圓錐曲線的兩類常考題型

徐英

摘 要： 圓錐曲線不僅在每年高考中都有考察，還是高三每次考試的必考題型，其中有兩類題是?？碱}，一類是考范圍或最值；一類是考面積或面積的最值.考察的知識較綜合，計算量也大，作者對次兩類題進行研究，以供大家參考.

關鍵詞： 圓錐曲線 面積 范圍

一、圓錐曲線與最值

例1：已知以原點O為中心的橢圓上一點（ ，1），離心率e= ，M是橢圓上的動點.若點F ，F(xiàn) 分別是其上下焦點，求|MF |·|MF |的最大值.

分析：利用重要不等式，將問題轉化為考察橢圓定義.常用的重要不等式有a+b≥2 ，a +b ≥2ab，第一個不等式的限制條件是a>0，b>0，第二個不等式的限制條件是a∈R，b∈R，使用時要分清各自的限制條件.

解析：有題設易得橢圓方程為x + =1.由橢圓定義得|MF | + |MF |=2a=4，則|MF |·|MF |≤（ ） =4，當且僅當|MF |= |MF |，即點M的坐標為（±1，0）時取等號，所以（|MF |·|MF |） =4.

變式1：已知一點Q（ ， ），求|MQ|+|MF |的取值范圍.

分析：題目的所求體現(xiàn)了明顯的幾何特性，所以用圖形性質(zhì)解決該題.

解析：|MQ|+|MF |=|MQ|+2a-|MF |=2a+|MQ|-|MF |

因為，-|QF |≤|MQ|-|MF |≤|QF |，當且僅當M，Q，F(xiàn) 三點共線時，取“=”.|QF |= =1，所以3≤|MQ| + |MF |≤5.

變式2：求 · 的取值范圍.

分析：題目的所求明顯體現(xiàn)了一種明確的函數(shù)，因此，可用求函數(shù)最值的方法來解決.求函數(shù)最值的常用方法有配方法，判別式法，重要不等式法，導數(shù)法，圖像法，分離常數(shù)法，換元法等.

解析：設M（x ，y ），因為 · =（-x ， -y ）·（-x ，- -y ）， · =x -3+y =1-3x ，因為-1≤x ≤1，所以-2≤ · ≤1.

二、圓錐曲線與面積

例2：已知橢圓 + =1（a>b>0）的離心率為e= ，右焦點F（1，0）.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線l與圓O：x +y =1相切，并與橢圓交于不同的兩點A、B，求△AOB面積S的最大值.

解析：（1） +y =1

解法1：（2）由題意知直線的斜率可以不存在，若存在，斜率也不為零，故設l：x=my+n.

因為l與圓O：x +y =1相切，所以 =1，即：n =m +1.

又由 +y =1與l：x=my+n聯(lián)立，消去x得（m +2）y +2mny+n -2=0.

又△=8>0，設A（x ，y ），B（x ，y ），則|AB|= · = .

S = |AB|×1= = ，n+ ≥2，當且僅當n =1，即m=0時，取等號.所以S ≤ ，所以△AOB面積S的最大值為 .

解法2：l：x=my+n與x軸交點C（n，0）

S = n|y -y |= .

以下解法同上.

變式1：若直線l過點C（0，-3）與橢圓交于不同的兩點A、B，求△AOB面積S的最大值：

分析：S = |OC|·|x -x |，因為直線斜率存在，且不為零，故設l：y=kx-3.

將l：y=kx-3與 +y =1聯(lián)立，消去y得（2k +1）x -12kx+16=0，寫出兩根之和與兩根之積，判別式大于0，代入S = |OC|·|x -x |中，利用求函數(shù)最值的方法求△AOB面積S的最大值.

變式2：N為橢圓上不同于A、B兩點的任一點，求△NAB面積S的最大值.

分析：此題與上例解法上的區(qū)別在于：當直線l 與直線AB平行且與橢圓相切時，此時切點N到直線AB的距離最大.設切線l ：x=my+b，將l ：x=my+b與橢圓方程聯(lián)立，判別式等于零.其他步驟類似.

點評：直線方程要對斜率是否存在進行討論，對直線方程的引入常有兩種形式x=ky+m，y=kx+m，其中x=ky+m用于直線斜率不存在但是不為零，其中y=kx+m用于直線斜率存在且可為零，所以在選擇時要分清楚.

參考文獻：

[1]劉建華.圓錐曲線中最值問題求解舉例[期刊論文].中學生數(shù)理化：學研版，2011（7）.

[2]梁清芳.圓錐曲線最值問題的常用髓題方法及策略[期刊論文].中學課程輔導.教學研究，2011（17）.