雙樹復(fù)小波和局部投影算法在齒輪故障診斷中的應(yīng)用

胥永剛，趙國亮，馬朝永，楊紅玉

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗室，北京100124)

雙樹復(fù)小波和局部投影算法在齒輪故障診斷中的應(yīng)用

胥永剛，趙國亮，馬朝永，楊紅玉

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗室，北京100124)

齒輪故障振動信號往往表現(xiàn)為非線性非平穩(wěn)特性，并且早期故障振動信號往往包含較強(qiáng)的背景噪聲，不利于故障特征的提取。針對該問題，提出了基于雙樹復(fù)小波變換和局部投影算法的齒輪故障診斷方法。首先，對故障信號進(jìn)行雙樹復(fù)小波變換，得到不同尺度下的小波系數(shù)和最后一層的尺度系數(shù)，并計算各層小波系數(shù)的模與相角。然后，選擇模周期性較強(qiáng)的小波系數(shù)或尺度系數(shù)進(jìn)行局部投影算法處理，得到周期性增強(qiáng)的系數(shù)的模，并選擇合適的閾值進(jìn)行軟閾值處理。最后，利用處理后的系數(shù)進(jìn)行雙樹復(fù)小波重構(gòu)，從而提取出齒輪故障特征信號，進(jìn)行希爾伯特包絡(luò)解調(diào)分析便能準(zhǔn)確地得到故障特征頻率。仿真信號和工程應(yīng)用表明，該方法能夠有效地提取齒輪故障特征信息，提供了一種齒輪故障特征提取的新方法。

故障診斷；雙樹復(fù)小波變換；局部投影算法；軟閾值；齒輪

引 言

由于故障產(chǎn)生機(jī)理復(fù)雜，齒輪故障振動信號往往表現(xiàn)為非線性非平穩(wěn)特性，并且包含強(qiáng)烈的背景噪聲，對齒輪早期故障的診斷造成了很大困難［1］。因此，對齒輪早期故障診斷方法的研究具有重要的理論價值和實(shí)際意義。

雙樹復(fù)小波變換作為傳統(tǒng)離散小波變換的改進(jìn)方法，在克服了平移不變性及頻率混疊等缺陷的同時，還具有完全重構(gòu)性、較小的數(shù)據(jù)冗余以及良好的方向選擇性［2］。目前，該方法已經(jīng)成功應(yīng)用于圖像處 理［3-4］、語 音識 別［5］、地 震 監(jiān)測［6］及 故障 診斷［7-9］等領(lǐng)域。

局部投影算法將時間序列擴(kuò)展到高維相空間，利用相空間投影法，能夠?qū)⑿盘柕谋尘靶盘?、特征信號及噪聲分解到不同子的空間，從而達(dá)到將其分離的目的［10］，能夠在分離特征信號的同時有效地抑制噪聲成分，并增強(qiáng)周期性成分。自提出以來，該方法已經(jīng)在生物醫(yī)學(xué)電信號［11-12］及故障診斷［13-14］等領(lǐng)域有了成功的應(yīng)用。

本文提出了雙樹復(fù)小波變換與非線性時間序列局部投影算法相結(jié)合的齒輪故障診斷方法，并將其成功應(yīng)用于鋼鐵廠高線軋機(jī)齒輪箱的故障診斷。仿真信號和工程實(shí)例證明：該方法能夠成功、有效地提取齒輪的早期故障特征信息。

1 雙樹復(fù)小波變換

Kingsburg提出的雙樹復(fù)小波變換利用互為近似希爾伯特變換對的兩樹實(shí)小波濾波器組來進(jìn)行小波分解與重構(gòu)，分別稱為實(shí)部樹與虛部樹。其小波函數(shù)可以表示為如下復(fù)數(shù)形式

式中 ψh(t)，ψg(t)表示兩個近似互為希爾伯特變換對的實(shí)小波。

雙樹復(fù)小波變換的兩樹濾波器組在分解和重構(gòu)過程中并無數(shù)據(jù)交換，因此，實(shí)部樹的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可以通過下式獲得。

