空間多點人工地震動幅值收斂性研究

吳祚菊，張建經(jīng)，王志佳，吳興序，汪明元

(1.西南交通大學土木工程學院，四川成都610031；2.中國電建集團華東勘測設計研究院有限公司，浙江杭州310014)

空間多點人工地震動幅值收斂性研究

吳祚菊1，張建經(jīng)1，王志佳1，吳興序1，汪明元2

(1.西南交通大學土木工程學院，四川成都610031；2.中國電建集團華東勘測設計研究院有限公司，浙江杭州310014)

在空間相關性人工地震動生成中，計算的繁雜和局部場地收斂性與幅值收斂性之間存在的矛盾，是時域合成法中的兩大主要問題。為了簡化計算，同步實現(xiàn)局部場地及地震動幅值的雙重收斂性，在對相位角分布進行深入研究的基礎上，構建了空間多點人工地震動幅值收斂因子，并采用虛實分離法來分解功率譜矩陣。結果表明，該方法生成的多點人工地震動計算快速，且幅值穩(wěn)定收斂。

地震動合成；空間相關；幅值收斂性；相位角分布；虛實分離法

引 言

在過去的幾十年中，國內(nèi)外學者提出了多種空間相關性人工地震動場的合成方法，這些方法主要可分為兩類：時域調制法［1-4］，頻域調制法［6-8］。其中，歷經(jīng)反復實踐檢驗，理論體系較成熟而且應用最為廣泛的是時域調制法，它采用窄頻余弦信號雙求和的級數(shù)形式作為空間地震動場的合成模型，模型中包含兩個運動耦合系數(shù)和一個初始隨機相位角，對耦合系數(shù)及隨機相位角的求解即為空間相關人工地震動的生成的兩個主要過程。

在時域調制法中，應用最早的是 Hao［1］的空間相關地震動模型，其他的都是在其研究基礎上進行了改進。但在該模型的合成公式中，只考慮了研究質點之前一定影響范圍之內(nèi)各個質點的運動影響，而沒有考慮研究質點之后所有質點的影響。

后來，屈鐵軍［2］對該傳統(tǒng)時域合成方法進行了改進，認為空間研究質點不僅受到其之前所有質點的影響，還受到其之后的所有質點的運動耦合影響，在思維上有了很大突破，但由于其在對功率譜矩陣分解時采用了cholesky分解法，沒能使這一想法真正得以實現(xiàn)(因為cholesky分解法只能將互功率譜密度矩陣分解為兩個三角陣，當取上三角陣時，下三角區(qū)的元素全部為0，當其參與矩陣運算時，會失去研究質點之后所有質點的運動信息)。

為了使生成的人工地震動具有更好的空間相關性，真正能考慮到研究質點影響范圍內(nèi)所有質點的運動耦合，吳勇信［3］等采用了特征正交分解法來進行數(shù)學開方運算。用該方法將功率譜矩陣分解后，形成了兩個共軛對稱的Hermite矩陣，成功避免了cholesky分解法中因只能形成兩個三角陣而會失去研究質點之后所有質點運動信息的缺陷，從而達到了真正的空間相關性。但是，由于該方法直接對復數(shù)矩陣(功率譜矩陣為復數(shù)矩陣)進行操作，分解時需要求得該復數(shù)矩陣的特征值和特征向量，因而計算過程較為復雜，計算效率不高，其應用和推廣也因此受到了一定限制。

此后，董汝博［4］發(fā)現(xiàn)，以上3種地震動的合成模型中都存在一問題，那就是不具備局部場地的收斂性。因此，其在前人的研究基礎上進行了改進，將初始隨機相位角從一個雙變量函數(shù)改成了單變量函數(shù)，從而達到了局部場地上的收斂性。但需要指出的是，當研究質點不斷增多時，該模型會導致振幅的逐漸發(fā)散，最后無法收斂。針對以上存在的兩方面問題，本文進行了如下改進：一方面，本文在該合成模型基礎上，首次加入幅值收斂因子，使其在具有局部場地收斂性的同時，又具有地震動幅值的收斂性；另一方面，本文在吳勇信［3］的功率譜矩陣分解方法上進行了改進，首次將虛實分離法引入功率譜矩陣分解中，即先將功率譜矩陣進行虛實分離，分離后，只需求解一個實對稱陣的特征值和特征向量，然后再將虛部添加，即可形成兩個Hermite矩陣。這種方法避免了直接對復數(shù)矩陣進行分解，因此計算更為方便快速。

