中考實際問題錯解分類辨析

曹松峰

運用方程、不等式、函數(shù)等主干知識，通過建立數(shù)學(xué)模型，解決簡單的實際問題，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，因而成為考查學(xué)生分析、解決問題能力的重要載體.令人遺憾的是，由于部分學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本技能未能很好掌握，思維缺乏全面性和深刻性，運用數(shù)學(xué)思想方法的自覺性不足等，在做題時往往出錯，會而不對、對而不全的現(xiàn)象時有發(fā)生.因此，剖析中考試卷中實際問題的錯解成因，探求糾正的有效措施，就顯得尤為必要，

一、不能正確提取數(shù)量關(guān)系

真正弄懂題意是正確解題的關(guān)鍵，迅速、精準(zhǔn)地將文字語言用數(shù)學(xué)符號表征出來，實際問題就解決了一半.但不少學(xué)生沒有養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，不能認真審題，抓不住關(guān)鍵詞語，不能正確提取數(shù)量關(guān)系.在建立數(shù)學(xué)模型時，經(jīng)常張冠李戴，把數(shù)字、字母或運算符號看錯或漏掉，導(dǎo)致思維受阻或解題失誤.

例1 （2014.吉林）小軍家距學(xué)校5千米，原來他騎自行車上學(xué)，學(xué)校為保障學(xué)生安全，新購進校車接送學(xué)生，若校車速度是他騎自行車速度的2倍，現(xiàn)在小軍乘校車上學(xué)可以晚10分鐘從家出發(fā)，結(jié)果與原來到校的時間相同.設(shè)小軍騎車的速度為x千米/時，則所列方程正確的為（）.

錯解：C或D.

錯因辨析：數(shù)量關(guān)系式?jīng)]列對，單位不統(tǒng)一.速度的單位為千米/時，應(yīng)將10分鐘換算為1小時.

正解：B.

例2 （2013.安順）某市為進一步緩解交通擁堵現(xiàn)象，決定修建一條從市中心到飛機場的輕軌鐵路，實際施工時，每月的工效比原計劃提高了20%，結(jié)果提前5個月完成這一工程.原計劃完成這一工程的時間是多少個月？

錯解1：設(shè)原計劃完成這一工程的時間為x個月，則（1+20%）x=x-5，解得x=-25.

錯解2：設(shè)原計劃完成這一工程的時間為x個月，則（1+20%）·1/x=1/x-5

錯解：解這個方程，得x=30.答：略.

錯因辨析：錯解1沒有根據(jù)“工作總量=工作效率×工作時間”的數(shù)量關(guān)系建立方程，錯解2忽略了求解分式方程中的驗根步驟.

正解：設(shè)原計劃完成這一工程的時間為x個月，則（1+20%）·1/x=1/x-5，解這個方程，得x=30.經(jīng)檢驗，所列方程的根為x=30.答：略，

二、忽視實際問題的條件

在一些實際問題中，所關(guān)涉的數(shù)學(xué)符號大都被賦予一定的實際意義，具有特定的取值范圍.在解題過程中，不但應(yīng)使其所構(gòu)成的式子有意義，而且還需符合題目的條件和要求.不注意這一點，就很容易出現(xiàn)漏解、多解或錯解.

例3 （2013.珠海）某漁船出海捕魚，2010年平均每次捕魚量為10噸，2012年平均每次捕魚量為8.1噸，求2010年～2012年每次捕魚量的年平均下降率.

錯解：設(shè)2010年—2012年捕魚量的年平均下降率為x，依題意列方程，得10（l-x）2=8.1，解得x1=O.l=lO%，x2=1.9=190%.

錯因辨析：捕魚量的下降率最大降到100%，不可能超過100%，X2=1.9應(yīng)舍去.

正解：同上，設(shè)元、列式，求得x值為x=10%，X2=190%，然后舍去X2=190%.

例4 （2014.新疆）如圖1，要利用一面墻（墻長為25米）建羊圈，用100米的圍欄同成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米.

錯解：設(shè)AB的長度為x，則BC的長度為（100 -4x）米.依題意得x（100-4x）=400，解得x1=20，x2=5.則l00-4x=20或l00-4x=80.答：羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米或5米、80米.

錯因辨析：忽略“墻長為25米”的條件，沒有對求出的兩個x值是否都符合題意進行檢驗，

正解：設(shè)元，列式，求解，分別得到x，l00-4x的兩組值，同上，因80>25，故x2=5舍去.即AB=20，BC=20.答：羊圈的邊長AB，BC均為20米.

