多分量調(diào)頻信號源混合相交非正交聯(lián)合對角化盲分離

李紀(jì)永，李舜酩，田國成，陳曉紅，王 勇

(1.南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，江蘇南京210016；2.山東中實(shí)易通集團(tuán)有限公司，山東濟(jì)南250000；3.南京航空航天大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京210016)

多分量調(diào)頻信號源混合相交非正交聯(lián)合對角化盲分離

李紀(jì)永1，李舜酩1，田國成2，陳曉紅3，王 勇1

(1.南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，江蘇南京210016；2.山東中實(shí)易通集團(tuán)有限公司，山東濟(jì)南250000；3.南京航空航天大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京210016)

針對多分量調(diào)頻信號源混合相交時(shí)頻分布盲分離，提出白化-均勻加權(quán)非正交聯(lián)合對角化(Whitening-Uniformly Weighted Exhaustive Diagonalization using Gauss iteration，簡稱W-UWEDGE)方法估計(jì)混合矩陣。白化對相關(guān)信號去冗余處理，無需約束源信號概率密度形式，僅限制源之間整個(gè)時(shí)頻面上無完全重合成分，非正交聯(lián)合對角化則針對復(fù)數(shù)域。首先將非正交聯(lián)合對角化可辨識性從時(shí)延平面推廣至二次型時(shí)頻平面，然后利用基于白化處理的梯度范數(shù)選擇自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)(auto-time frequency point)，進(jìn)而利用均勻加權(quán)近似聯(lián)合對角化方法估計(jì)混合矩陣，分析Amari error值隨信噪比及時(shí)頻矩陣個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，與針對混合信號時(shí)間歷程及時(shí)頻分布的兩類分離方法進(jìn)行性能比較，顯示出所提盲分離方法的優(yōu)越性。最后應(yīng)用于轉(zhuǎn)子運(yùn)行狀態(tài)識別與齒輪復(fù)合故障源分離。仿真與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析表明所提出方法分離多分量調(diào)頻相關(guān)源的有效性。

多分量調(diào)頻信號；二次型時(shí)頻分布；白化；非正交聯(lián)合對角化；盲源分離

引 言

盲源分離中，ICA(Independent Component A-nalysis)通常假設(shè)源信號之間統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且對于相互獨(dú)立的高斯信號，經(jīng)過正交變換仍然為高斯信號，不能得到正確分離。聯(lián)合對角化將這一假設(shè)條件放寬至源信號之間互不相關(guān)，更符合實(shí)際應(yīng)用情況。對角化矩陣有時(shí)延協(xié)方差矩陣、累積量切片矩陣［1］、不同時(shí)間窗下源協(xié)方差矩陣，或其他反映源統(tǒng)計(jì)或結(jié)構(gòu)特性的矩陣等［2］。不同源信號時(shí)延協(xié)方差考慮了與之相關(guān)的臨近點(diǎn)上的信息，即利用了時(shí)序特性，有足夠的額外信息對非平穩(wěn)信號進(jìn)行盲分離，而基于高階統(tǒng)計(jì)量的ICA出現(xiàn)過學(xué)習(xí)問題，即原本屬于一個(gè)時(shí)序上的信號，被分離成兩個(gè)不相關(guān)的信號，故應(yīng)用時(shí)序特性對非平穩(wěn)信號進(jìn)行盲分離具有優(yōu)勢。

聯(lián)合對角化按照對角化矩陣是否有正交(酉)性約束，分為正交聯(lián)合對角化和非正交聯(lián)合對角化(Nonorthogonal Joint Diagonalization，簡稱NOJD)。正交需要白化預(yù)處理，其概念明晰，在早期發(fā)展的聯(lián)合對角化方法中應(yīng)用較多［3］，但白化影響了分解性能，且對于非高斯分布的信號，白化效果較差，非正交聯(lián)合對角化無需預(yù)白化處理，即無酉約束，隨酉約束松動(dòng)，需額外施加約束，文獻(xiàn)［4］提到解混矩陣的每一列需滿足單位歐幾里得范數(shù)約束條件，QRJD方法約束零延遲自相關(guān)矩陣的變換為單位矩陣［5］，即約束源信號具有單位能量值，一般來講，只有零延遲自相關(guān)矩陣為正數(shù)時(shí)，約束才有效，如果含噪，則對角化方法估計(jì)混合矩陣的精度下降。