1 原始地震動模型

原始地震動模型采用窄頻余弦信號雙求和的級數(shù)形式，其中包含兩個運動耦合系數(shù)和一個初始隨機相位角，對耦合系數(shù)及隨機相位角的求解即為空間相關人工地震動生成的兩個主要過程，該模型具體如下［1-3］

式中 ωk為圓頻率(角速度)；t為時間變量；ajm(ωk)，θjm(ωk)為各質點間的運動耦合系數(shù)，它們分別表示當j質點為研究對象時，m質點的運動對j質點產(chǎn)生的幅值和相位的影響，當m從1變到n時，所有研究質點對j點的影響均能夠考慮進去；φmk為初始隨機相位角，m代表不同研究質點對初始隨機相位角的影響，而k表示頻率的變化對初始隨機相位角的影響。

1.1 原始地震動模型的求解

1.1.1 建立功率譜矩陣

先采用第一點處的加速度峰值(PGA)，計算出第一點處的白噪聲功率譜密度S0，然后按照往后各點與第一點間的土層厚度差Δh和震中距差Δx來修正S0，從而得到往后各點的白噪聲功率譜密度。計算公式為

功率譜矩陣的主對角線元素為自功率譜模型，本文采用修正Kainan模型(Feng和Hu模型)。該模型的表達式為

其中：

式中 ω為功率譜模型的自變量，表示頻率；ωg為場地的基頻；ωc為低頻截止頻率；ξg為場地的阻尼；tmax為持時，var為調整參數(shù)。

功率譜矩陣主對角以外的元素為互功率譜密度函數(shù)，具體形式如下

式中 ρ1，ρ2為待擬合參數(shù)；｜dij｜為兩點之間的距離；dij為從j點到i點的矢量，有正負之分；si(ω)為i點處的自功率譜；sj(ω)為j點處的自功率譜；va(ω)為波從i點傳到j點的平均視波速。

1.1.2 虛實分離法分解功率譜矩陣

為了計算快速方便，且具有真正意義上的空間相關性，本文首次采用虛實分離法來分解功率譜矩陣。其實現(xiàn)過程如下：

先將功率譜矩陣進行虛實分離

式中 Rnn(ωk)為實對稱矩陣，很容易分解為Rnn(ωk)=PΛP-1，其中，P為Rnn(ωk)的特征向量矩陣，Λ為Rnn(ωk)的特征值矩陣；d1，d2，…，dn為各質點的坐標；vapp為相應計算點處的視波速。

求得P及Λ后，即可得矩陣的開方分解矩陣為

這里，Unn(iωk)即為所求的功率譜分解后矩陣。

式中 Unn(iωk)=UHnn(iωk)，H表示共軛轉置。

1.1.3 利用分解功率譜矩陣求解耦合系數(shù)

改為經(jīng)過本文的1.1.1與1.1.2節(jié)的計算后，獲得功率譜矩陣sij(iω)，并開方分解得到一個共軛陣UHnn(iωk)，假設矩陣中第j行，第m列的元素為Ujm(iωk)，根據(jù)Ujm(iωk)與式(1)中運動耦合系數(shù)ajm，θjm的關系［2-4］，便可求解出式(1)中的運動耦合系數(shù)。其具體關系式如下：

