探討指、對(duì)數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題

葉濤

高中教材沒(méi)有探討函數(shù)[y=ax與y=logax]圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，僅僅只是在同一坐標(biāo)系中畫了函數(shù)[y=12x與y=log12x]以及[y=2x與y=log2x]的圖象. 這張圖讓很多同學(xué)都誤以為：函數(shù)[y=ax（01）與y=logax（a>1）]的圖象無(wú)交點(diǎn). 這種認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的.

比如，函數(shù)[y=116x與y=log116x]有三個(gè)公共交點(diǎn)，其中有兩個(gè)公共交點(diǎn)[N112，14，N214，12]關(guān)于直線[y=x]對(duì)稱，還有一個(gè)交點(diǎn)落在直線[y=x]上.另外對(duì)于函數(shù)[y=1.1x]來(lái)說(shuō)，由于其圖象上的一點(diǎn)[2，1.21]在直線[y=x]的下方，因而它的圖象與直線[y=x]相交且有兩個(gè)交點(diǎn)，即：函數(shù)[y=1.1x與y=log1.1x]的圖象有兩個(gè)落在直線[y=x]上的交點(diǎn). 由于函數(shù)[y=ax與][y=logax（a>0][且a≠1）]互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線[y=x]對(duì)稱，可以通過(guò)討論函數(shù)[y=ax]的圖象與直線[y=x]的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定函數(shù)[y=ax與y=logax]圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

我們可以通過(guò)幾何畫板繪制出函數(shù)[y=ax（a>1）]的圖象，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)讛?shù)[a]較大時(shí)與直線[y=x]無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)?shù)讛?shù)[a]較小，非常接近1[a>1]時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)[01）]的圖象與直線[y=x]的交點(diǎn)情形.

如下圖在指數(shù)函數(shù)[y=ax（a>1）]的圖象上，先求斜率為1的切線與[y=ax（a>1）]相切的切點(diǎn)[P]的坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)[P]與直線[y=x]的相對(duì)位置確定函數(shù)[y=ax]的圖象與直線[y=x]的交點(diǎn)情形，亦即：令[y=axlna=1]得，[x=-loga（lna）.]

切點(diǎn)坐標(biāo)[P-loga（lna），1lna]，若點(diǎn)[P]在直線[y=x]上即[-loga（lna）=1lna得，a=e1e].

（1）當(dāng)[a=e1e]時(shí)，函數(shù)[y=ax]的圖象與直線[y=x]相切于點(diǎn)[P（e，e）.]

（2）當(dāng)[a>e1e]時(shí)，[lna>1e， ∴0<1lna

則有[loga1lna

此時(shí)切點(diǎn)[P-loga（lna），1lna]在直線[y=x]的上方，也即[y=ax（a>e1e）]的圖象恒在直線[y=x]的上方，函數(shù)[y=ax]的圖象與直線[y=x]無(wú)交點(diǎn).

（3）當(dāng)[1e]，

則有[loga1lna>logae]，[∴-logalna>1lna].

此時(shí)切點(diǎn)[P-loga（lna），1lna]在直線[y=x]的下方，也即[y=ax（1

由上述分析不難得到以下定理.

定理1 對(duì)于指數(shù)函數(shù)[y=ax（a>1）]的圖象，當(dāng)[a=e1e]時(shí)，其與直線[y=x]相切于點(diǎn)[P（e，e）]；當(dāng)[a>e1e]時(shí)，它恒在直線[y=x]的上方；當(dāng)[1

由于函數(shù)[y=ax與y=logax（a>0且a≠1）]互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線[y=x]對(duì)稱，因此有以下結(jié)論.

定理2 對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)[y=logax（a>1）]的圖象，當(dāng)[a=e1e]時(shí)，其與直線[y=x]相切于點(diǎn)[P（e，e）]；當(dāng)[a>e1e]時(shí)，它恒在直線[y=x]的下方；當(dāng)[1

定理3 對(duì)于函數(shù)[y=ax（a>1）與y=logax（a>1）]的圖象，當(dāng)[a=e1e]時(shí)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)[a>e1e]時(shí)，它們沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)[1

當(dāng)[0

[練習(xí)]

1. 在[P（1，1），Q（1，2），M（2，3）和N（12，14）]四點(diǎn)中，函數(shù)[y=ax]的圖象與其反函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)只可能是點(diǎn)（ ）

A. [P] B. [Q] C. [M] D. [N]

2. 下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）

A. 若點(diǎn)（2，3）在函數(shù)[y=ax]的圖象上，則點(diǎn)（3，2）必在函數(shù)[y=logax]的圖象上

B. 函數(shù)[y=ax]的圖象必過(guò)點(diǎn)（0，1），就是說(shuō)函數(shù)[y=logax]的圖象必過(guò)點(diǎn)（1，0）

C. 若點(diǎn)[m，n]既在函數(shù)[y=ax]的圖象上，又在函數(shù)[y=logax]的圖象上，則[m=n]

D. 函數(shù)[y=logax]的圖象與直線[y=x]不一定有交點(diǎn)

3. 對(duì)于問(wèn)題“函數(shù)[f（x）=ax（a>1）]與其反函數(shù)[f-1（x）=logax]的圖象有多少個(gè)公共點(diǎn)？”有如下觀點(diǎn)：（1）當(dāng)[a>1]時(shí)兩函數(shù)圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，只有當(dāng)[01）]的圖象與直線[y=x]的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，為此可構(gòu)造函數(shù)[F（x）=ax-x（a>1），]然后利用[F（x）]的最小值進(jìn)行討論.

請(qǐng)參考上述觀點(diǎn)，并判斷以下結(jié)論正確的是 （填寫序號(hào)）.

①當(dāng)[a>e1e]時(shí)，函數(shù)[f（x）=ax（a>1）]的圖象與直線[y=x]沒(méi)有公共點(diǎn)

②當(dāng)[a>e1e]時(shí)，函數(shù)[f（x）=ax（a>1）]的圖象與直線[y=x]有兩個(gè)相異公共點(diǎn)

③當(dāng)[a=e1e]時(shí)，函數(shù)[f（x）=ax（a>1）]的圖象與直線[y=x]沒(méi)有公共點(diǎn)

④當(dāng)[a=e1e]時(shí)，函數(shù)[f（x）=ax（a>1）]的圖象與直線[y=x]有惟一的公共點(diǎn)

⑤當(dāng)[11）]的圖象與直線[y=x]沒(méi)有公共點(diǎn)

⑥當(dāng)[11）]的圖象與直線[y=x]有兩個(gè)相異的公共點(diǎn)