關(guān)于初中數(shù)學(xué)開放性問題的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

張穎

摘 要： 數(shù)學(xué)開放性問題，對(duì)學(xué)生具有挑戰(zhàn)性和探究性，是最富有教育價(jià)值的一種數(shù)學(xué)題型，也是近年來各類升學(xué)考試的熱點(diǎn).通過對(duì)典型考題特征的分析，有針對(duì)性地提出解題思路和方法.

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué) 開放性問題 解題策略

當(dāng)今的數(shù)學(xué)課堂倡導(dǎo)以學(xué)生為主體，賦予他們獨(dú)立思考的自由和空間，培養(yǎng)學(xué)生具備更高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和更強(qiáng)的創(chuàng)造力.數(shù)學(xué)開放題正是能體現(xiàn)這種價(jià)值，把純粹解題的過程演變?yōu)閷W(xué)生通過探究形成自己思維的過程，是數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的一種反映，對(duì)促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成多層次、多方面思考的習(xí)慣有很大的幫助，已經(jīng)被引入了各地中考中。但是很多情況下，這也是他們最頭疼的、最害怕解決的問題.筆者在多年的初中數(shù)學(xué)提優(yōu)輔導(dǎo)中深刻地認(rèn)識(shí)到這點(diǎn)，并積累了一些經(jīng)驗(yàn)，與大家共同探討.

首先什么是數(shù)學(xué)開放性問題？它是相對(duì)傳統(tǒng)的封閉題目而言的，指條件和結(jié)論不完備或不確定、解題策略多樣化的題目，大致可分為條件開放、結(jié)論開放及條件和結(jié)論都開放的三種類型，具有一定的難度，對(duì)學(xué)生的觀察、類比、歸納、猜想、實(shí)驗(yàn)?zāi)芰μ岢隽溯^高的要求.下面例析兩種常見題型的解題策略.

一、猜想開放型

所謂猜想是指根據(jù)現(xiàn)有的材料和信息，對(duì)研究的對(duì)象先進(jìn)行觀察、比較和分析，作出有道理的想象，從而發(fā)現(xiàn)隱藏的規(guī)律.教師在平時(shí)教學(xué)中教法要靈活，可以設(shè)計(jì)一些類比性的活動(dòng)，讓學(xué)生有實(shí)驗(yàn)的經(jīng)歷，培養(yǎng)他們的耐心，能不厭其煩地通過對(duì)大量特殊情形進(jìn)行觀察，敢于想象，積累發(fā)現(xiàn)規(guī)律的經(jīng)驗(yàn).

例1：如圖1，是五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形.照此規(guī)律閃爍，下一個(gè)呈現(xiàn)出來的圖形是（ ）

上面三個(gè)五角星中都各有三個(gè)深色的三角形，其中一個(gè)單獨(dú)的與另兩個(gè)相鄰的三角形相對(duì)，如果把三個(gè)深色三角形作為一個(gè)整體，閃爍一次，可看做是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)144度（也就是與原來的隔一角）.猜想題最忌諱毫無章法，胡亂猜測(cè)，一定要循序漸進(jìn)，做到有章可循，就可以從題目初始的幾種情形中發(fā)現(xiàn)重要信息，從而實(shí)現(xiàn)輕松解題.本題以現(xiàn)有的三個(gè)圖形中深色三角形的運(yùn)動(dòng)變化為載體，借助幾何直觀的思維形式，探索在此過程中它們之間存在的相互依存關(guān)系，考查了學(xué)生的形象思維和抽象思維.

二、條件開放型

此類問題是指結(jié)論已知，而條件需探求，并且具有開放性.解決辦法通常采取由結(jié)果入手追溯原因的探索方式.這類題型雖然考查的都是基礎(chǔ)知識(shí)，但是給學(xué)生較大的思考空間，不能被動(dòng)地套用解題模式，而應(yīng)在問題情境中創(chuàng)造性地解決問題.

例2：在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2）.

（1）若底邊BC在x軸上，請(qǐng)寫出一組滿足條件的點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)：______；設(shè)點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（m，0），（n，0），你認(rèn)為m，n應(yīng)滿足怎樣的條件？

（2）若底邊BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸，y軸上，請(qǐng)寫出一組滿足條件的點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)：？搖？搖 ？搖？搖；設(shè)點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（m，0），（0，n），你認(rèn)為m，n應(yīng)滿足怎樣的條件？

分析：可以通過等腰三角形的作法探求符合題意的條件：由于AB=AC，故點(diǎn)B和點(diǎn)C在以A為圓心的同一個(gè)圓上.（1）如圖2（a），作AE⊥x軸于E，以大于AE的長度為半徑畫弧，與x軸的交點(diǎn)即為符合題意的點(diǎn)B和點(diǎn)C.易知E（2，0）為線段BC的中點(diǎn)，故CE=EB，即n-2=2-m；（2）類似于（1）作⊙A，與兩條坐標(biāo)軸分別交于B1，B2，C1，C2，顯然當(dāng)A，B，C三點(diǎn)不共線時(shí)這樣確定的點(diǎn)B，C均符合題意.

在許多數(shù)學(xué)試題中，有時(shí)單從數(shù)字中很難看出什么眉目，但如果能有意識(shí)地從“形”的角度聯(lián)系起來進(jìn)行分析，往往會(huì)收到出奇制勝的效果.本題是數(shù)形結(jié)合反映規(guī)律，重復(fù)出現(xiàn)的圖形反映出數(shù)字所具有的規(guī)律，要求解數(shù)字問題，關(guān)鍵還在于找出其中包含的“變中不變”的特殊情況.所謂“變中不變”，對(duì)于一個(gè)對(duì)象而言，是指該對(duì)象在變化的過程中，但它的某些屬性不變；對(duì)于兩個(gè)或兩個(gè)以上的對(duì)象而言，是指在變化過程中它們之間的某種關(guān)系不變.

開放性試題信息量大，主要特點(diǎn)是以某種幾何圖形為載體，點(diǎn)、線、形在圖形上按某種內(nèi)在聯(lián)系運(yùn)動(dòng)的過程中引起了相關(guān)量的變化，對(duì)學(xué)生獲取信息和處理信息的能力要求較高；解題時(shí)需要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光觀察和研究問題，挖掘運(yùn)動(dòng)、變化的全過程，并特別關(guān)注運(yùn)動(dòng)與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系，動(dòng)中取靜，靜中求動(dòng)，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

筆者認(rèn)為，開放性試題作為考查考生創(chuàng)新意識(shí)的有效手段之一，總體上講在各類升學(xué)考試中是可行的.它使得教師在教學(xué)中必須注重解題方法和思維的訓(xùn)練，只有加強(qiáng)過程教學(xué)，才能使學(xué)生在面對(duì)開放題時(shí)，能夠游刃有余，得心應(yīng)手.同時(shí)可以促進(jìn)學(xué)生自主研究性學(xué)習(xí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的形成過程，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，有效考查考生的學(xué)習(xí)潛質(zhì).但也不可一味地追求更高更難的境界，使數(shù)學(xué)考題淪為奧賽題，失去有效提高教師教學(xué)水平、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心.