1.2 原始模型中各參數(shù)的取值

原始地震動模型的各參數(shù)取值如下：

①自功率譜中各參數(shù)的取值［3］：ωg=10 rad/s，ωc=1.8 rad/s，ξg=0.5，tmax=25 s。

②白噪聲功率譜強度參數(shù)取值［3］：Ω=21.963 rad/s，var=125.529，PGA=0.18g。

③相關函數(shù)中的ρ1，ρ2按Feng和Hu模型［17］取值：

ρ1=2×10-5s/m，ρ2=88×10-51/m，va(ω)=130～350 m/s，vapp=130～350 m/s。

1.3 原始地震動模型的特點

該模型的特點是：當研究質點不斷增多時，地震動時程的幅值可以穩(wěn)定收斂；但是，當兩個研究質點的水平距離逐漸趨于0時，兩列地震動時程的相位不能趨于一致。為了詳細說明這一特性，本文構造了一個由3個質點構成的平面布置模型，具體形式如下：

圖1 各研究質點平面布置圖Fig.1 The arrangement plan of each study particle

圖2 1，2號質點時程曲線對比Fig.2 The time history curve contrast between point 1 and point 2

圖3 1，3號質點時程曲線對比Fig.3 The time history curve contrast between point 1 and point 3

圖4 2，3號質點時程曲線對比Fig.4 The time history curve contrast between point 2 and point 3

圖1 中，地震波從左側入射，其中1，2點相距較近(5 m)；2，3點相距較遠(65 m)，在該模型下，生成的人工地震動時程如圖2～4所示。距離計算之前，通常先對時間序列數(shù)據(jù)進行預處理，使得處理后的數(shù)據(jù)信息不僅能進行數(shù)據(jù)降維，而且還要保證近似的準確性。因此，PA-TWD法相對于傳統(tǒng)的DTW法而言，能夠大大減小計算的時間，有利于大規(guī)模時間序列的數(shù)據(jù)挖掘。該方法的基本

為了研究以上3個質點地震動波型的相似性，以及各波型的相似性與各質點間間距是否存在對應關系的問題，本文采取了分段聚合時間彎曲距離(PA-TWD)計算法［5］。該方法是在動態(tài)時間彎曲法(DTW)的基礎上發(fā)展起來的，其在進行時間彎曲思想是：首先對各個時間序列進行PA計算，得到以時序段平均值為元素的特征序列；然后對這些序列進行時間彎曲距離計算。

假設有時間序列Q={q1，q2，…，qm｝和C={c1，c2，…，cn｝，按分段聚合時間彎曲法分別把它們平均分成ωq和ωc個時序段，并且計算各個時序段的特征，分別可以得到兩個特征序列Q'={q'1，q'2，…，q'm｝和C'={c'1，c'2，…，c'n｝。再根據(jù)特征序列Q'和C'的元素值建立元素距離累計矩陣R，最終可以得到兩個時間序列的距離度量LDTW(Q，C)=r( m，n)。

計算后具體結果如下列表1所示。

表1 各點間的PA_TWD計算Tab.1 The calculation of PA_TWD between any two points

從以上列表中可見，各質點間距離的遠近與動態(tài)時間彎曲距離的計算值無明顯的對應關系。比如，1，2點之間的距離只有5 m，其PA-TWD值(動態(tài)時間彎曲距離)為71.3；1，3點之間的距離為70 m，但PA-TWD值(動態(tài)時間彎曲距離)卻只有70.3，反而比1，2點之間的PA-TWD值(動態(tài)時間彎曲距離)小。因此，從PA-TWD值隨兩點間距離的變化趨勢來看，當兩點之間的距離無限接近時，PA-TWD計算值不能趨近于0，即此時不能滿足真實地震動中應有的特性(兩列空間相關地震動時程在質點間距離無限小時應有的無限相似性)。