例5 （2014-長沙）某服裝公司試銷一種成本為每件50元的T恤衫，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本價，又不高于每件70元，試銷中銷量y（件）與銷售價x（元）的關(guān)系近似地看作一次函數(shù)如圖2所示.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）設(shè)公司獲得的總利潤（總利潤=總銷售額一總成本）為p元，求p與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意判斷，當(dāng)x取何值時，p的值最大？最大值是多少？

錯解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，因函數(shù)圖象過點（60，400）， （70，300），故400=60k+b，解得

300=70k+b.k=-10.故函數(shù)關(guān)系式為y：一lOx+1 000。b=1000.

（2）由題意，得p=（x一50）（一10x+1000），即p=-10x2+1500x-50000，因-10<0，故當(dāng)x=-1500/2×（-10）=75時，p有最大值，p最大=-10×752+1500×75=50000=6250（元）.

錯解辨析：在（2）的求解中，受思維定式影響，認為二次函數(shù)的最值一定在拋物線頂點處取得，沒有考慮自變量x的取值范圍，題目限定50≤x≤70，而x=75并不在這個范圍內(nèi)，

正解：（1）同上.（2）由題意，得p=（x-50）（-10+1000），即p=-l02+150x-50000.因-lO<0，又50≤x≤70，在對稱軸x=75的左側(cè)，p隨x的增大而增大，故當(dāng)x=70時，p有最大值，為6000.

三、缺失分類討論

當(dāng)問題具有開放性、不確定性時，需要按照一定的原則或標(biāo)準(zhǔn)，“既不重復(fù)又不遺漏”地把問題分為若干類，然后逐類討論，梳理匯總，進而得出問題的答案，這就是分類討論，方案設(shè)計類問題的求解，時常要運用這種思想方法，忽視分類、不知道如何分類、分類不科學(xué)是常見的錯誤.

例6某商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺A型和10臺B型電腦的利潤為3500元.

（1）求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤.

（2）該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍，設(shè)購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為’一元，

①求y與x的關(guān)系式；

②該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售利潤最大？

（3）實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調(diào)m（0

錯解1：（1）設(shè)每臺A型電腦的銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元，則有10a+20b=4000，

20a+lOb=3500.解得a=100，即每臺A型、B型電腦的銷售利潤分別為

b=150.100元、150元.

（2）①依題意，得y=100x+150（100-x），即y=-50+15000；②由100-x≤2x，解得，因y=-50x+15000，-50<0，故y隨x的增大而減小，因x為正整數(shù)，故當(dāng)x=34時，y取最大值，此時100-x=66.即商店購進A型電腦34臺，B型電腦66臺，才能使銷售總利潤最大.

（3）根據(jù)題意得y=（100+m）x+150（100-x），即

錯解2：（1）（2）同上.

（3）依題意，得y=（100+m）x+150（100-x），即當(dāng)oO，y隨x的增大而增大.故x=70時，y取得最大值.即商店購進70臺A型電腦和30臺日型電腦才能獲得最大利潤.

錯因辨析：錯解1對含有字母系數(shù)m的一次函數(shù)最值的討論無從下手，無果而終；錯解2在分類討淪時，漏掉了m=50的情況，答案不完整，

正解：（1）（2）同上.

（3）依題意，得y=（100+m）x+150（100-x），即y=（m-y隨x的增大而減小.故當(dāng)x=34時，y取得最大值，即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦才能獲得最大利潤，②當(dāng)m=50時，m-50=0，y=15000.即商店購進A型電腦數(shù)量滿足的整數(shù)時，均獲得最大利潤.③當(dāng)500，y隨x的增大而增大.故x=70時，），取得最大值.即商店購進70臺A型電腦和30臺B型電腦才能獲得最大利潤.

四、不能正確讀圖、識圖

從單一的文字敘述向文字、圖形（表）的交匯呈現(xiàn)方式發(fā)展，是近年來中考命題的一大特點.不能正確地從圖形（表）中抓取有用信息，已成為解答實際問題失分的重要原因之一.

例7（2013.黃岡）釣魚島自古就是中國領(lǐng)土，中國政府已對釣魚島開展常態(tài)化巡邏，某天，為按計劃準(zhǔn)點到達指定海域，某巡邏艇凌晨1：00出發(fā)，勻速行駛一段時間后，因中途出現(xiàn)故障耽擱了一段時間，故障排除后，該艇加快速度仍勻速前進，結(jié)果恰好準(zhǔn)點到達.如圖3是該艇行駛的路程y（海里）與所用時間t（小時）的函數(shù)圖象，則該巡邏艇原計劃準(zhǔn)點

到達的時刻是___.

