淺析三角形教學(xué)中的分類討論思想

饒良鑫

摘 要：初中數(shù)學(xué)中的分類討論思想是近幾年常州市中考的熱門考點(diǎn)之一，幾乎每年分類討論思想都有出現(xiàn)在考題中，它是教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，分類討論思想不僅在數(shù)學(xué)學(xué)科中涉及，在其他理科中也經(jīng)常使用。分類討論思想中蘊(yùn)含嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，也可以鍛煉學(xué)生的思維和想象力，特別是在考查幾何問(wèn)題時(shí)，重點(diǎn)闡述了初中幾何教學(xué)中的分類討論思想，三角形問(wèn)題中的分類討論頻繁地出現(xiàn)在常州中考的壓軸題中，它的重要性不言而喻。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；三角形；分類討論思想

一、問(wèn)題提出

分類討論思想的基本要求首先是不重復(fù)、不遺漏，分類討論思想可以培養(yǎng)學(xué)生思維的連貫性和有序性，培養(yǎng)學(xué)生完整細(xì)致地分析問(wèn)題的習(xí)慣和探索問(wèn)題的能力，提高學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生碰到這類問(wèn)題常常不知道如何切入，更不知道要分類討論解答，還有一類學(xué)生清楚分類討論，但是分類不完整，其次分類完整的學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中也會(huì)出現(xiàn)一些小問(wèn)題，而能完整解答的微乎其微。因此，教師教學(xué)中對(duì)這種解題思路方法的滲透顯得尤為重要，學(xué)生要從平時(shí)的教學(xué)中積累和提煉、總結(jié)歸納。最后達(dá)到運(yùn)用非常熟練，這將是一個(gè)漫長(zhǎng)的吸收內(nèi)化的過(guò)程。幾何中的三角形中涉及分類討論思想的題型有等腰三角形、直角三角形、相似三角形等；等腰三角形經(jīng)常按頂角和低角分類、按底邊或腰進(jìn)行分類。直角三角形一般情況是按直角頂點(diǎn)分類。相似三角形中，當(dāng)出現(xiàn)“△ABC與△DEF相似”或“以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似于△DEF ”時(shí)，由于點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，通過(guò)分類討論才能更清晰、更完整地解答。

二、核心概念

所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對(duì)象分成幾類，分別進(jìn)行討論來(lái)解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。分類思想可不像一般的數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過(guò)幾節(jié)課的教學(xué)就可讓學(xué)生掌握應(yīng)用。而是要根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)各階段的認(rèn)知水平，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富自身的內(nèi)涵，從而達(dá)到利用數(shù)學(xué)分類討論方法來(lái)解決問(wèn)題的目的。分類討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性，對(duì)培養(yǎng)初中生全面、周密地分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力起到了十分關(guān)鍵的作用。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中我們要時(shí)刻滲透分類思想，引導(dǎo)學(xué)生多利用分類討論方法解決問(wèn)題。

三、分類討論思想解題的思維過(guò)程分析

在運(yùn)用分類的思想進(jìn)行解題時(shí)，其思維過(guò)程通?？梢苑譃椋海?）要明確是否需要分類討論；（2）確定分類的對(duì)象；（3）確定分類的標(biāo)準(zhǔn)；（4）逐類逐級(jí)分類討論；（5）綜合、歸納結(jié)論。運(yùn)用分類的思想解題首先需要明確分類討論的原因，即哪些問(wèn)題常常需要用到分類的思想來(lái)解決。大多數(shù)的學(xué)生在面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不易判斷此問(wèn)題是否需要用到分類的方法來(lái)解決該問(wèn)題，即無(wú)法根據(jù)問(wèn)題的條件和結(jié)論迅速辨認(rèn)問(wèn)題中與分類有關(guān)的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系。因此，從所給的問(wèn)題情境中，正確而迅速地辨認(rèn)題目中與分類有關(guān)的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系的，是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，一般的說(shuō)，當(dāng)我們研究的問(wèn)題是下列幾種的情形時(shí)，可以考慮使用分類的思想方法來(lái)解決問(wèn)題。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中逐步恰當(dāng)?shù)貪B透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既是符合新課程的標(biāo)準(zhǔn)，又是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)極好的切入點(diǎn)。數(shù)學(xué)中的分類討論思想不但是一種重要的數(shù)學(xué)思想，而且是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法，分類思想不但在數(shù)學(xué)知識(shí)的探究和概念學(xué)習(xí)中十分重要，而且在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中起著不可替代的作用。數(shù)學(xué)中的分類討論思想，是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類進(jìn)行研究，從而解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，更是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。

四、實(shí)例分析

【分析】分CP=CO，PC=PO和OC=OP三種情況分別討論即可。在每種情況下分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，利用三角形相似的原理加以解決，本題對(duì)學(xué)生的能力要求較高，有的學(xué)生望而卻步，有的學(xué)生可能只想到了其中的一種或兩種情況?？紤]到題目考查了分類討論的思想，這樣的學(xué)生已經(jīng)是非常了不起了，接下來(lái)就要通過(guò)一些方法加以解決，筆者認(rèn)為這道題只是常州中考題中涉及分類討論思想的其中一例，還有很多就不一一列舉。在今后的教學(xué)中還要加以提煉和總結(jié)，對(duì)不同層次的學(xué)生在滲透分類討論思想的教學(xué)過(guò)程中還需要因人而異，不僅是分類討論思想是這樣，其他初中數(shù)學(xué)中涉及的思想方法應(yīng)該加以研究落實(shí)。

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