2 本文中生成的人工地震動時程

2.1 本文中功率譜矩陣分解方法的改進

在本文的人工地震動生成時，如本文中1.1.2節(jié)中所述，采用了虛實分離法分解功率譜矩陣，即先將功率譜矩陣進行虛實分離，然后再用特征正交法分解一個純實數(shù)矩陣。因此避免了傳統(tǒng)方法［3］中直接分解一個復數(shù)矩陣時計算繁雜、費時費力的缺點。文中方法僅需對一個實對稱陣進行分解，因而其計算極為快速、簡便。另外，在功率譜矩陣虛實分離后，本文采用特征正交分解法對分離出來的實對稱陣進行分解，與傳統(tǒng)的cholesky分解相比，其具有物理意義明確、空間相關性強等多方面的優(yōu)點。因為，當對功率譜矩陣作cholesky分解時，分解后只能形成兩個三角矩陣，在三角陣中，對角線之外另一半元素的缺失會使得研究質點之后所有質點的運動信息全部丟失，因而難以達到真正的空間相關性。當采用特征正交分解，分解后會生成兩個完全非零的滿秩矩陣，因而可以考慮研究質點影響范圍內(nèi)所有質點的運動耦合，從而達到真正意義上的空間相關性。

2.2 本文對初始隨機相位角的研究

如式(1)中所示，傳統(tǒng)的初始隨機相位角的表達式為φmk，但從圖2～4的研究結果可以看出，該雙變量函數(shù)構成的人工地震動模型不具備局部場地的收斂性。因此，本文將φmk修正為φk，認為初始隨機相位角只隨頻率ωk的變化而變化，其隨不同耦合質點m的變化已在耦合系數(shù)θjm(ωk)中了進行修 正［4］。

初始隨機相位角修正以后，本文中人工地震動場的局部場地收斂性如圖5～7所示。

圖5 修正后的1，2號點時程曲線對比Fig.5 The time history curve contrast between point 1 and point 2 in the modified model

圖6 修正后的1，3號點時程曲線對比Fig.6 The time history curve contrast between point 1 and point 3 in the modified model

采用修正的模型后，從以上的3幅圖形中，不用進行動態(tài)時間彎曲度的計算，便能直觀地看出：雖然地震動時程曲線的整體幅值有所增大，但相位的一致性極好，而且，當兩個點的距離無限接近時，從圖5中可以看出，該模型基本能夠達到局部場地的完全收斂。該研究結論與文獻［4］的觀點一致性較好。

圖7 修正后的2，3號點時程曲線對比Fig.7 The time history curve contrast between point 2 and point 3 in the modified model

2.3 本文對幅值收斂性的研究

在以上研究過程中，雖然相位一致性較好，基本達到了局部場地的收斂性，但需要指出的是，這種方法生成的人工地震動幅值具有發(fā)散性。即隨著研究質點的逐漸增多，同一質點的地震動幅值會逐漸發(fā)散，最終不能夠收斂。下面以某一固定質點(質點A)的地震動加速度時程為例，將同一段100 m長的場地分別按等間距劃分為6個質點、11個質點，41個質點等3種情況，具體劃分如下：

圖8 研究質點的劃分數(shù)目及 A點布置圖Fig.8 the plane of all particles division and the arrangement of point A

按照以上3種劃分情況，當初始隨機相位角滿足兩種不同的常用分布［12-14］(均勻分布及對數(shù)正態(tài)分布)時，其幅值的斂散性如圖9，10所示。

2.3.1 當初始隨機相位角呈獨立于頻率的均勻分布時

當初始隨機相位角呈獨立于頻率的均勻分布時，隨著研究質點從6個增加到41個，同一質點的地震動幅值會逐漸發(fā)散，且發(fā)散趨勢較大，其具體情況如下圖9所示。

圖9 3種不同情況下A點的地震動加速度時程對比Fig.9 The acceleration time history contrast of point Ain the three different cases

2.3.2 初始隨機相位角呈對數(shù)正態(tài)分布時

當初始隨機相位角呈對數(shù)正態(tài)分布時，隨著研究質點從6個增加到41個，同一質點的地震動幅值會隨研究質點的增多而逐漸發(fā)散，其具體情況如下圖10所示。

圖10 3種不同情況下A點的地震動加速度時程對比Fig.10 The acceleration time history contrast of point Ain the three different dcases

從圖9，10可以看出，無論采用哪一種單純的相位分布時，修正模型在滿足相位一致性較好的同時，都存在幅值發(fā)散現(xiàn)象，即隨著研究質點從6個到41個，同一質點的地震動幅值會逐漸發(fā)散。