同理，虛部樹小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)具有相同的表示形式。

綜合兩樹實(shí)小波變換的結(jié)果，可以得到雙樹復(fù)小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)如下：

重構(gòu)為分解的逆過程，重構(gòu)信號可以表示為：

雙樹復(fù)小波變換分解和重構(gòu)的過程如圖1所示。兩樹濾波器組分別完成實(shí)虛部樹的實(shí)小波變換與重構(gòu)。實(shí)部樹濾波器組中，h0代表低通濾波器，h1代表高通濾波器；同理，g0與g1分別代表虛部樹的低、高通濾波器，重構(gòu)過程由相應(yīng)的重構(gòu)濾波器完成。

圖1 雙樹復(fù)小波變換的分解和重構(gòu)過程Fig.1 Decomposition and reconstruction process of dual-tree complex wavelet transform

2 非線性時間序列局部投影算法原理

非線性時間序列分析方法的基本思想是：將非線性時間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，通過局部投影方法將背景信號，特征信號以及噪聲投影到不同的子空間，同時抑制時間序列中的隨機(jī)噪聲成分，從而達(dá)到將其分離的效果［10］。

假設(shè)動力系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程如下

當(dāng)F未知時，xk+1可以近似為狀態(tài)xk在狀態(tài){xk｝，k=1…N中u(n)鄰域內(nèi)的線性化估計，可以表示為下式的形式

參數(shù)An，bn可以通過式(12)解得。不存在噪聲時，Anxn+bn-xn+1=0，系統(tǒng)處于超平面內(nèi)。當(dāng)受到噪聲干擾時，即yn=xn+ηn時，對信號進(jìn)行相空間重構(gòu)，則噪聲處于超平面外的相空間中?？梢酝ㄟ^將yn投影到該超平面來進(jìn)行信號的消噪。

對于任意時間序列sn，可以重構(gòu)m維相空間

式中 τ為延時時間，m為嵌入維數(shù)。該相空間與原系統(tǒng)具有相同的動力學(xué)特性，與原系統(tǒng)的動力學(xué)行為是微分同胚的。通過sn的式(12)的最小化解來對sn進(jìn)行修正。上述投影降噪方法稱為非線性空間局部投影算法。其具體步驟如下：

(1)對于時間序列S=s1，s2，…，sn，確定延時時間τ及嵌入維數(shù)m，進(jìn)行m維相空間重構(gòu)。

(2)確定鄰域半徑ε，尋找滿足‖sk-sn‖＜ε的向量及其個數(shù)N。

(3)計算滿足條件的N個向量的質(zhì)心

(4)計算協(xié)方差矩陣

式中 R為對角權(quán)重矩陣，其作用為抑制相點(diǎn)的首尾元素所產(chǎn)生的畸變，故R11和Rmm選取較大值，其他Rii取值為1。

(5)消除噪聲。計算協(xié)方差矩陣C(n)ij的特征值與特征向量，選取特征值最小的Q個特征向量aq，q=1，…，Q，按照下式對相空間sn進(jìn)行修正。

(6)返回步驟(2)，直到所有的相點(diǎn)處理完。

修正完畢后，將sn中的標(biāo)量信號取平均值即可重構(gòu)得到降噪后的信號。

參數(shù)選擇對算法的降噪效果有直接影響，目前參數(shù)的確定方法已經(jīng)較為成熟。目前確定延遲時間的方法有：自相關(guān)函數(shù)法、平均位移法、復(fù)自相關(guān)法及平均互信息法等；嵌入維數(shù)可以通過幾何不變量法、虛假臨近點(diǎn)法及改進(jìn)虛假鄰點(diǎn)法等方法確定，文獻(xiàn)［11］對上述幾種方法進(jìn)行了比較與總結(jié)。

本文中濾波參數(shù)的確定選用較為常用的自相關(guān)函數(shù)法與效果較好的改進(jìn)虛假鄰點(diǎn)法。鄰域半徑的選擇較為簡單，只需略大于噪聲的平均幅值即可。Q一般為3～5。

