關(guān)于中職“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”教學(xué)的點滴思考

俞靚文

摘 要： 《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》是中職生一年級所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在學(xué)習(xí)過程中許多學(xué)生在公式的記憶和綜合運(yùn)用上存在困難，在解題時公式運(yùn)用錯誤率較高.針對以上情況，作者結(jié)合教學(xué)實際，對本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行了思考，要有效解決以上學(xué)生的學(xué)習(xí)困難和提高學(xué)生解題正確率，需從兩方面入手——強(qiáng)化和細(xì)化對公式的概念教學(xué)和加強(qiáng)對公式運(yùn)用方法的總結(jié)與反思.

關(guān)鍵詞： 三角函數(shù)誘導(dǎo)公式 概念教學(xué) 總結(jié)與反思

《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》是江蘇省職業(yè)學(xué)校文化課教材《數(shù)學(xué)》第一冊第五章《三角函數(shù)》第五節(jié)的內(nèi)容.通過本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，要求學(xué)生理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法，并能正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式求任意角的正弦、余弦、正切值和對簡單的三角函數(shù)式進(jìn)行化簡.由于中職生和高中生相比，相對的基礎(chǔ)知識和接受能力能力、思辨能力、邏輯推理及歸納能力都要稍遜一籌，因此在現(xiàn)實教學(xué)中，在運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行解題的正確率往往較低.主要存在以下兩個問題：1.學(xué)生對公式會記憶背誦，但沒有深刻理解和掌握“三角函數(shù)誘導(dǎo)公式”概念本質(zhì)，知其然而不知其所以然；2.學(xué)生會運(yùn)用單獨(dú)公式進(jìn)行解題，但沒有掌握通過綜合運(yùn)用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值和化簡的方法.如何通過課堂有效教學(xué)較好地解決這兩個問題，是數(shù)學(xué)教師需要解決的問題.針對中職學(xué)生能力的實際狀況，筆者認(rèn)為應(yīng)該從以下方面入手。

1.強(qiáng)化和細(xì)化對公式的概念教學(xué)

學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念是隨著學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的不斷深化在不斷發(fā)展完善，在教學(xué)中應(yīng)善于尋找、分析其聯(lián)系與區(qū)別，注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈，有利于學(xué)生掌握概念的本質(zhì).在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì).學(xué)生只有深刻理解和抓住了概念的本質(zhì)屬性，才能一般性地認(rèn)真分析誘導(dǎo)公式，不論如何題目如何變化，都能正確使用.

1.1創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)概念的引入，一定要堅持從學(xué)生的認(rèn)識水平出發(fā)，要密切聯(lián)系生產(chǎn)生活實際.緊緊圍繞主題充分激發(fā)學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)動機(jī).為學(xué)生順利地掌握概念起到奠基作用.

首先從任意角的三角函數(shù)的定義出發(fā)，教師圖示并引導(dǎo)學(xué)生思考回顧任意角的三角函數(shù)的定義，使學(xué)生通過對原有知識的回憶和直觀觀察，通過提出問題：α+2kπ與α的三角函數(shù)關(guān)系是怎樣的？建立了學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的感性認(rèn)識.根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，結(jié)合新課教學(xué)的特點，以問題為載體，通過問題：終邊相同的角的特點是什么？OM除了是角α的終邊外，還是哪些角的終邊？將OM逆時針旋轉(zhuǎn)k周（k∈Z），sinα，cosα，tanα是否改變？層層深入，以學(xué)生活動為主線，讓學(xué)生的思維“動”起來.從而啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考和討論，并探究出誘導(dǎo)公式（一）sin（α+k·360°）=sinα，

弧度制表示成：cos（α+k·360°）=cosα，（k∈Z）tan（α+k·360°）=tanα.sin（α+2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，（k∈Z）tan（α+2kπ）=tanα.

1.2在展示知識的產(chǎn)生發(fā)展過程中認(rèn)識概念

數(shù)學(xué)概念是人們對客觀事物不斷抽象的結(jié)果，它的形成和發(fā)展是一個漸進(jìn)的過程.人們在對周圍客觀事物的認(rèn)識中，通過感知，運(yùn)用比較分析綜合抽象概括等一系列邏輯方法，抓住事物的本質(zhì)屬性而產(chǎn)生數(shù)學(xué)概念.

由于誘導(dǎo)公式具有一定的抽象性，因此在推導(dǎo)第二組誘導(dǎo)公式時，采用數(shù)形結(jié)合的方法，先由具體的角度出發(fā)，對比30°角與-30°角的各三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

再使學(xué)生探討α和-α之間三角函數(shù)值之間的關(guān)系，推廣到一般形式，使學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的思維過程；體驗了層層深入，推導(dǎo)出公式的過程；深刻體驗了由數(shù)量關(guān)系到形的關(guān)系再到數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化過程。學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義易得：

在推導(dǎo)第三組誘導(dǎo)公式時，通過提出系列問題：sin30°的值是，那能否求出sin210°的值？兩者之間有沒有什么關(guān)系？相應(yīng)的，它們的余弦值和正切值有沒有什么關(guān)系？在使學(xué)生體會運(yùn)用滲透化歸和數(shù)形結(jié)合的方法的同時，使學(xué)生自主從具體形象的角之間關(guān)系推導(dǎo)出三角函數(shù)值之間的關(guān)系，再從三角函數(shù)的定義予以驗證，最后推廣到一般情況，從而使學(xué)生能夠從根本上掌握誘導(dǎo)公式的本質(zhì)屬性，并且學(xué)生通過積極主動地參與公式的課堂學(xué)習(xí)，從而有利于提高分析問題、解決問題的能力.