錯解：由圖象關(guān)系可知，從出發(fā)到指定海域所用時間為3小時，故計劃準(zhǔn)點達到的時刻為4：00.

錯因辨析：未能看懂圖形，從出發(fā)到指定海域所用的時間并不是3小時，也就是說，橫坐標(biāo)3不是整個航行時間的終結(jié)，而是一個時間節(jié)點.

正解：易知原來速度為80海里/時，故障排除后的速度為100海里/時，設(shè)原計劃全程所用時間為t小時，則有80t=80+100（t-2），解得t=6，故原計劃準(zhǔn)點到達的時刻是7：00.

五、缺乏數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

大多數(shù)學(xué)生對商品打折銷售、銀行存款利息、購房分期付款、出租車計價等“生活中的數(shù)學(xué)”，很少有機會經(jīng)歷和體驗，思維滯留于教科書和練習(xí)題的固定題型上，一旦遇到“原生態(tài)”的實際問題，迷茫、出錯就在所難免了.

例8（2014年巴中中考題，有改動）某商店準(zhǔn)備進一批季節(jié)性小家電，單價40元.經(jīng)市場預(yù)測，銷售定價為52元時，可售出180個，定價每增加1元，銷售量將減少10個；定價每減少1元，銷售量將增加10個.商店若準(zhǔn)備獲利2 000元，則應(yīng)進貨多少個？定價為多少元？

錯解：設(shè)定價為（52+x）元，則每銷售一個獲利（52+x-40）元，共銷售（180-10x）個，依題意，得（52+x-40）.（180-lOx）=2 000，整理，得x2-6x-16=0，解得x1=8，X2=-2（不合題意，舍去），故當(dāng)x=8時，52+x=52+8=60（元），180-lOx=180-lOx8=100（個）.

錯因辨析：認為提價不能為負，將x2=-2舍去，說明對銷售中諸如進價、定價、銷售數(shù)量、利潤等數(shù)量關(guān)系，缺乏全面的認識.

正解：上述錯解再補充：當(dāng)x=-2時，52+x=50（元），180-lOx=200（個）.

例9（2013.襄陽）某社區(qū)活動中心為鼓勵居民加強體育鍛煉，準(zhǔn)備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個羽毛球，供社區(qū)居民免費借用，該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標(biāo)價均為30元，每個羽毛球的標(biāo)價為3元，目前兩家超市同時在做促銷活動：

A超市：所有商品均打九折（按標(biāo)價的90%）銷售；

B超市：買一副羽毛球拍送2個羽毛球.

設(shè)在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yA（元），在B超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yB（元）.請解答下列問題：

（1）分別寫出yA，yB與x之間的關(guān)系式.

（2）若該活動中心只在一家超市購買，你認為在哪家超市購買更劃算？

（3）若每副球拍配15個羽毛球，請你幫助該活動中心設(shè)計出最省錢的購買方案，

錯解：（1）由題意，得yA=（lOx30+3xl0x）x0.9=27x+270，yB=lOx30+3（lOx -20）=30x+240.（2）當(dāng)y4 =yB時，27x+270=30x+240.得x=10；當(dāng)yA>yB時，27x+270>30x+240，得x<10；當(dāng)yA10.故當(dāng)2≤x<10時，到B超市購買劃算；當(dāng)x=10時，兩家超市一樣劃算；當(dāng)x>10時在A超市購買劃算.（3）由（2）知，當(dāng)x>10時，到A超市購買劃算，15>10，故到A超市購買劃算.

錯因辨析：大多數(shù)學(xué)生除了用第（2）問的結(jié)果判斷之外，找不出最佳的購買方案.其原因在于受第（2）問“只在一家購買”這一前提條件的束縛，在平時訓(xùn)練中，類似題目大多是在上一問的基礎(chǔ)上直接回答，而錯誤解答本題第（3）問缺少直接生活經(jīng)驗是癥結(jié)所在.

正解：（1）（2）同上.（3）由題意知x=15>10，故選擇A超市，yA=27x15+270=675（元）.若先選擇在B超市購買10副羽毛球拍，送20個羽毛球，然后在A超市購買剩下的羽毛球需要（lOx15-20）x3x0.9=351（元），共需要費用lOx30+351=651（元）.因651<675.故最佳方案是先選擇在B超市購買10副羽毛球拍，然后在A趣市購買130個羽毛球.