的奇偶性來確定中位數(shù)，根據(jù)這組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)的多少確定眾數(shù)，最后一步體現(xiàn)了用樣本估計(jì)總體的思想.

考點(diǎn)三 方差

例3 （2014·四川遂寧）我市射擊隊(duì)為了從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員中選出一名運(yùn)動(dòng)員參加省運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽，組織了選拔測(cè)試，兩人分別進(jìn)行了五次射擊，成績(jī)（單位：環(huán)）如下：

則應(yīng)選派_______運(yùn)動(dòng)員參加省運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽.

【解析】先分別計(jì)算出甲和乙的平均數(shù)，再利用方差公式求出甲和乙的方差，最后根據(jù)方差的大小進(jìn)行判斷即可.

甲的平均數(shù)是：（10+9+8+9+9）=9，

乙的平均數(shù)是：（10+8+9+8+10）=9，

甲的方差是：s2 甲=[（10-9）2+（9-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（9-9）2]=0.4，

乙的方差是：s2 乙=[（10-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（8-9）2+（10-9）2]=0.8.

∵s2 甲

∴應(yīng)選擇甲運(yùn)動(dòng)員參加省運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽.故答案為“甲”.

【點(diǎn)評(píng)】方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

考點(diǎn)四 “三數(shù)與方差”的綜合應(yīng)用

例4 （2015·吉林）要從甲、乙兩名同學(xué)中選出一名，代表班級(jí)參加射擊比賽，如圖是兩人最近10次射擊訓(xùn)練成績(jī)的折線統(tǒng)計(jì)圖.

（1） 已求得甲的平均成績(jī)?yōu)?環(huán)，求乙的平均成績(jī)；

（2） 觀察圖形，直接寫出甲、乙這10次射擊成績(jī)的方差s2 甲，s2 乙哪個(gè)大；

（3） 如果其他班級(jí)參賽選手的射擊成績(jī)都在7環(huán)左右，本班應(yīng)該選_______參賽更適合；如果其他班級(jí)參賽選手的射擊成績(jī)都在9環(huán)左右，本班應(yīng)該選_______參賽更適合.

【解析】（1） 從折線統(tǒng)計(jì)圖中得出乙10次射擊成績(jī)，根據(jù)平均數(shù)公式求得乙的平均成績(jī)，

∴乙的平均成績(jī)?yōu)椋?/p>

乙==8（環(huán)）；

（2） 觀察圖形，顯然甲的波動(dòng)性大，乙的波動(dòng)性小，所以s2 甲>s2 乙；

（3） 因?yàn)榧住⒁业纳鋼羝骄煽?jī)均高于7環(huán)，且乙的方差小，成績(jī)比較穩(wěn)定，因此選乙參賽比較適合；如果其他班級(jí)參賽選手的射擊成績(jī)都在9環(huán)左右，而乙的最好成績(jī)?yōu)?環(huán)，甲有兩次成績(jī)?yōu)?0環(huán)，甲更有希望比賽獲勝，故此時(shí)選甲參賽更適合.

【點(diǎn)評(píng)】比較兩組數(shù)據(jù)方差的大小有兩種方法：一是先計(jì)算出各組數(shù)據(jù)的方差再比較大小，二是根據(jù)圖判斷數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小，由方差的意義可知波動(dòng)大的方差就大.本題（2）就是選用的第二種方法.

從上面的幾種類型中我們可以看出數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度有哪些常見考點(diǎn)，而解決這些考點(diǎn)需要我們認(rèn)真理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等的意義及公式，理解并記牢公式是解決問題的前提.

（作者單位：江蘇省海門市東洲國(guó)際學(xué)校）