因此，為了解決以上問題，根據(jù)真實地震動中存在的能量非均勻分布及其逐步衰減原理，本文依據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的衰減性質，經(jīng)過數(shù)千次參數(shù)試算后，構建出一個由常數(shù)項、冪函數(shù)項以及指數(shù)函數(shù)項等組成的幅值收斂因子，具體形式如下

式中 M為研究質點的個數(shù)。從以上式子可以看出，隨著M的增大，該收斂因子的函數(shù)值逐漸減小，呈現(xiàn)出與M相適應的衰減性。正是以上構造函數(shù)的這種性質，使得修正后的地震動模型具有幅值的穩(wěn)定收斂性，其幅值不會隨著研究質點的增多而逐步發(fā)散。

2.4 本文的人工地震動生成模型

經(jīng)過以上功率譜矩陣分解方法的改進，傳統(tǒng)模型中初始隨機相位角的調整，以及在此基礎上構建了幅值收斂因子后，本文的人工地震動生成模型如下

幅值收斂因子；ωk為圓頻率(角速度)；t為時間變量；ajm(ωk)，θjm(ωk)為各質點間的運動耦合系數(shù)，它們分別表示當j質點為研究對象時，m質點的運動對j質點產(chǎn)生的幅值和相位的影響；φk為初始隨機相位角。

2.5 該模型的幅值收斂性驗證

相位角向量的取值一般有兩種形式：一種認為相位角呈獨立于頻率的均勻分布［1-2］，即相位角的分布不受頻率變化的影響，其作為一個獨立的變量在［0～2π］上滿足均勻分布；另一種形式則認為雖然相位角隨頻率的變化沒有明顯的分布規(guī)律，但其相位差譜隨頻率變化呈一定的分布關系，常用的相位差譜分布有對數(shù)正態(tài)分布、beta分布［9-13］等等。但需要說明的是，在一次實際的天然地震動中，相位差譜隨頻率的分布十分復雜，往往不能滿足于某一種單純的隨機分布。因此，為了充分驗證本文中修正后模型的幅值收斂性，除了以上的兩種形式外，本文還增加了第3種情況的相位分布關系，即對從天然地震動中直接提取出相位角的情況也進行了驗證。具體情況分類如下：

2.5.1 當初始隨機相位角呈獨立于頻率的均勻分布時

當初始隨機相位角的分布滿足于獨立于頻率在［0～2π］上均勻分布時，隨著研究質點的增多，由6個增加到41個，其幅值穩(wěn)定收斂，具體情況如圖11所示。

圖11 3種不同情況下A點的地震動加速度時程對比Fig.11 The acceleration time history contrast of point Ain the three different cases

2.5.2 初始隨機相位角的相位差譜呈對數(shù)正態(tài)分布時

當初始隨機相位角的取值由相位差譜的對數(shù)正態(tài)分布決定時，其幅值收斂情況隨著研究質點的增多，由6個增加到41個，其幅值穩(wěn)定收斂，具體情況如圖12所示。

圖12 3種不同情況下A點的地震動加速度時程對比Fig.12 The acceleration time history contrast of point Ain the three different cases

2.5.3 從天然地震動中提取初始隨機相位角時

該方法是有條件模擬［15-16］中采用的，一種從天然地震動中提取相位信息的方法，即直接從一次天然的地震記錄中提取一條信息。本文中，為了解決直接獲取多條空間相關性地震記錄的困難(要求各地震記錄臺站的距離非常近)，本文利用行波效應因子來計算任意兩個研究質點之間的遲滯相位角，再根據(jù)各遲滯相位角的空間相關性來形成相位角矩陣，從而衍生出多個相位角向量。具體過程如下：

(1)相位角信息的提取

首先，選取一條比較典型的天然地震動加速度時程記錄，然后根據(jù)研究需要確定時間步長Δt，再根據(jù)該天然地震記錄的總持時和時間步長Δt確定傅立葉變換階數(shù)N；按1/Δt的采樣頻率對原地震記錄進行采樣，這樣，便得到N個點的加速度時程信息；最后，將這N個點的信息作N階FFT變換(快速傅立葉變換)，便可得到一個長度為N的相位角向量。這里，F(xiàn)FT變換階數(shù)和信息采樣點的個數(shù)是相等的。其中，F(xiàn)FT的變換公式中每個相位角對應的頻率值計算，以及時間步長與步長之間的關系如下：