雙轉(zhuǎn)子或三轉(zhuǎn)子燃?xì)廨啓C(jī)如航空發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)或關(guān)閉過程中，高、低壓轉(zhuǎn)子升降速時(shí)其運(yùn)行狀態(tài)時(shí)頻分布呈相交特性，此時(shí)的軸承振動(dòng)、齒輪振動(dòng)，由于諧波隨轉(zhuǎn)速變化，則往往呈多分量時(shí)頻相交分布形式，尤其是在機(jī)動(dòng)飛行中，參數(shù)變化多，且呈時(shí)變非平穩(wěn)特性，無論運(yùn)行狀態(tài)還是旋轉(zhuǎn)部件的響應(yīng)時(shí)頻變化復(fù)雜，包含多種分量［6］；在復(fù)合故障中，如齒輪的磨損與斷齒，軸承的滾動(dòng)體、內(nèi)外圈點(diǎn)蝕故障等局部故障，其間斷碰摩的耦合振動(dòng)信號時(shí)頻分布往往呈多分量相交特性，每個(gè)沖擊脈沖都可以看作一個(gè)線性調(diào)頻信號，若運(yùn)行狀態(tài)如轉(zhuǎn)速變化，則其時(shí)頻分布更加復(fù)雜。

對于線性時(shí)頻相交混合信號，文獻(xiàn)［7］利用k均值模糊聚類將計(jì)算的空間矢量分類，然后估計(jì)混合矩陣。對于二次型時(shí)頻分布，一個(gè)關(guān)鍵是自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)的選擇，文獻(xiàn)［8］設(shè)定比值閾值，計(jì)算各頻率點(diǎn)時(shí)間切片時(shí)頻分布與最大頻率點(diǎn)時(shí)間切片比值，進(jìn)而選擇自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)，然后根據(jù)聚類方法進(jìn)行空間矢量分布進(jìn)而估計(jì)混合矩陣。文獻(xiàn)［9］對混合信號時(shí)頻分布進(jìn)行特征值分解，計(jì)算各時(shí)頻點(diǎn)矩陣特征值與其總特征值比值，然后計(jì)算梯度范數(shù)，綜合得出自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)。多數(shù)文獻(xiàn)都針對單分量調(diào)頻信號源混合信號進(jìn)行非正交聯(lián)合對角化，對于多分量時(shí)頻源混合相交［10］，混合時(shí)頻分布更為復(fù)雜，其自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)的選擇方法及非正交聯(lián)合對角化方法值得進(jìn)行進(jìn)一步地研究。

本文對多分量調(diào)頻源混合相交信號進(jìn)行白化-非正交聯(lián)合對角化，進(jìn)而估計(jì)混合矩陣。利用預(yù)白化去除相關(guān)冗余成分，無需假設(shè)源信號概率密度形式，利用均勻加權(quán)分布非正交聯(lián)合對角化方法估計(jì)分離矩陣，對時(shí)頻矩陣進(jìn)行范數(shù)約束，研究Amari error值隨信噪比及時(shí)頻矩陣個(gè)數(shù)變化特性。將方法應(yīng)用于實(shí)測轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號，成功識別出轉(zhuǎn)子運(yùn)行狀態(tài)；應(yīng)用于齒輪磨損與斷齒復(fù)合故障中，分離出磨損與斷齒的時(shí)頻分布。