3 DT-CWT與局部投影算法相結(jié)合的齒輪故障診斷方法

雙樹復(fù)小波變換得到的小波系數(shù)為復(fù)數(shù)形式，其模在信號沖擊特征明顯處幅值較大而且變化較為平穩(wěn)，周期性更為明顯，更加適合非線性時間序列局部投影算法的處理要求，因此選擇對小波系數(shù)的模進(jìn)行局部投影算法處理。具體實(shí)施步驟如下：

(1)對齒輪故障信號進(jìn)行雙樹復(fù)小波變換，得到不同層的系數(shù)矩陣，計算各層系數(shù)模并保留相位信息。

(2)選擇系數(shù)模周期性較為明顯的層的系數(shù)，選用合適的τ，m及Q值對其模進(jìn)行單次或多次非線性局部投影算法處理；當(dāng)系數(shù)模的周期性不明顯時可以利用系數(shù)譜(即系數(shù)模去恒流量后的傅里葉譜)進(jìn)行周期分析，當(dāng)系數(shù)模存在周期性時其系數(shù)譜必定會出現(xiàn)倍頻現(xiàn)象。

(3)選取合適的閾值對周期增強(qiáng)之后的小波系數(shù)模進(jìn)行軟閾值處理，以消除恒流成分對重構(gòu)結(jié)果的影響，然后利用保留的相位信息將處理后的模還原為小波系數(shù)，以便重構(gòu)。

(4)將處理后的小波系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu)，即可提取出齒輪故障特征信號，再進(jìn)行希爾伯特包絡(luò)解調(diào)分析便可準(zhǔn)確地得到故障特征頻率。

4 仿真分析

構(gòu)造齒輪故障仿真信號，序列x(t)由10段衰減正弦信號x1(t)組成，x1(t)定義如下

式中 fn=2 000，ζ=0.1。采樣頻率為10 k，每段100個點(diǎn)，總點(diǎn)數(shù)N=1 000。通過向x(t)添加信噪比為-5 dB的高斯白噪聲得到噪聲污染信號y(t)。x(t)與y(t)的時域波形如圖2所示。

圖2 x(t)與y(t)的時域波形Fig.2 Waveform of x(t)and y(t)

圖2可見，與x(t)相比，y(t)中已經(jīng)不能發(fā)現(xiàn)明顯的周期性沖擊成分。將y(t)進(jìn)行5層雙樹復(fù)小波分解，并繪制小波系數(shù)的模，如圖3所示。

圖3 雙樹復(fù)小波分解各層系數(shù)幅值Fig.3 The magnitude of the DT-CWT coefficients

圖3中，d1～d5表示1～5層小波系數(shù)幅值，c5為第5層尺度系數(shù)幅值，可以看出d2的周期性較為明顯，故選擇對d2進(jìn)行局部投影算法處理，以增強(qiáng)序列中的周期性成分并抑制隨機(jī)噪聲。

利用自相關(guān)函數(shù)法求取延遲時間，如圖4所示。

圖4 自相關(guān)函數(shù)法確定延遲時間Fig.4 Choose the time delay using autocorrelation function

根據(jù)改進(jìn)虛假鄰點(diǎn)法確定嵌入維數(shù)，如圖5所示。

圖5 改進(jìn)虛假鄰點(diǎn)法選取嵌入維數(shù)Fig.5 Choose the embedding dimension using Cao method

E1，E2為兩個計算指標(biāo)，其隨嵌入維數(shù)的變化曲線如圖5。嵌入維數(shù)的選取原則：選取使E1與E2變化平穩(wěn)且接近的m值即可，本文選擇m=13。

