全等三角形的證明習(xí)題難度控制研究

崔路

【摘 要】通過控制習(xí)題難度，可以向不同學(xué)生提供不同水平的習(xí)題，符合因材施教與循序漸進(jìn)的原則。使用習(xí)題難度模型和點(diǎn)數(shù)法對全等三角形的證明一節(jié)的習(xí)題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)習(xí)題難度模型適用性不強(qiáng)，可以與點(diǎn)數(shù)法結(jié)合來控制習(xí)題難度。

【關(guān)鍵詞】全等三角形的證明；習(xí)題難度

因材施教、循序漸進(jìn)，是中國傳統(tǒng)教學(xué)的重要思想。在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)作業(yè)在數(shù)量、形式與難易程度上難以照顧所有學(xué)生的需求。已有研究建議教師之間可以加強(qiáng)合作，每個(gè)教師設(shè)計(jì)一個(gè)層次的作業(yè)，建立作業(yè)題庫，可供教師在題庫中選擇適合本班學(xué)生的作業(yè)。但沒有解決習(xí)題難度上的問題。

1.習(xí)題難度模型

鮑建生在對中英兩國的課程難度進(jìn)行比較時(shí)，提出了“數(shù)學(xué)習(xí)題課程綜合難度模型”。該模型含有五個(gè)難度的因素，分別為知識含量、運(yùn)算水平、背景水平、探究水平和推理水平五個(gè)因素，其中因素又分為不同的層次。吳立寶、王建波、曹一鳴認(rèn)為：習(xí)題難度=0.38 知識水平+0.36 知識點(diǎn)個(gè)數(shù)+0.26背景。

2.點(diǎn)數(shù)法

點(diǎn)數(shù)法主要應(yīng)用于幾何題，把推理的每一個(gè)條件或結(jié)果算作一點(diǎn)，一個(gè)條件推出多個(gè)結(jié)論或多個(gè)條件推出一個(gè)結(jié)論時(shí)，每個(gè)條件再加一點(diǎn)。對于圖形復(fù)雜的情況再增加點(diǎn)數(shù)，如：必須做輔助線加兩點(diǎn)，由圖可知得出條件加一點(diǎn)。使用最終結(jié)論處點(diǎn)數(shù)和作為證明難度的指標(biāo)。

3.難度分析

全等三角形的證明是初中幾何的重要組成部分，是軸對稱圖形、四邊形的重要基礎(chǔ)。對人民教育出版社2013版八年級上第12章第二節(jié)全等三角形中例題（L）、練習(xí)（按順序分為練習(xí)1到4）和習(xí)題（X）的題號（TH）、探究水平（S）、背景（B）、運(yùn)算（Y）、推理（T）、知識點(diǎn)數(shù)量（Z）進(jìn)行分析，得出每道題的點(diǎn)數(shù)（D）和難度（N）。部分題目分析如下：

全等三角形的證明部分的習(xí)題各維度中的各個(gè)水平比重明顯不均，作業(yè)分層可能存在問題，在一個(gè)維度上水平明顯聚集的習(xí)題，難度計(jì)算可能存在較大誤差。

使用SPSS對點(diǎn)數(shù)和探究水平、背景、推理、知識點(diǎn)做回歸分析，發(fā)現(xiàn)探究水平、背景的系數(shù)均為負(fù)數(shù)，也就是探究水平、背景越高習(xí)題的點(diǎn)數(shù)越低，這明顯違背常識，推理與知識點(diǎn)數(shù)量系數(shù)為正。使用SPSS對點(diǎn)數(shù)和難度進(jìn)行相關(guān)分析，發(fā)現(xiàn)存在相關(guān)性，但相關(guān)度為0.384，屬于低相關(guān)。對點(diǎn)數(shù)和其他各項(xiàng)做相關(guān)分析，點(diǎn)數(shù)與推理水平相關(guān)系數(shù)為0.645，與知識點(diǎn)個(gè)數(shù)相關(guān)系數(shù)為0.773，與探究水平相關(guān)系數(shù)為0.526，與背景相關(guān)系數(shù)為0.26，另外知識點(diǎn)與推理水平相關(guān)系數(shù)為0.748。點(diǎn)數(shù)法的計(jì)數(shù)方法主要受推理水平和知識點(diǎn)數(shù)量影響，全等三角形部分的背景對點(diǎn)數(shù)影響不足，而探究水平與推理水平的分析方法接近。吳立寶等人的習(xí)題難度模型考慮題目的探究水平、知識點(diǎn)數(shù)量、背景，鮑建生將證明分為3個(gè)層次并不適用于幾何證明題。習(xí)題3僅比例3，練習(xí)1.1多1步，難度卻是2.62和1.36，例4的點(diǎn)數(shù)是練習(xí)1.1的兩倍，比練習(xí)1.1多了知識點(diǎn)“三角形內(nèi)角和為180°”，推理步驟“三角形內(nèi)兩對角相等則第三個(gè)角也相等”。點(diǎn)數(shù)法中應(yīng)該減少同理可得的點(diǎn)數(shù)，習(xí)題難度模型在幾何部分也要增加推理的層次。

4.習(xí)題難度控制

三角形部分的習(xí)題，從習(xí)題難度模型考慮，難度主要是通過知識點(diǎn)數(shù)量、背景的有無來控制，探究水平可能控制不夠精細(xì)，從點(diǎn)數(shù)法考慮，難度主要由推理的長度、知識點(diǎn)數(shù)量控制。幾何部分復(fù)雜的背景較少，在學(xué)習(xí)勾股定理之后的四邊形部分時(shí)，計(jì)算維度就會明顯影響習(xí)題的難度，探究水平要在高難度的綜合題出現(xiàn)時(shí)才會有較大的區(qū)分度。全等三角形部分，難度主要由知識點(diǎn)數(shù)量、推理長度、背景的有無來控制。

如例3與例4都是考察ASA，例4比例3增加了知識點(diǎn)“三角形內(nèi)角和”和推理步驟“三角形內(nèi)兩對角相等則第三個(gè)角也相等”；習(xí)題11比例3增加了知識點(diǎn)“兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等”及相應(yīng)的證明步驟；練習(xí)3.2比例3增加了情境。

5.小結(jié)與建議

對教材全等三角形證明部分的習(xí)題整理發(fā)現(xiàn)，習(xí)題難度模型并不適用于全等證明這樣的維度偏向明顯的章節(jié)，可以結(jié)合點(diǎn)數(shù)法來考慮幾何部分的習(xí)題難度，增加同一難度的習(xí)題數(shù)量或調(diào)整習(xí)題難度。

該研究不足在于：選擇全等三角形證明一節(jié)的教材習(xí)題，范圍較小，由于條件限制，沒有對學(xué)生進(jìn)行測試以獲取實(shí)踐的正確率，來確定點(diǎn)數(shù)法和難度模型的效果。后續(xù)可以對點(diǎn)數(shù)法進(jìn)行優(yōu)化，修改現(xiàn)有難度模型以適應(yīng)不同知識模塊。

【參考文獻(xiàn)】

[1]鮑建生.中英兩國初中數(shù)學(xué)課程綜合難度的比較研究[D].上海：華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文，2002

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[3]（日）中西知真紀(jì)等.幾何證明的難度分析—難度的點(diǎn)數(shù)化表示法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，1983，03：26-28

（作者單位：遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院）