1 二次型時(shí)頻矩陣非正交對角化可辨識性

含噪混合信號模型為

式中 x(t)=［x1(t)，…，xm(t)］T，表示m維觀測信號；s(t)為n維源信號；A為m×n滿秩混合矩陣，n(t)為獨(dú)立同分布的噪聲向量，與源信號相獨(dú)立，即δ(τ)σ2Im，Im為單位矩陣，δ為Dirac函數(shù)，上標(biāo)*代表共軛轉(zhuǎn)置，σ2為信號方差，可通過奇異值分解進(jìn)行求解。

通過辨識混合矩陣A進(jìn)行盲分離時(shí)，混合矩陣估計(jì)存在幅值及順序不確定性，即估計(jì)混合矩陣?A=ADP，D為非奇異n×n對角矩陣，P為n×n置換矩陣。

源信號協(xié)方差矩陣表示為

混合信號的協(xié)方差矩陣為

當(dāng)源信號自相關(guān)函數(shù)形狀互不相同的情況下可實(shí)現(xiàn)盲分離，即

其演變譜(evolutive spectrum)為

信號對稱形式的雙線性變換更能表現(xiàn)出非平穩(wěn)信號的重要特性［1］。其Wigner-Ville譜為

由式(5)，(6)可知，演變譜為Wigner-Ville譜的期望，即

Cohen類時(shí)頻分布表示為

式(8)即將可辨識性從二維時(shí)延平面推廣至二次型時(shí)頻平面。

推廣至更一般的情況，即混合信號的相關(guān)矩陣并不是對角矩陣，則可通過對角化混合信號的源自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)估計(jì)混合矩陣，即在觀測信號的時(shí)頻矩陣WΦxx(ti，fi)，i=1，…，k中選擇若干個(gè)i點(diǎn)，在此處只含有一個(gè)源成分，然后對其進(jìn)行對角化即可估計(jì)混合矩陣。

2 基于白化處理的自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)尋優(yōu)

對時(shí)頻相交混合信號進(jìn)行PCA分解處理，進(jìn)而得到一個(gè)n×m滿秩白化矩陣D，使得D(AA*)·D*=In，令酉矩陣U=DA，對含噪信號的噪聲子空間進(jìn)行抑制，得到白化-噪聲抑制后的時(shí)頻分布矩陣

式(9)即為解相關(guān)之后的時(shí)頻分布，滿足零延遲時(shí)頻矩陣對角分布，本文即從解相關(guān)時(shí)頻分布里尋找自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)。

由式(7)和(9)可得到解相關(guān)之后的演變譜

進(jìn)而由式(8)可得

對白化后的時(shí)頻分布進(jìn)行奇異值分解，即可得到如下關(guān)系式

式中 ε為梯度閾值，用以調(diào)整局部極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)。HC(t，f)＜0表示取極大值，滿足此條件即得到源自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)。

3 基于均勻加權(quán)最小二乘準(zhǔn)則估計(jì)混合矩陣

對于不含噪信號，估計(jì)混合矩陣的直接形式為

間接形式為

將直接及間接形式融合在一起，采取基于均勻加權(quán)最小二乘準(zhǔn)則的最小化非對角元素方法，非對角元素其最小二乘表示如下

式(16)綜合考慮了直接及間接求解解混矩陣的形式。T表示轉(zhuǎn)置，V為解混矩陣，為殘余混合矩陣，即對目標(biāo)矩陣進(jìn)行對角化后的殘余矩陣，可表示為

對于任何一組目標(biāo)矩陣，滿足條件(18)，式(17)即可得到收斂的解［2］。

針對多分量調(diào)頻源混合信號，估計(jì)混合矩陣核心步驟為：

1)利用式(9)對多分量調(diào)頻混合信號進(jìn)行白化處理得到式(11)；

2)利用式(13)梯度范數(shù)對去相關(guān)信號進(jìn)行自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)選擇；

3)將步驟2)中的時(shí)頻點(diǎn)位置對應(yīng)至混合信號時(shí)頻矩陣中，即得到源混合信號的自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)矩陣。

4)由式(17)對混合信號的自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)進(jìn)行非正交聯(lián)合對角化，估計(jì)混合矩陣。