鄰域半徑ε=0.5，R11和Rmm為103，Q=3。采用同樣的參數(shù)進(jìn)行兩次非線性時間序列局部投影算法處理，結(jié)果如圖6所示。

圖6 d2局部投影算法降噪結(jié)果Fig.6 Denoising result by local projective method

圖6可見，與圖3中d2相比，序列中的噪聲被顯著地降低，周期性成分被成功地提取出來。為了進(jìn)一步在時域凸顯信號的周期性，進(jìn)一步對其進(jìn)行閾值為0.3的軟閾值處理，以消除直流量的影響(約為0.3)。還原為小波系數(shù)后，對其進(jìn)行單支重構(gòu)，便可得到故障特征信號，如圖7所示，其幅值譜如圖8所示。雙樹復(fù)小波變換能夠?qū)⑿盘栔械闹芷谛猿煞痔崛〕鰜?，如圖7(a)所示，但是依然存在較強(qiáng)的噪聲。對雙樹復(fù)小波變換小波系數(shù)進(jìn)行局部投影算法降噪后，能夠顯著降低信號中的隨機(jī)噪聲，提取出信號中的周期性成分。

圖7 重構(gòu)信號對比Fig.7 Comparison of direct reconstruction signal and the denoised one by local projective method

圖8 重構(gòu)信號幅值譜對比Fig.8 The Fourier amplitude spectrum of direct reconstruction signal and the denoised one

圖9 希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜Fig.9 Hilbert envelope spectrum of the denoised signal

對降噪后的信號進(jìn)行希爾伯特包絡(luò)解調(diào)分析，便可以準(zhǔn)確得到信號的故障特征頻率，如圖9所示。上述結(jié)果表明，雙樹復(fù)小波與局部投影算法相結(jié)合能夠有效地提取信號中的故障特征頻率。

5 工程應(yīng)用

某鋼鐵公司高線廠第25架軋機(jī)于2007年8月1日發(fā)現(xiàn)齒輪箱振動異常，開箱檢查發(fā)現(xiàn)Z5/Z6齒輪出現(xiàn)打齒故障，如圖10所示。

圖10 故障齒輪照片F(xiàn)ig.10 Photo of the damaged gear

為了能夠在故障早期發(fā)現(xiàn)故障，現(xiàn)對6月30日的齒輪箱振動數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，采樣點(diǎn)數(shù)為2 048，采樣頻率為12 000 Hz。經(jīng)計算，故障特征頻率為76.172 Hz。該數(shù)據(jù)的波形及頻譜如圖11所示。時域波形中沒有發(fā)現(xiàn)明顯故障特征信息，頻譜中雖出現(xiàn)少數(shù)邊頻成分但不明顯，頻率成分較為復(fù)雜不能準(zhǔn)確識別出故障齒輪的特征頻率。

圖11 6月30日故障齒輪波形及頻譜Fig.11 Waveform and spectrum of data on June 30

對該信號進(jìn)行5層雙樹復(fù)小波變換，得到前5層的小波系數(shù)與第5層的尺度系數(shù)，并計算其模(如圖12所示)選擇周期性較為明顯的d2應(yīng)用局部投影算法進(jìn)行降噪與周期性增強(qiáng)。利用自相關(guān)函數(shù)法與改進(jìn)虛假鄰點(diǎn)法確定參數(shù)為：延時時間τ=10，嵌入維數(shù)m=13。鄰域半徑ε=8，Q=3。結(jié)果如圖13所示。

圖12 雙樹復(fù)小波變換系數(shù)模Fig.12 The magnitude of the DT-CWT coefficients

圖13 局部投影算法降噪Fig.13 Denoising result by local projective method

圖13可見，經(jīng)過局部投影算法處理后，與處理前相比d2的周期性被顯著增強(qiáng)，隨機(jī)噪聲成分被有效地抑制。再對d2進(jìn)行閾值為6.5的軟閾值處理，還原為小波系數(shù)后進(jìn)行雙樹復(fù)小波重構(gòu)，便得到齒輪故障特性信號，如圖14所示。

圖14(a)為小波系數(shù)直接重構(gòu)信號，(b)為系數(shù)降噪后重構(gòu)所得信號，對比可知，雙樹復(fù)小波能夠?qū)⑿盘栔械闹芷谛詻_擊成分提取出來，但是提取出的信號中依然包含較強(qiáng)的噪聲，不利于故障特征的識別。對小波系數(shù)模進(jìn)行局部投影算法與軟閾值處理后，重構(gòu)信號中的隨機(jī)噪聲被有效地抑制，信號中的周期性沖擊成分已經(jīng)非常明顯。對降噪后的信號進(jìn)行希爾伯特包絡(luò)解調(diào)，便可以得到準(zhǔn)確的齒輪故障特征頻率76.17 Hz及其倍頻，結(jié)果如圖15所示。

