例題分析解初中函數(shù)的常用思想方法歸納

潘志偉

摘 要： 函數(shù)問題是初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，也是每年中考必考的一大熱點(diǎn).本文通過例題分析，結(jié)合函數(shù)的知識范疇，對初中函數(shù)常用的思想方法作歸納.

關(guān)鍵詞： 函數(shù) 例題 思想方法

函數(shù)問題是初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，也是每年中考必考的一大熱點(diǎn).其中蘊(yùn)含的思想方法極為豐富，對學(xué)生觀察、分析、解決問題的能力都有十分明顯的提升作用.初中函數(shù)介紹了有關(guān)函數(shù)的一些最基礎(chǔ)、最初級的知識，為學(xué)習(xí)高中函數(shù)知識打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).本文結(jié)合初中函數(shù)的知識范疇，對解函數(shù)題常用的思想方法作簡單的歸納及應(yīng)用.

一、待定系數(shù)法

該方法主要用于求一次函數(shù)（正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的解析式.它的一般步驟是（一設(shè)、二列、三解、四還原）：（1）先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式，其中包括未知的系數(shù).（2）把自變量與函數(shù)的對應(yīng)值代入函數(shù)關(guān)系式中，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組.（3）解方程（組）求出待定系數(shù)的值.（4）寫出函數(shù)關(guān)系式.例如已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-1，1）和點(diǎn)（1，-5），求這個函數(shù)的解析式.簡析：本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.解：設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b由題意，得1=-k+b-5=k+b.解這個方程組，得k=-3b=-2，這個函數(shù)解析式為：y=-3x-2.點(diǎn)評：用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式或待定系數(shù)是每年中考考查的一大熱點(diǎn)，它的解題思路就是按四個步驟進(jìn)行.

二、數(shù)形結(jié)合法

該方法主要用于解答含有幾何圖形的函數(shù)題，這種類型的函數(shù)題最大的特點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合，即用代數(shù)的方法研究幾何問題.例如（2006年泉州中考18題）如左圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC的長為常數(shù)，點(diǎn)P從起點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P所走過路程CP的長為x，△APB的面積為y，則下列圖像能大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（？搖 ？搖）

簡析：解決本題的關(guān)鍵是讀懂圖意，表示出y與x的關(guān)系式，從而判斷圖像的形狀.

解答：設(shè)BC的長度為常數(shù)k，則y=■×2×k-■×2x=k-x，那么此函數(shù)為一次函數(shù)，因?yàn)閤系數(shù)小于0，所以應(yīng)是減函數(shù).故選C.點(diǎn)評：把幾何圖形放在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的概念與幾何知識巧妙結(jié)合，解這種類型的函數(shù)題，常用數(shù)形結(jié)合法，這種方法常常用化“虛”為“實(shí)”，化“難”為“易”.

三、配方法

對于任何一個二次函數(shù)都可以通過配方法把原來的二次函數(shù)通過配方變成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）■+k的形式，則得到頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k），對稱軸直線x=h；若a>0，函數(shù)y有最小值k；若a<0時(shí)，函數(shù)y有最大值為k.例如某商場銷售某種品牌的純牛奶，已知進(jìn)價(jià)為每箱40元，生產(chǎn)廠家要求每箱售價(jià)在40元～70元之間.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每箱發(fā)50元銷售，平均每天可售出90箱，價(jià)格每降低1元，平均每天多銷售3箱；價(jià)格每升高1元，平均每天少銷售3箱.（1）寫出售價(jià)x（元/箱）與每天所得利潤w（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）每箱定價(jià)多少元時(shí)，才能使平均每天的利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）依題意得：y=（x-40）[90+3（50-x）]或y=（x-40）[90-3（x-50）]；（2）由（1）得：y=（x-40）[90+3（50-x）]=-3x■+360x-900=-3（x-60）■+1200，∵a=-3<0拋物線開口向下，又40

四、分類討論法

該方法解函數(shù)題的關(guān)鍵在于列出函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)行分類討論.

例如：甲、乙兩旅行社服務(wù)質(zhì)量相同，組織旅游去A地價(jià)格是每人400元，如果10人以上集體購票，甲旅行社給予每位游客七五折優(yōu)惠；乙旅行社在優(yōu)惠320元的基礎(chǔ)上，每人享受8折優(yōu)惠.試分別列出甲、乙兩集體組團(tuán)去A地的總收費(fèi)用y（元）與參游人數(shù)x（人）的函數(shù)關(guān)系式，并幫助選擇哪家旅行社的總費(fèi)用較少.解：依題意得y■=400×0.75x即y■=300x，y■=400×0.8x-320即y■=320x-320，分類討論：①當(dāng)y■=y■時(shí)，解得x=16；②當(dāng)y■>y■時(shí)，解得x<16；③當(dāng)y■16，所以，當(dāng)游客人數(shù)為16人時(shí)，選擇甲或乙兩旅行社費(fèi)用相同；當(dāng)游客人數(shù)在10—15人時(shí)，應(yīng)選擇乙旅行社；當(dāng)游客人數(shù)多于16人時(shí)，應(yīng)選擇甲旅行社.點(diǎn)評：用分類討論法解函數(shù)題一般分三步：第一，根據(jù)題目需要確定分類討論的對象；第二，針對討論對象進(jìn)行合理的分類討論；第三，對討論結(jié)果進(jìn)行歸納合并，綜合得出結(jié)論.

五、跨學(xué)科聯(lián)系滲透法

該方法主要用于解決跨學(xué)科的函數(shù)問題.這種類型的函數(shù)題常與物理、化學(xué)進(jìn)行有機(jī)滲透，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科的本質(zhì)特征.

例如：已知二氧化碳的密度p（kg/m■）與體積V（m■）的函數(shù)關(guān)系式是p=■.求當(dāng)V=5m■時(shí)，二氧化碳的密度p，并說明二氧化碳的密度p隨體積V的增大或減小而變化的情況，簡析：這是一題應(yīng)用反比例函數(shù)性質(zhì)與物理相結(jié)合應(yīng)用題.解：依題意得p=■=1.98（kg/m■），∵k>0，∴當(dāng)CO■體積增大密度減小，體積減小密度增大.點(diǎn)評：跨學(xué)科函數(shù)題的關(guān)鍵是熟練進(jìn)行學(xué)科知識聯(lián)系，解決相應(yīng)跨學(xué)科問題的知識間的相互滲透.

總之，函數(shù)問題是歷屆中考的重要考點(diǎn)，解函數(shù)題的思想方法還有很多，如取特殊值法、函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化法等.本文歸納了一些常見的基本思想方法，這些方法必須掌握好.