推廣到一般形式：

1.3強(qiáng)化對三角函數(shù)誘導(dǎo)公式概念的理解

在學(xué)生已經(jīng)體驗誘導(dǎo)公式推導(dǎo)過程的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生比較三角函數(shù)誘導(dǎo)公式概念間的橫向與縱向的聯(lián)系，體驗三角函數(shù)誘導(dǎo)公式概念的內(nèi)涵和外延結(jié)合學(xué)習(xí).第四組誘導(dǎo)公式既是通過由直接抽象的推導(dǎo)公式到具體的角度加以驗證應(yīng)用的同時，又是再次深化學(xué)生對幾組誘導(dǎo)公式的本質(zhì)的理解和思考，進(jìn)而加深對新概念的理解.

通過以上細(xì)化三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的教學(xué)，可以豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，擴(kuò)大三角函數(shù)知識的記憶庫，建立公式概念的系統(tǒng)性，幫助學(xué)生分清同類公式概念之間的各種關(guān)系，進(jìn)而使學(xué)生能夠自然而然地在教師的引導(dǎo)下得出四組誘導(dǎo)公式的記憶方法，即“函數(shù)名不變，符號看象限.——記角α為銳角”，而不是機(jī)械記憶.為能夠有效避免學(xué)生只會背公式卻不知如何運(yùn)用公式和在運(yùn)用時公式出現(xiàn)錯誤打下了堅實的基礎(chǔ)，完善學(xué)生的三角函數(shù)知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用三角函數(shù)公式概念解決問題的能力.

2.加強(qiáng)對公式運(yùn)用方法的總結(jié)與反思

2.1注重公式運(yùn)用教學(xué)過程中的遞進(jìn)性

運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解題的過程一方面是幫助學(xué)生深刻理解和鞏固掌握的所學(xué)概念的過程，另一方面是對學(xué)生所學(xué)概念的檢驗過程.因此，當(dāng)學(xué)生對三角函數(shù)四組誘導(dǎo)公式的概念形成之后，便可通過具體例子，引導(dǎo)學(xué)生利用誘導(dǎo)公式解決數(shù)學(xué)問題和發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式在解決問題中的作用.但是如何綜合運(yùn)用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值和化簡往往是學(xué)生解題的困難所在，教師對例題選取的是否合理得當(dāng)則是完成這一教學(xué)過程和解決這一問題的一個重要環(huán)節(jié)，此環(huán)節(jié)操作的成功與否，將直接影響學(xué)生對三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的鞏固，以及運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行解題能力的形成.因此，在教學(xué)過程中教師要注重所選例題在公式運(yùn)用上的遞進(jìn)性，逐步引導(dǎo)和幫助學(xué)生掌握運(yùn)用公式規(guī)律，以免造成在綜合使用公式求三角函數(shù)值和化簡時，對公式應(yīng)用的混亂和錯誤.

2.2注重運(yùn)用公式解題后的總結(jié)與反思

涂榮豹先生說：“反思不僅僅是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般性的回顧或重復(fù)而是深究數(shù)學(xué)活動中所涉及的知識方法思路策略等”.涂先生強(qiáng)調(diào)：“傳統(tǒng)學(xué)習(xí)是操作性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是學(xué)生憑借自己有限的經(jīng)驗進(jìn)行簡單重復(fù)的學(xué)習(xí)活動，這種活動所依賴的是那些通常并不清楚的經(jīng)驗和理解，進(jìn)行的自動化的直覺的操作活動.反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本特征是它的探究性，就是在考察自己活動的經(jīng)歷中探究其中的問題和答案，重構(gòu)自己的理解，激活個人的智慧，并在活動所涉及的各個方面的相互作用下，產(chǎn)生超越已有信息以外的信息.反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的優(yōu)勢是可以幫助學(xué)生從例行公事的行為中解放出來，幫助他們學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).”因此，教學(xué)過程中，教師應(yīng)合理選取例題，在運(yùn)用公式進(jìn)行解題之后，使學(xué)生在教師的有效引導(dǎo)下，對解題過程和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的使用方法、規(guī)律進(jìn)行深入的思考和總結(jié)，使學(xué)生自己總結(jié)概括出在應(yīng)用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值的規(guī)律方法：

在應(yīng)用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡時的規(guī)律方法是：切化弦（或弦化切），高次化低次，異角化同角，異名化同名.

這樣長此以往，不僅能使學(xué)生加深對三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的理解、鞏固知識和靈活應(yīng)用，避免解題錯誤，還能把解決問題的數(shù)學(xué)思想方法及對問題的再認(rèn)識轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)過程，提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，優(yōu)化他們的數(shù)學(xué)思維，達(dá)到融會貫通的境界.

參考文獻(xiàn)：

[1]林培錦.反思性教學(xué)實施的問題與思考[J].教育理論與實踐，2007（9）：58-60.

[2]涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)認(rèn)識論.南京師范大學(xué)出版社.

[3]邵瑞珍等.教育心理學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1983：94.