運(yùn)用整體思想巧解中考題

張德柱

整體思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對問題進(jìn)行整體處理的解題方法.從整體上去認(rèn)識問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，同時又能培養(yǎng)思維的靈活性、敏捷性.整體思想的主要表現(xiàn)形式有整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補(bǔ)形、整體構(gòu)造等.在初中數(shù)學(xué)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)與圖象、兒何與圖形等方面，整體思想都有廣泛的應(yīng)用，因此，每年的中考中出現(xiàn)了許多別具創(chuàng)意、獨(dú)特新穎的涉及整體思想的問題，尤其在考查高層次思維能力和創(chuàng)新意識方面具有獨(dú)特的作用.下面舉例說明，以饗讀者.

一、整體代入

例1 （2014.淄博）當(dāng)x=l時，代數(shù)式 的值足7，則當(dāng)x=-l時，這個代數(shù)式的值是（）.

A.7

B.3

C.1

D.-7

分析：把x=l代入代數(shù)式求出a、b的關(guān)系式，再把x=一l代入進(jìn)行計(jì)算即可得解，

，解得

時，

. 故選C。

評注：本題是直接代入求值的一個基本題型，利用整體思想是解題的關(guān)鍵.此類題首先要觀察已知條件和需要求解的代數(shù)式，然后將已知條件變換成適合所求代數(shù)式的形式，運(yùn)用整體代入法即可得解，

例2 （2014.黔東南）已知拋物線y=x2-x-1與x軸的一個交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式m2_m+2 014的值為（）.

A.2 012

B.2 013

C.2 014

D.2 015

分析：國因?yàn)閽佄锞€y=x2-x-l與x軸的一個交點(diǎn)為（m，0），所以把x=m代入方程x2-x-1=0可求得m2一m=l，然后將其整體代入代數(shù)式m2-m+2014，故m2一m+2014=1+2014=2015.故選D.

評注：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn).解題時需注意“整體代入”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，從整體上去認(rèn)識問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，減少計(jì)算量.

二、整體變形

例3 （2014.涼山州）已知

解析：此題考查二次根式的混合運(yùn)算，把所求代數(shù)式利用完全平方公式整體變形是解決問題的關(guān)鍵，首先把 變形為（X1+X2）2 - 2x1X2，再進(jìn)一步代入求得數(shù)值即可.

評注：從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子（或圖形）看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的的整體變形，從而使代數(shù)式的化簡與求值計(jì)算過程簡捷，

三、整體加減

例4 （2014.蘭州）為了求 的值____，可令 ，則 ，因此 ，所以 ，即 1.仿照以上推理計(jì)算 的值是

，

解析：根據(jù)題目所給的計(jì)算方法，設(shè)

①式兩邊都乘以3，得

②一①得2M=

兩邊都除以2，得 ，故答案為：

評注：本題主要考查學(xué)生觀察能力及運(yùn)用整體思想解題的運(yùn)算能力，利用錯位相減法，消掉相同值，是解題的關(guān)鍵.

例5已知 且 ，則k的取值范圍為（）.

A. B. C. D.

解析：本題如果解方程，分別求出方程組的解顯然比較麻煩，注意到條件“-l

評注：運(yùn)用整體思想方法解題，要有強(qiáng)烈的整體意識，要認(rèn)真分析問題的條件或結(jié)論的表達(dá)形式、內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征，不拘泥于常規(guī)，不著眼于問題的各個組成部分，從整體上觀察，從整體上分析.運(yùn)用整體思想方法，往往能起到化繁為簡化難為易的效果，

四、化零為整

例6 如圖1，∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=____.

解析：由于本題無其他任何條件，因而單個角是無法求出的.利用三角形的性質(zhì)，我們將∠1+ ∠2視為一個整體，那么應(yīng)與△ABC中 的外角相等，同理 ∠3+∠4，∠5+∠6 分別與∠ABC+∠ACB 的外角相等，利用三角形外角和定理，可知∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，本題就迎刃而解了，

評注：整體聯(lián)想待求式各元素之間的關(guān)系并正確應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵.我們在解題過程中，應(yīng)仔細(xì)分析題意，挖掘題目的題設(shè)與結(jié)論中所隱含的信息，然后通過整體構(gòu)造，常能出奇制勝，

五、整體構(gòu)造

例7如圖2，在正方形ABCD中.E為BC邊的中點(diǎn)，AE平分 ，試判斷4F與BC+CF的大小關(guān)系，并說明理南，

解析：證明一條線段等于另外兩條線段的和或差，常常用截長法或補(bǔ)短法把問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等的問題，本題中我們可利用三角形全等將BC+CF轉(zhuǎn)化為一條線段的長，從而達(dá)到了解決問題的目的.

因E是BC中點(diǎn)，故BE=CE.

正方形ABCD中，AB=BC， ，過E作 連接

因AE平分

因AE=AE，故△ABE

故AH=AB=BC，EH=EB=EC，

因EF=EF，故 .故HF=CF

故AF=AH+HF=BC+CF

評注：本題也可以延長DC至G，使CG=DC，連接EG.易得AF=FG=FC+CG=FC+BC.顯然，用整體思想解題不僅解題過程簡捷明快，而且富有創(chuàng)造性，有了整體思維的意識，在思考問題時，才能使復(fù)雜問題簡單化，提高解題速度，優(yōu)化解題過程.同時，強(qiáng)化整體思想觀念，靈活選擇恰當(dāng)?shù)恼w思想方法，常常能幫助我們走出困境，走向成功.