4 時(shí)頻相交仿真信號盲分離

構(gòu)造多分量線性調(diào)頻信號：

其中，采樣頻率為500 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為512，t的范圍是［0 1.024 s］。

源信號的時(shí)間歷程及時(shí)頻圖如圖1所示。

圖1 源信號時(shí)間歷程及時(shí)頻分布Fig.1 Signal time history and TFdistribution

利用基于白化處理的梯度算法得到混合信號的自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)分布如圖2所示。

圖2 自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)分布Fig.2 Autosource TFpoints distribution

對混合信號自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)進(jìn)行均勻加權(quán)盲分離結(jié)果如圖3所示，直觀上與圖1對比，可知采用 WUWEDGE取得了比較理想的結(jié)果，其amri error值為0.004 7，一般認(rèn)為amri error值在10-3數(shù)量級時(shí)能達(dá)到較好分離效果。

圖3 分離信號時(shí)頻分布Fig.3 Demixed signal TFdistribution

圖4為進(jìn)行多次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)(即混合矩陣隨機(jī)，本文多次即指100次左右)下所得Amari error平均值，隨著信噪比減小，分離性能迅速下降，但在信噪比較大(本文約大于6)時(shí)能識別出源信號，故本文所提出的方法有明顯的抗噪聲干擾能力。

圖4 Amari error平均值隨信噪比變化Fig.4 Mean Amari error value under different SNR

圖5為不同時(shí)頻個(gè)數(shù)下Amari error平均值?？梢钥闯?，Amari error值并非與時(shí)頻矩陣個(gè)數(shù)成線性比例，存在一個(gè)最佳個(gè)數(shù)，在本文中，利用基于白化處理的梯度范數(shù)計(jì)算方法選取了2 216個(gè)3×3時(shí)頻矩陣，進(jìn)行非正交聯(lián)合對角化的最佳個(gè)數(shù)在1 200～1 300之間，這是由于在進(jìn)行聯(lián)合對角化時(shí)存在估計(jì)誤差，而在實(shí)際應(yīng)用中，不可避免地存在噪聲的影響，可多次嘗試去選取適當(dāng)?shù)臅r(shí)頻矩陣個(gè)數(shù)進(jìn)行盲分離，總體上看，隨著個(gè)數(shù)增多，Amari errror值趨向平穩(wěn)，能得到滿意的分離效果。

圖5 Amari error值隨矩陣個(gè)數(shù)變化Fig.5 Amari error value under different TFmatrix number

用不同方法對信號進(jìn)行盲分離的效果比較如表1所示，所選取的對比方法分為兩類，一類直接對混合信號進(jìn)行分解，所采取的對比方法有SOBI(Second-order blind identification)，F(xiàn)ASTICA，WASOBI(Weights Adjusted SOBI)［11］，BGSEP(Block Gaussian Separation)［2］，BARBI(Block-wise Stationary Autoregressive BI)［12］。這幾種方法針對混合源信號進(jìn)行盲分離，但都不是針對混合相關(guān)源信號，且對源信號概率密度亦有限制，分離效果如表1所示，并不能有效分離出相關(guān)源信號。另一類針對本文的二次型時(shí)頻矩陣，選取了幾個(gè)典型方法，包括LU分解LUJD，QR分解QRJD［5］，AC-DC［3］，非均勻加權(quán)WEDGE分解BGWEDGE［2］，通過對比可知，本文所提出白化-非正交聯(lián)合對角化方法能比較好地分離出相關(guān)源信號。

表1 多次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)計(jì)算的Amari error平均值Tab.1 Mean Ameri-erro valuae under a number of random numerical simulation

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

5.1 轉(zhuǎn)子運(yùn)行狀態(tài)識別

兩轉(zhuǎn)子共同固定在同一基座上，分別由電機(jī)驅(qū)動(dòng)，如圖6所示。其中1#進(jìn)行加速運(yùn)轉(zhuǎn)，從大約480 r/min加速至720 r/min左右；2#進(jìn)行轉(zhuǎn)速呈正弦狀態(tài)的運(yùn)轉(zhuǎn)，幅值在560 r/min至960 r/min間變化，布置兩個(gè)互相垂直的渦流傳感器監(jiān)控1#轉(zhuǎn)子及2#轉(zhuǎn)子的位移變化，采樣頻率1 k Hz，截取10 s鐘信號，所測得的混合信號時(shí)間歷程如圖7所示。

