幾何畫板在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用和作用

廖宗明

摘 要： 在現(xiàn)今的中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何畫板以它強大的功能改進了中職數(shù)學(xué)的教學(xué)手段。本文對幾何畫板功能進行了分析，用實例概括了幾何畫板在中職數(shù)學(xué)的一般應(yīng)用，研究了幾何畫板對中職數(shù)學(xué)教學(xué)所起的作用。結(jié)論表明，合理利用幾何畫板教學(xué)，能夠提高中職課堂數(shù)學(xué)學(xué)習效率。

關(guān)鍵詞： 中職數(shù)學(xué)教學(xué) 幾何畫板 教學(xué)應(yīng)用 教學(xué)作用

在知識經(jīng)濟時代、信息社會中，知識以人們無法想象的速度在增加和更新，中職數(shù)學(xué)教學(xué)手段、教學(xué)方法也在不斷改進，從以前的黑板上教學(xué)逐漸過渡到現(xiàn)在的多媒體輔助教學(xué)。前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯爾莫戈洛夫指出：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！?/p>

幾何畫板是一個通用的數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境，提供豐富而方便的創(chuàng)造功能，使用戶可以隨心所欲地編寫出自己需要的教學(xué)課件。相對于PowerPoint、Flash等中職數(shù)學(xué)教學(xué)輔助軟件，幾何畫板在中職數(shù)學(xué)圖形的空間結(jié)構(gòu)、軌跡的形成等方面，有著不可取代的優(yōu)勢。它并非只是替代了直尺、圓規(guī)的一個畫圖工具，更重要的是它所作的圖形、圖像是動態(tài)的，更注重中職數(shù)學(xué)表達的準確性，其最突出的優(yōu)點就是使圖形、圖像在運動的狀態(tài)下保持不變的幾何關(guān)系。由于幾何畫板學(xué)習入門容易，操作簡單，資源節(jié)省，以及其強大的動畫功能等優(yōu)點，已被越來越多中職數(shù)學(xué)教師所重視，它必將給中職數(shù)學(xué)教學(xué)帶來不小的變革。

一、幾何畫板的功能

幾何畫板以點、線、圓為基本元素，通過這些元素的構(gòu)造、變換、平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射等可以構(gòu)造復(fù)雜的圖形。在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何畫板為新的探索式教學(xué)提供了可能。它有以下幾個功能。

1.圖形繪制及度量、計算功能幾何畫板中，不僅有直角坐標系功能，還能畫出解析。

幾何中所有的二次曲線，還有極坐標系，可以作出由極坐標確定的所有曲線。在同個坐標系中，可以作出多個函數(shù)圖形進行比較，利用圖像的直觀性，給學(xué)生創(chuàng)造觀察、比較的環(huán)境。比如：可以利用幾何畫板畫出指數(shù)函數(shù)的圖像；利用幾何畫板度量直線傾斜角的角度；利用幾何畫板度量任意兩點間的距離。

2.圖形變換功能。

幾何畫板提供了平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射等圖形變換功能，可以按指定的值或動態(tài)的值對圖形進行這些變換。只要給出函數(shù)表達式，就可以做出任意一個給定區(qū)間上的初等函數(shù)圖像，并且可以動態(tài)控制含若干個參數(shù)的函數(shù)圖像，隨著參數(shù)值的變化，圖像的形狀也跟著變動。比如：可以作出函數(shù)y=ax■+bx+c的圖像，并可以改變參數(shù)a、b、c的大小，進而改變圖像的形狀。

3.對幾何定理的展示。

如果存在不變的幾何關(guān)系，即幾何定理，幾何畫板就能使這些幾何關(guān)系保持不變。比如：可以利用幾何畫板證明和展示角平分線定理。

4.動態(tài)對象的跟蹤。

幾何畫板能對動態(tài)對象進行跟蹤，并能顯示該對象的軌跡，如：點的軌跡、線的軌跡、形成曲線等。比如：我們要求到線段兩端距離相等的點的軌跡，就可以利用幾何畫板動態(tài)地把點的軌跡顯示出來。

5.簡便的動畫功能。

幾何畫板可以針對幾何教學(xué)的要求制作動畫和移動對象，可以體現(xiàn)幾何體的運動。比如：可以利用幾何畫板進行三角形翻折、繞某點旋轉(zhuǎn)。

二、幾何畫板在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.繪制精確的幾何圖形。

規(guī)范準確的幾何圖形往往能給人以美的享受。作為中職數(shù)學(xué)教育工作者，我們應(yīng)該充分認識這一點，并要善于運用這個特點輔助我們的教學(xué)。幾何畫板這個軟件正好給我們提供了這樣的一個平臺，它不僅可以準確地繪制出任意的幾何圖形，而且可以在運動過程中動態(tài)地保持元素之間的幾何關(guān)系。

