圖式理論在平面向量復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

包道永

【摘要】平面向量的有效復(fù)習(xí)，可以幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)部聯(lián)系、數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。將圖式理論用于指導(dǎo)平面向量的復(fù)習(xí)，有助于激活和調(diào)動(dòng)學(xué)生已具備的代數(shù)、幾何、物理知識(shí)，有效地內(nèi)化并成為學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)圖式。

【關(guān)鍵詞】平面向量 圖式 數(shù)學(xué)模型

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）04-0170-01

1.引言

2014年江蘇高考數(shù)學(xué)的均分達(dá)到96分左右，命題保持了一貫的風(fēng)格，以考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和數(shù)學(xué)思維能力為主。試題仍然重視基礎(chǔ)，考察了8個(gè)C級(jí)考點(diǎn)。解答題前三題，分別考察了三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何，相對(duì)比較基礎(chǔ)、容易上手，從考生反饋的情況看，大部分考生這三題都比較容易上手。

數(shù)學(xué)基本能力主要包括空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理這幾方面的能力。向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景。向量既是重要的數(shù)學(xué)模型，又是重要的物理模型。向量的引入，給高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)了生機(jī)，也為今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定了必要的基礎(chǔ)。因此，研究搞好平面向量的復(fù)習(xí)教學(xué)是有必要的，也是非常重要的。

本章要求學(xué)生掌握向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算，這就把運(yùn)算的對(duì)象從數(shù)、字母擴(kuò)展到了向量。這為進(jìn)一步理解其他的數(shù)學(xué)運(yùn)算（如函數(shù)的運(yùn)算、映射、變換、矩陣的運(yùn)算等等）創(chuàng)造了條件，特別是當(dāng)學(xué)生利用向量運(yùn)算解決了數(shù)學(xué)中（如推導(dǎo)兩角差的余弦公式）和物理中的問(wèn)題時(shí)，就更有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義，感悟運(yùn)算、推理在探索和發(fā)現(xiàn)中的作用了（吳慶麟等，2002）。

2.理論綜述

圖式是大腦為了便于信息儲(chǔ)存和處理，而將新事物與已有的知識(shí)和經(jīng)歷有機(jī)地組織起來(lái)的一種知識(shí)表徵形式。圖式是陳述性知識(shí)的一種高水平的表達(dá)形式。它將一些低水平的陳述性知識(shí)單元如命題、表象及線性排序組織起來(lái)。Cook（1989，1994）認(rèn)為，圖式是頭腦中的“先存知識(shí)”或“背景知識(shí)”。有學(xué)者將圖式的特點(diǎn)“比作一個(gè)龐大的檔案系統(tǒng)，它把個(gè)人的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)分門別類儲(chǔ)存在大腦中，大腦接受一個(gè)新信息后，便會(huì)設(shè)立一個(gè)新的文件夾（或先驗(yàn)圖式），或把新的信息輸送到現(xiàn)存的先驗(yàn)圖式之中”。

可見(jiàn)，研究“知識(shí)圖式”在教與學(xué)中的作用，使學(xué)生更有效地把知識(shí)串聯(lián)起來(lái)。圖式的形成不僅能夠給人的記憶提供支持，減輕記憶負(fù)擔(dān)，還能使人迅速地識(shí)別屬于某一范疇的新例證或事件，并依據(jù)這種最初的識(shí)別對(duì)遇到的新情況做出推論，從而簡(jiǎn)化人對(duì)事物的鑒定與分類（吳慶麟等，2002）。人們記憶中儲(chǔ)存的這些圖式還有助于問(wèn)題解決。

3.圖式理論在復(fù)習(xí)平面向量中的運(yùn)用

人腦中保存的一切知識(shí)都能分成單元、構(gòu)成“組塊”和組成系統(tǒng)，這些單元、“組塊”和系統(tǒng)就是圖式。它的表征形式是命題、表象、線性排序等，是對(duì)一般概念的有意義信息形成的一個(gè)集合體。這里的一般概念可以是客體的類目，數(shù)學(xué)中的三角形、等比數(shù)列、二次函數(shù)等；也可以是一個(gè)事件的類目，如解三角形、計(jì)算數(shù)列的和、求函數(shù)的極值等等。無(wú)論什么主題，圖式中總是包含為那個(gè)類目中的所有客體或事件所共有的某些特征。因此，圖式實(shí)質(zhì)上是一種關(guān)于知識(shí)的認(rèn)知模式。