圖6 轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)裝置Fig.6 Rotor experiment apparatus

混合信號時(shí)頻分布如圖8所示，兩個(gè)源混合在一起，由于噪聲及混合矩陣的影響，加速狀態(tài)雖顯示不明顯，但仍可看出為時(shí)頻相交混合信號。

圖7 混合信號位移時(shí)間歷程Fig.7 Mixed signal displacement time history

圖8 混合信號時(shí)頻分布圖Fig.8 Mixed signal TFdistribution

對混合時(shí)頻進(jìn)行分離，即首先對傳感器測得的混合信號進(jìn)行白化預(yù)處理得到自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)位置，對所有選取的時(shí)頻矩陣進(jìn)行聯(lián)合對角化估計(jì)混合矩陣，未降噪處理的混合振動(dòng)信號盲分離結(jié)果如圖9所示。

對混合信號進(jìn)行降噪處理，進(jìn)行源自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)選擇，然后對源自項(xiàng)時(shí)頻分布點(diǎn)進(jìn)行非對角聯(lián)合正交化盲分離，所得振源時(shí)頻分布結(jié)果如圖10所示，與未降噪時(shí)的圖8相比，轉(zhuǎn)子的運(yùn)行狀態(tài)能更明晰地反映出。從另一個(gè)方面講，在不進(jìn)行降噪情況下，能夠大體看出來轉(zhuǎn)子運(yùn)行變化趨勢，說明了方法具有一定的抗噪性。

圖9 轉(zhuǎn)子振源盲分離時(shí)頻分布Fig.9 Rotor vibration TFdistribution

圖10 降噪信號盲分離時(shí)頻分布Fig.10 Denoised signal TFdistribution after BSS

5.2 齒輪復(fù)合故障振源分離

圖11 齒輪箱示意圖Fig.11 Schematic of gearbox

齒輪箱示意圖如圖11所示。運(yùn)行過程中，轉(zhuǎn)速在1 470 r/min上下輕微浮動(dòng)約2 r/min，未施加負(fù)載，輸入輸出軸各有一個(gè)加速度傳感器，所測方向相同。共有恒定轉(zhuǎn)速下的大齒輪斷齒故障、小齒輪磨損故障、大齒輪斷齒-小齒輪磨損復(fù)合故障。

圖12為大齒輪斷齒-小齒輪磨損復(fù)合故障時(shí)頻分布，由于沖擊的影響，時(shí)頻分布呈間斷特性，沖擊與引起的固有振動(dòng)等分量混合在一起，無論是從能量分布還是從邊頻帶分布都難以區(qū)分?jǐn)帻X和磨損故障，經(jīng)過本文方法的分離，其結(jié)果如圖12所示，從能量分布上進(jìn)行判別，可知，與磨損相比斷齒的沖擊特性更明顯，且較高頻帶40～100 Hz分量能量值不如磨損故障明顯。這與相同運(yùn)行狀態(tài)下單故障源時(shí)頻一致，限于篇幅，單一故障下齒輪振動(dòng)信號時(shí)頻圖未給出。