例如：中職數(shù)學(xué)里面的圓周角定理，在常規(guī)的教學(xué)中，往往是先由教師給出定理，再證明定理，最后舉例應(yīng)用。這樣處理教材的內(nèi)容往往使定理失去了應(yīng)有的魅力，難以激發(fā)學(xué)生學(xué)習中職數(shù)學(xué)的熱情和興趣。再者，很多中職學(xué)校缺少教具，利用隨手畫的圓教學(xué)，圖形不美觀，教學(xué)效果不好，也缺少了中職數(shù)學(xué)的圖形美。如果在教學(xué)中能把幾何畫板引入課堂，并制作成相應(yīng)的課件，不僅體現(xiàn)了中職數(shù)學(xué)圖形美和圖形幾何的嚴謹性，還能動態(tài)地研究定理的結(jié)論。比如下圖：利用幾何畫板的拖拉、測算等功能，可以任意地拖動A、B兩點以改變該A、B、C三點的位置，讓同學(xué)們觀察相應(yīng)圓周角和圓心角的大小和它們的比例關(guān)系，并試著用自己的語言進行歸納總結(jié)，進而提出圓周角定理。有條件的話，可以讓學(xué)生自己動手親自試驗；在同學(xué)們觀察實驗的基礎(chǔ)上，教師再利用構(gòu)造圖形的方法對該定理給予證明。這樣讓學(xué)生通過老師或自己的操作感受其中的規(guī)律，體會其中的艱苦，嘗試成功后的喜悅，從而培養(yǎng)他們學(xué)習幾何的興趣。

2.研究函數(shù)的圖像及性質(zhì)。

中職數(shù)學(xué)里面有冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，函數(shù)的圖像和性質(zhì)在中職數(shù)學(xué)里既是重點又是難點。如果在教學(xué)中能充分利用幾何畫板將抽象的內(nèi)容具體化、形象化，那么對于學(xué)生的學(xué)習無疑是很有幫助的。

例如：教學(xué)中職數(shù)學(xué)里面的指數(shù)函數(shù)時，為了更好地研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以借助幾何畫板做演示。通過移動P點改變指數(shù)函數(shù)底數(shù)a的大小，讓學(xué)生通過觀察或操作理解底數(shù)a的大小改變對指數(shù)單調(diào)性的影響；在移動動點P的過程中觀察B點的坐標一直不變，得出指數(shù)函數(shù)都經(jīng)過點（0，1）；移動點P并移動點A，觀察點A的坐標，得出指數(shù)的定義域是實數(shù)集，值域是正實數(shù)集。

這樣，就會使整個內(nèi)容變得非常形象直觀，易于接受，比過去直接用理論說明或簡單地在黑板上畫幾個草圖講解的效果要好得多。在學(xué)習其他的函數(shù)圖像和性質(zhì)時，也可以采取類似的方法，從而使中職數(shù)學(xué)的課堂變得豐富多彩。

3.探尋點的軌跡。

中職數(shù)學(xué)里面的直線的方程、圓的方程、拋物線的方程和雙曲線的方程，都是點的軌跡的問題，一直以來都是學(xué)生比較難以理解和掌握的問題，大多中職數(shù)學(xué)生只能在頭腦中簡單地想象或手工地畫出其草圖，而這樣不能保證所畫圖像的精確性，尤其是對初學(xué)者來說，更難以形成自己的知識，達到熟練應(yīng)用的程度。如果應(yīng)用幾何畫板，就可以動態(tài)地描繪出軌跡的形成過程，使學(xué)生能夠更容易地抓住其本質(zhì)進行學(xué)習。

例如：在學(xué)習橢圓這一部分內(nèi)容時，可以利用幾何畫板演示利用橢圓的定義作橢圓。簡要步驟：

（1）作點A、B，以及線段CD（定長）；

（2）以點A為圓心，CD為半徑作圓，并在圓A上任意取一點E；

（3）連接AE、BE，并作BE的垂直平分線FG，交BE于點F，交AE于點G；

（4）同時選中點G和點E，作軌跡，如圖：

在教學(xué)過程中，我們不妨在課堂上一步一步地直接給出該課件的制作過程。通過對這個過程的了解，學(xué)生可以非常容易地知道點G就是到定點A、B等于定長的點。當點E在圓上不停地運動時，點G的軌跡正好就是橢圓。于是橢圓的形成過程就完全地展現(xiàn)在學(xué)生的面前，這對于他們的形象記憶是很有好處的。當然，為了更好地說明問題，還測算出AG及AG和BG的長度之和，這樣可以使學(xué)生非常方便地觀察出動點G在運動過程中其他的量與量之間的關(guān)系，從而對橢圓的形成過程有進一步認識。

