偽Fibonacci數(shù)列及其推廣

鄧勇

（喀什師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，新疆 喀什市 844006）

偽Fibonacci數(shù)列及其推廣

鄧勇

（喀什師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，新疆 喀什市 844006）

探討了由非齊次線性遞推關(guān)系gn+2=gn+1+gn+Atn，n≥0，A≠0且t≠0所定義的數(shù)列{gn}的一些基本性質(zhì)；利用Elmore技巧和{gn}的指數(shù)生成函數(shù)推廣了{gn}，得到一個新的序列G（nx），并證明了Gn（x）滿足線性遞推關(guān)系Gn+2=Gn+1+Gn+Atnext；最后，利用廣義三角函數(shù)和新定義的序列{Q（nx）}再次擴展了序列{G（nx）}，給出并證明了它所滿足的遞推關(guān)系.

遞推關(guān)系；廣義三角函數(shù)；偽Fibonacci數(shù)列

本文將探討由更一般的二階非齊次線性遞推關(guān)系所定義的數(shù)列——偽Fibonacci數(shù)列{gn}以及由其指數(shù)生成函數(shù)所定義的新序列{Gn（x）}；隨后，對三角函數(shù)進行了推廣，并利用廣義三角函數(shù)和Pethe-Phadte技巧再次將{gn}推廣到了新的序列{Qn（x）}.

1 偽Fibonacci數(shù)列{gn}的定義

設(shè)α，β是Fibonacci數(shù)列{Fn}的特征方程x2-x-1=0的兩個互異根.所謂偽Fibonacci數(shù)列{gn}是指由二階非齊次線性遞推關(guān)系

所確定的數(shù)列.顯然，當(dāng)A=0時，{gn}則退化為{Fn}.

不難推出{gn}的通項公式、生成函數(shù)和指數(shù)生成函數(shù)分別為

特別地，當(dāng)A=0時，G（x）=x/（1-x-x2）恰好是{Fn}的生成函數(shù).

其中c1和c2如（3）所定義且當(dāng)A=0時，p=0，.此時，恰為{Fn}的指數(shù)生成函數(shù)[5].

2 應(yīng)用Elmore方法推廣{gn}

根據(jù)Elmore方法，利用偽Fibonacci數(shù)列{gn}來定義一個新序列.為此，設(shè)

定理1序列{Gn（x）}滿足非齊次線性遞推關(guān)系

特別地，當(dāng)A=0時，{Gn（x）}就退化為{Fn}.

證明 遞推關(guān)系（6）的右邊等于

因α和β是x2-x-1的根，即α+1=α2且β+1=β2,故上式可進一步化簡為

3 應(yīng)用廣義三角函數(shù)推廣{gn}

為廣義三角函數(shù)[6].由函數(shù)的冪級數(shù)表示，容易看出

若對（7）逐項微分，則有

下面，利用廣義三角函數(shù)首先推廣偽Fibonacci數(shù)列{gn}，然后再應(yīng)用Pethe-Phadte[7-8]技巧定義一個新序列{Qn（x）}.為此，設(shè)

其中α*=α1/r,β*=β1/r,t*=t1/r,r∈Z+.陸續(xù)定義序列{Qn（x）}的其他各項分別如下：

即Q1（x）是Q0（x）關(guān)于x的r階導(dǎo)數(shù)，Q2（x）是Q0（x）關(guān)于x的2r階導(dǎo)數(shù)，…，Qn（x）是Q0（x）關(guān)于x的nr階導(dǎo)數(shù).由Q0（x）的定義，并利用可得

顯然，當(dāng)r=1，x=0，A=0時，{Qn（x）}就退化為{Fn}.

定理2序列{Qn（x）}滿足非齊次線性遞推關(guān)系

證明 遞推關(guān)系（9）的右邊等于

因α和β是x2-x-1的根，故將

代入上式并經(jīng)化簡后，（9）的右邊最終可化為

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責(zé)任編輯：畢和平

Pseudo Fibonacci Sequence and Its Generalization

DENG Yong
（Department of Mathematics，Kashgar Teacher’s College，Kashgar844006，China）

First,the basic properties of the sequence{gn}that was defined by a non-homogeneous linear recurrence rela?tiongn+2=gn+1+gn+Atn，n≥0，A≠0t≠0 were discussed;Secondly,the sequence{gn}was generalized by using the techniques of Elmore and exponential generating function of{gn}.Thus,we got a new sequence that satisfied a linear recurrence relationGn+2=Gn+1+Gn+Atnext;finally,the sequence{Gn（x）}was generalized again by using generalized trigonometric functions and rede?fined sequence{Gn（x）},in addition,its recurrence relation was given and proved.

recurrence relation；generalized circular function；pseudo Fibonacci sequence

O 171

A

1674-4942(2015)02-0139-03

2015-01-07