就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，圖式不僅包含著數(shù)學(xué)知識(shí)本身，還包含著怎樣利用這個(gè)圖式的智力技能的程序性知識(shí)，以及對(duì)可能發(fā)生的情況進(jìn)行預(yù)測(cè)和期望的信息。平面向量的知識(shí)已滲透到各個(gè)分支，特別是在幾何中的作用更為突出，其次在復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、物理中都有廣泛的應(yīng)用。隨著教學(xué)的深入，它的優(yōu)勢(shì)會(huì)越來(lái)越明顯，它運(yùn)算簡(jiǎn)潔明快，化繁就簡(jiǎn)、有它的獨(dú)到之處。扎實(shí)地學(xué)好、熟練地掌握這一章的內(nèi)容，將會(huì)在今后的學(xué)習(xí)中受益匪淺。本章和“三角函數(shù)”、“三角變換”一起，構(gòu)成了統(tǒng)一的教學(xué)模塊，這也更好地體現(xiàn)向量在處理三角函數(shù)問(wèn)題中的工具作用，也體現(xiàn)向量集形數(shù)于一身的特點(diǎn)。

高三學(xué)生有了一定的自學(xué)能力和概括比較能力，學(xué)生可以將知識(shí)加以梳理、溝通，使知識(shí)點(diǎn)之間發(fā)生聯(lián)結(jié)，形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，這樣形成的認(rèn)知圖式便于學(xué)生理解、記憶和提取運(yùn)用。首先根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，從大量的實(shí)際背景中抽象出向量的概念（數(shù)學(xué)模型），然后用數(shù)學(xué)的方法研究向量及其運(yùn)算的性質(zhì)，最后再運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問(wèn)題。簡(jiǎn)言之，現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題→建立數(shù)學(xué)模型→對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究→利用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。這樣處理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，突出了數(shù)學(xué)的來(lái)龍去脈，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成對(duì)數(shù)學(xué)完整的認(rèn)識(shí)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和理性思維的目的，同時(shí)也有助于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的發(fā)展。

向量是數(shù)形結(jié)合的載體，向量的幾何表示、向量加法的三角形運(yùn)算法則等等都是從幾何的角度對(duì)向量的研究，而向量的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)運(yùn)算就是用代數(shù)的方法來(lái)研究向量。在有關(guān)數(shù)量積的教學(xué)中更集中體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的方法。

在學(xué)習(xí)向量后，有意識(shí)地將向量與三角恒等變形，與幾何、代數(shù)之間的相應(yīng)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)的聯(lián)系，并通過(guò)比較，感受向量在處理三角、幾何、代數(shù)等各不同數(shù)學(xué)分支問(wèn)題中的獨(dú)到之處和橋梁作用，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的整體性。這樣將有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過(guò)程。如：講授向量的加、減法時(shí)，根據(jù)加法的平行四邊形法則（平移共起點(diǎn)，起點(diǎn)對(duì)角線）和三角形法則的特點(diǎn)，形象地將向量的加法總結(jié)為“首尾相連首尾連”或“平移首尾連，指向后終點(diǎn)”；將減法總結(jié)為“首同首連指向被減”或“平移共起點(diǎn)，指向前終點(diǎn)”。這樣學(xué)生就能記得住、用得上、學(xué)得輕松。

4.結(jié)語(yǔ)

圖式是人的頭腦中關(guān)于外部世界知識(shí)組織形式，是人們賴以認(rèn)識(shí)和理解周圍事物的基礎(chǔ)。經(jīng)歷用圖式理論去學(xué)習(xí)平面向量，有助于學(xué)生更好地掌握向量，更有效地利用向量方法去解決某些幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題，更深刻地體會(huì)向量是一種數(shù)學(xué)工具，用向量運(yùn)算的方法解決問(wèn)題。

當(dāng)然，圖式理論在其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中也有類似廣泛的應(yīng)用。實(shí)際生活中隨處可見(jiàn)的速度、位移等，這些都是向量的實(shí)際背景，也可以用向量加以刻畫(huà)和描述。

參考文獻(xiàn)：

[1]Cook， G. Discourse[M]. Oxford： Oxford University Press， 1989， 1994.

[2]數(shù)學(xué)培訓(xùn)手冊(cè)（蘇教版），江蘇教育出版社.

[3]吳慶麟等.認(rèn)知教學(xué)心理學(xué)[M].上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002.

[4]2012年江蘇省高考說(shuō)明（數(shù)學(xué)科）.