在幾何畫板中，橢圓的做法有很多種，我們可以鼓勵學(xué)生在課下自己動手，試著用其他的方法作出橢圓，以達到舉一反三的目的。這樣在接下來學(xué)習雙曲線這一部內(nèi)容的時候，就可以讓同學(xué)們自己動手探索問題了。不僅是圓錐曲線這一部分的內(nèi)容可以用幾何畫板輔助教學(xué)，其他很多有關(guān)點的軌跡的問題也都可以由它幫助解決。

4.探索直線和直線的關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系。

直線和直線的關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系，用幾何畫板教學(xué)比較直觀，容易理解，且具有說服力。

如圖，拖動兩條直線，隨意改變兩條直線的位置，觀察到，兩條直線的斜率相等。因為作圖比較簡單，可以引導(dǎo)學(xué)生自己作圖，自己操作測量，最后驗證兩條直線平行的充要條件：斜率相等。

三、幾何畫板在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1.創(chuàng)設(shè)情境，幫助理解中職數(shù)學(xué)概念。

很多中職數(shù)學(xué)概念十分抽象，學(xué)生不太能理解，通過有聯(lián)系的引入，讓學(xué)生了解概念提出的背景，才能讓學(xué)生深入理解中職數(shù)學(xué)。

比如：斜率的教學(xué)，利用幾何畫板可能動態(tài)地演示斜率變化，引起的直線的傾斜程度的變化，讓學(xué)生更深刻地理解斜率這個概念。

2.動態(tài)演示，顯示軌跡，突破教學(xué)難點。

一直以來，中職數(shù)學(xué)教學(xué)就強調(diào)邏輯性，但不太考慮學(xué)生的空間想象力。在學(xué)習圓柱等幾何圖形時，只能看到簡單的幾個實物和并不復(fù)雜的圖形，卻沒有深入了解幾何圖形。幾何畫板的出現(xiàn)，簡化了教師教導(dǎo)幾何這方面的問題。在幾何畫板里，學(xué)生可以動態(tài)地觀察、探索，根據(jù)圖像的運動，發(fā)現(xiàn)對象間的變化關(guān)系。

3.體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的中職數(shù)學(xué)思想。

數(shù)形結(jié)合是學(xué)習中職數(shù)學(xué)的重要方法，用圖形解釋抽象的中職數(shù)學(xué)現(xiàn)象形象、直觀。通過觀察幾何畫板里的圖像，可以把抽象變?yōu)樾蜗?，微觀中職數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為宏觀中職數(shù)學(xué)。比如：曲線的方程的教學(xué)，用幾何畫板動態(tài)動演示曲線的變化會引起方程的參數(shù)變化，方程的參數(shù)的變化同樣也引起曲線形狀的變化。

4.開展中職數(shù)學(xué)實驗，進行研究性學(xué)習。

獲得中職數(shù)學(xué)知識的過程，離不開反復(fù)的實驗與觀察，對實驗觀察資料的思考：歸納、類比、聯(lián)想、猜想……單憑邏輯推理是發(fā)現(xiàn)不了中職數(shù)學(xué)的。幾何畫板顯示出了超凡的威力，幾何畫板改變了中職數(shù)學(xué)教學(xué)方式，使得許多應(yīng)用中職數(shù)學(xué)問題一下子直觀起來。比如：講授兩條直線的平行和垂直的條件時，讓學(xué)生利用幾何畫板操作發(fā)現(xiàn)兩條直線平行和垂直與這兩條直線斜率之間的關(guān)系。學(xué)生通過自己的實驗發(fā)現(xiàn)和驗證了兩條直線平行和垂直的條件。以幾何畫板為工具，讓學(xué)生動手實踐，親自操作經(jīng)歷了知識的生成和知識的構(gòu)建過程，這樣知識必然是深刻的、牢固的。幾何畫板所創(chuàng)造的學(xué)習過程的快捷，形象、生動性必然會給學(xué)生留下極為深刻的印象，進一步增強學(xué)習的積極性和求知欲望。

總之，幾何畫板在中職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的廣泛應(yīng)用和推廣，不僅帶來了教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)模式的深刻變革，而且使學(xué)生接受知識的被動地位得以改變，真正體現(xiàn)課堂教學(xué)中學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)地位，對提高學(xué)生中職數(shù)學(xué)素質(zhì)和教師的教學(xué)能力有著重要作用，同時對我國的素質(zhì)教育起著重要的推進作用，為國家培養(yǎng)出大量高素質(zhì)的綜合型人才。

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