圖12 復(fù)合故障齒輪信號時(shí)頻分布Fig.12 Composite gear fault signal TFdistribution

圖13 故障源分離信號時(shí)頻分布Fig.13 Separated fault sources TFdistribution

采用信號干擾比評定分離效果［13］，信號干擾比定義如下

式中 s為源信號的時(shí)頻分布，y為恢復(fù)信號的時(shí)頻分布。一般在SIR＞10 dB時(shí)即可認(rèn)為源信號得到有效分離。

表1為不同方法的計(jì)算結(jié)果，通過對比可知，本文方法能夠?qū)?fù)合故障源有效分離出來。

表2 不同盲分離方法SIR值Tab.1 SIR valuae under different BSS methods

6 結(jié) 論

(1)多分量調(diào)頻混合信號二次型時(shí)頻分布非正交聯(lián)合對角化盲分離可辨識性可由時(shí)延相關(guān)矩陣推廣得到，對于非平穩(wěn)相關(guān)源信號，通過尋找源自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)進(jìn)行非正交聯(lián)合對角化，可成功實(shí)現(xiàn)盲分離。

(2)利用白化對對分量調(diào)頻源相交信號去冗余處理，選取自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)位置，無需計(jì)及源統(tǒng)計(jì)特性，準(zhǔn)確識別出源信號自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)的位置，進(jìn)而結(jié)合均勻加權(quán)非正交聯(lián)合對角化方法進(jìn)行分解，無需對源信號白化處理，提高了分離效率。

(3)與其他典型方法包括針對信號及針對時(shí)頻矩陣的算法相比，本文所提方法分離效果具有明顯優(yōu)勢，這是得益于將白化預(yù)處理應(yīng)用至相關(guān)源中進(jìn)行去冗余處理，對源概率密度及二階相關(guān)性無特別要求，進(jìn)行計(jì)算自項(xiàng)時(shí)頻點(diǎn)時(shí)減小了誤差。由于對角化累積誤差，存在最佳自項(xiàng)時(shí)頻矩陣個(gè)數(shù)，但總體上，隨著對角化個(gè)數(shù)增大，其分離效果趨于平穩(wěn)。

(4)非正交聯(lián)合對角化二次型時(shí)頻相交信號，利用了時(shí)序特性，數(shù)學(xué)意義明確，仿真及實(shí)驗(yàn)表明，所提方法具有明顯抗噪能力，能夠在含噪情況下分離隱含的分量。通過對轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號降噪處理，能清晰反映轉(zhuǎn)子運(yùn)行狀態(tài)；針對斷齒與磨損復(fù)合齒輪故障源，時(shí)頻分布呈沖擊特性，具有較多分量，所提方法能分離出斷齒與磨損復(fù)合故障源。

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NOJD for multi-components FMsource mixed signal separation based on time-frequency distributions

LI Ji-yong1，LI Shun-ming1，TIAN Guo-cheng2，CHEN Xiao-hong3，WANG Yong1
(1.College of Energy and Power Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China；2.Shandong Zhongshi Yitong Group Co.，Ltd.，Jinan 250000，China；3.College of Science，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China)

Aimed to mixed multi-components FM(Frequency Modulation)sources blind separation problem，a new method named Whitening-Uniformly Weighted Exhaustive Diagonalization using Gauss iteration(W-UWEDGE)is proposed，whitening procedure is used for redundancy compression，there are no constraints on statistical properties，only no overlapping components on whole TFplane condition is required，the nonorthogonal joint diagonalization method is used in complex field.Firstly，identifiability from time-lag plane to quadratic time-frequency plane is extended.Secondly，gradient norm method based on whitening is employed to select autosource(Time-Frequency)TFpoints，then estimated mixed matrix is evaluated by UWEDGE method，meanwhile the Amari error value is calculated with changes of SNR and number of TFmatrixes，numerical performance of several BSS methods aimed to time-history and TFdistribution was compared，the results show that the proposed method W-UWEDGE gains better performance.Lastly，the method is employed in the rotor operating state identification and composite gear fault source separation.Simulation and experiments show that the proposed method can separate multi component FMsources efficiently.

multi-components FMsignal；quadratic time-frequency distribution；whitening；nonorthogonal joint diagonalization；blind source separation

TN911.7

A

1004-4523(2015)04-0633-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.017

李紀(jì)永(1985—)男，博士研究生。電話：18215636567；E-mail：ljynav@163.com

2014-01-06；

2014-11-18

西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題(SV2015-KF-01)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(NZ2015103)；國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61403193)