圖16為直接重構(gòu)信號的希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜，雖然也存在故障特征頻率76.1 Hz及其3倍頻228.5 Hz，但是存在169.9 Hz的干擾成分，而經(jīng)過局部投影算法降噪后的信號中該成分已經(jīng)被去除。

圖14 重構(gòu)信號對比Fig.14 Comparison of direct reconstruction signal and the one denoised by local projective method

圖15 局部投影算法降噪信號希爾伯特包絡(luò)譜Fig.15 Hilbert envelope spectrum of the signal denoised by local projective method before reconstruction

圖16 直接重構(gòu)信號包絡(luò)解調(diào)譜Fig.16 Hilbert envelope spectrum of the direct reconstruction signal

綜上，雙樹復(fù)小波變換與局部投影算法相結(jié)合，能夠有效、準(zhǔn)確地將齒輪早期故障信號中的故障特征信息提取出來。

6 結(jié) 論

本文研究了基于雙樹復(fù)小波與非線性時間序列局部投影算法的齒輪故障診斷方法，仿真分析與工程實(shí)踐結(jié)果證明了該方法的可行性與有效性。

(1) 雙樹復(fù)小波變換的小波系數(shù)的模更能準(zhǔn)確地反映信號中的周期性沖擊成分。

(2) 非線性時間序列局部投影算法能夠通過將序列擴(kuò)展到高維相空間的方法，將特征信號與背景噪聲分離。將其用于雙樹復(fù)小波系數(shù)模的周期性成分增強(qiáng)與降噪，具有顯著效果。

(3) 雙樹復(fù)小波與非線性時間序列局部投影算法相結(jié)合的方法，能夠從齒輪早期故障信號中準(zhǔn)確有效地提取出故障特征信息，為齒輪的早期故障診斷提供了一種新方法。

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Application of gear fault diagnosis method based on dual-tree complex wavelet transform and local projective method

XU Yong-gang，ZHAO Guo-liang，MAChao-yong，YANG Hong-yu

(Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China)

Asgear fault vibration signal is always nonlinear and nonstationary and always with a strong background noise which result in difficulty of fault feature extraction，a new method based on dual-tree complex wavelet transform and local projective method is proposed.As a improved method of the conventional discrete wavelet transform(DWT)，dual-tree complex wavelet transform has many advantages over DWT，such as the improvement of frequency aliasing and oscillations of wavelet coefficients which is the key to the method proposed.Local projective method for nonlinear time series has a good ability of signal period strengthen and noise suppression，which fits for wavelet coefficients denoising.Firstly，the fault signal is decomposed by dual-tree complex wavelet transform to obtain the coefficients of different layers.Secondly，the nonlinear time series method is used to strengthen the periodicity of the coefficient whose amplitude is more periodic，and then do soft-threshold denoising.Finally，the fault characteristic signal can be obtained by coefficient reconstruction.The fault frequency can be located accurately by Hilbert envelope spectrum analysis.The simulation and engineering application showed the effectiveness of the method in early gear fault diagnose.

fault diagnose；dual-tree complex wavelet transform；local projective method；soft threshold；gear

TH165+.3；TH132.41

A

1004-4523(2015)04-0650-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.019

胥永剛(1975—)，男，副教授。電話：(010)67391750；E-mail：xyg@bjut.edu.cn

2014-04-10；

2014-09-03

國家自然科學(xué)基金資助項目(51375020)；北京市教委科研計劃資助項目(KM201310005013)；北京市屬高等學(xué)校青年拔尖人才培育計劃資助項目；北京市優(yōu)秀人才培養(yǎng)資助計劃資助項目(2011D005015000006)；北京工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)研究基金資助項目