計算傅立葉譜的FFT公式為

式中 am(tk)為選取的天然地震動時程曲線，tk為時間離散值，N為傅立葉變換階數(shù)。

相位角向量φ(ωj)的提取計算式為

式中 Im表示求虛部，Re表示求實部。頻率及其步長的求法

式中 ωj表示相位角向量中第j個相位值對應的頻率，Δω為頻率步長。

(2)相位角信息的繁衍及其矩陣的形成

由于各研究質點與震源距離的不同，因而地震波到達各個質點的時間會存在一個微小的差異，這個差異則稱為行波效應。由于行波效應的存在，使得每個研究質點開始振動時的初始相位角各不相同，但與此同時，它們又滿足一定的相關性。為了模擬這種在各個研究質點之間存在的空間相關性，本文首次引入了行波效應因子，來計算任意兩個空間相關質點之間存在的遲滯相位，從而形成了一個n×n式的遲滯相位矩陣，其形式為

如前所述，式(17)等號右側部分為行波效應體現(xiàn)因子，其中各變量的意義如前所述。其中，θmr(ωj)表示式(16)矩陣中第m行第r列所對應的元素(r=1，2，…，n；m=1，2，…，n)；其物理意義為，當研究m質點的相位角生成時，其他任意質點r的運動對m質點在窄頻帶ωj處產(chǎn)生的相位影響。

3 結論與展望

本文在現(xiàn)有研究基礎上，對人工地震動合成原理進行了詳細分析，在現(xiàn)有的合成模型上了進行初始隨機相位角修正，首次構建出幅值收斂因子來對人工地震動的幅值進行調整，從而，使得該空間相關性人工地震動在局部場地收斂的同時，具備了完整的幅值收斂性。

圖13 3種不同情況下A點的地震動加速度時程對比Fig.13 The acceleration time history contrast of point Ain the three different cases

但是，文中生成的人工地震動是通過先修正相位(董的模型)，再進行幅值修正(本文的模型)，雖然最終達到了相位一致，幅值收斂的效果，但幅值與相位的總體協(xié)調性還有待于進一步研究。目前，相位及相位差譜的研究還處于初級階段，通過只修正相位或相位差譜的某種分布(無需進行幅值調整)，來生成具有局部場地及地震動幅值同步收斂的空間相關性人工地震動場，將會成為一個很好的研究方向。

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The amplitude convergence study of artificial ground motions about special multi-points

WU Zuo-ju1，ZHANG Jian-jing1，WANG Zhi-jia1，WU Xing-xu1，WANG Ming-yuan2
(1.School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；2.Power China Huadong Engineering Corporation Limited，Hangzhou 310014，China)

In the generation of spatial correlation ground motion，there are two major problems in the time domain method，the complexity of calculation and the contradiction between local convergence and amplitude convergence.In order to simplify the calculation and realize the double convergence，on the foundation of further research about initial random phases，an amplitude convergence factor had been introduced to this paper for the first time.In addition to this，a new method had been introduced to decompose the power spectrum matrix，which separated the imaginary part from the real component.The results show that，with this method，the calculation is faster and the amplitude convergence is stable.

generation of ground motion；spatial correlative；amplitude convergence；phase distribution；method of separating imaginary part from a plural matrix

P315.9

A

1004-4523(2015)04-0610-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.014

吳祚菊(1978—)，女，博士研究生，高級工程師，國家一級注冊結構工程師，國家一級注冊土木(巖土)工程師。電話：15928467027；E-mail：wuzuoju1234@163.com

2014-10-08；

2015-04-28

國家自然基金重大研究計劃(41030742)；國防基礎科研計劃(B0220133003)；中國水電顧問集團公司重大科技項目資助：海上風電工程地質勘測關鍵技術研究(GW-KJ-2011-18)