含有理想二極管交變電路的有效值問(wèn)題再探討

趙 堅(jiān) 馬亞鵬 李俊成

（1.昆明市五華區(qū)基礎(chǔ)教育科學(xué)研究中心，云南 昆明 650031；2.銀川市第九中學(xué)，寧夏 銀川 750011；3.南京市第九中學(xué)，江蘇 南京 210018）

2014年高考理綜新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ第21題考查學(xué)生對(duì)理想變壓器工作時(shí)原副線圈功率、電壓、電流之間的關(guān)系，理想二極管的單向?qū)щ娦砸约敖涣麟姳碜x數(shù)指的是有效值等知識(shí)的理解.原題如下.

如圖1，一理想變壓器原、副線圈的匝數(shù)分別為n1、n2.原線圈通過(guò)一理想電流表A接正弦交流電源，一個(gè)二極管和阻值為R的負(fù)載電阻串聯(lián)后接到副線圈的兩端.假設(shè)該二極管的正向電阻為0，反向電阻為無(wú)窮大.用交流電壓表測(cè)得a、b端和c、d端的電壓分別為Uab和Ucd，則

圖1

（A）Uab∶Ucd＝n1∶n2.

（B）增大負(fù)載電阻的阻值R，電流表的讀數(shù)變小.

（C）負(fù)載電阻的阻值越小，cd間的電壓Ucd越大.

（D）將二極管短路，電流表的讀數(shù)加倍.本題命題者給出的正確選項(xiàng)為（B）、（D）.

2014年全國(guó)高考過(guò)后，針對(duì)選項(xiàng)（D）到底正確與否，在廣大物理教師中引起了很大的爭(zhēng)議和激烈的討論，且這一討論至今一直未間斷過(guò)，為此，幾大物理刊物刊登了不少討論這一問(wèn)題的文章［1－9］.

我們仔細(xì)梳理各種不同觀點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)引發(fā)爭(zhēng)議的焦點(diǎn)有二：一是對(duì)交變電流有效值的理解；二是理想變壓器和理想二極管連接時(shí)電路有效值應(yīng)該如何正確計(jì)算的問(wèn)題.

本文在此不想去一一分析各種觀點(diǎn)的孰是孰非，為了徹底弄清楚問(wèn)題的本質(zhì)，我們一方面利用雙蹤示波器、傳感器專門觀察了試題電路中的電壓和電流波形；另一方面，從回歸有效值概念本源的角度出發(fā)，分析了交變電流有效值的本源問(wèn)題，最終對(duì)上述有關(guān)問(wèn)題提出我們的一些看法.

1 《電磁學(xué)》教材中對(duì)交變電流有效值的引入

眾所周知，交變電流是隨時(shí)間作周期性變化的電流，因其瞬時(shí)值時(shí)刻變化，在研究中人們較為關(guān)注的是其平均值和有效值.

交變電流的有效值來(lái)源于一個(gè)周期內(nèi)交流電的平均功率（有功功率），即設(shè)交流電電壓

電路中電流為

則電路的瞬時(shí)功率為

將（1）式代入（2）式解得

當(dāng)簡(jiǎn)諧交流電通過(guò)純電阻元件時(shí)，φ＝0，有

由于輸入到純電阻元件中的能量全部轉(zhuǎn)化為焦耳熱（在這一點(diǎn)上它和直流電路沒(méi)有什么不同），而直流電路中焦耳定律為

由此，交流電的有效值可以理解為“設(shè)兩個(gè)阻值相同的電阻分別通以交流和直流，且交流電流的有效值等于直流電流值，則兩電阻的功率相同”［11］；換言之，從電阻發(fā)熱角度來(lái)看，如果一個(gè)交變電流的有效值與一個(gè)直流電流的值相等，則這兩個(gè)電流等效（對(duì)電壓亦有類似解釋）.

以上便是一般《電磁學(xué)》教材中對(duì)交流電電壓、電流“有效值”概念引入的具體做法.［編者：請(qǐng)參見趙凱華等著《電磁學(xué)》（第2版）698頁(yè)］歸納一下上述交變電流有效值引入的過(guò)程，可以得出交變電流有效值涉及到如下幾方面的含義.

1.1 交變電流有效值是從熱效應(yīng)的角度出發(fā)定義的

1.2 交變電流的有效值是通過(guò)比較熱效果而來(lái)的

以交變電流的電流有效值為例，設(shè)電流為i（t），其有效值為I，相應(yīng)的恒定電流為I恒，按照定義，I＝I恒，則一個(gè)周期內(nèi)i（t）產(chǎn)生的熱量為

亦即，有效值I與電流在一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)發(fā)熱的總效果有關(guān)，與能的守恒和轉(zhuǎn)化定律直接相聯(lián)系.

1.3 “有效”是針對(duì)交流電路中的能量耗散而言的

所謂有效值的“有效”是針對(duì)交流電路中的能量耗散而言，亦即電源提供給電路的電能不可逆轉(zhuǎn)地轉(zhuǎn)化為其他形式的能而言.由于交變電流的有效值與它的平均功率相對(duì)應(yīng)，而交變電流的平均功率就是有功功率；有功功率P＝I2R（R為有功電阻）.而交變電流能量在一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)不可逆轉(zhuǎn)地轉(zhuǎn)化為其他形式的能（內(nèi)能、機(jī)械能、化學(xué)能…）的多少，反映在電路計(jì)算中，就是與有效值相聯(lián)系的有功電阻上的有功功率.

在實(shí)際使用中，交變電流有效值的概念有時(shí)也被應(yīng)用于純電感或純電容電路，但是由于這時(shí)在電路中并沒(méi)有發(fā)生不可逆轉(zhuǎn)的能量耗散.因此，我們不得以而引入了視在功率S＝UI來(lái)統(tǒng)一量度電流向內(nèi)能轉(zhuǎn)化以及電源提供電能與磁場(chǎng)能或者電場(chǎng)能之間的相互轉(zhuǎn)化，可是，這只是交變電流有效值在應(yīng)用中的一種推廣，而并非有效值定義的一般原始真實(shí)物理意義.

以上我們討論了通常情況下交變電流有效值的問(wèn)題.可是，交變電流有效值是否就應(yīng)該是這樣來(lái)理解呢？

2 對(duì)交變電流有效值的真正含義的正確理解

應(yīng)該說(shuō)，上述關(guān)于交變電流有效值的論述及其理解是建立在交變電流為簡(jiǎn)諧交流電，且負(fù)載電阻始終保持不變這一前提和基礎(chǔ)上的.在這種情況下，交變電流的電流、電壓值滿足按照等效功率（平均功率）定義出來(lái)的有效值.可是，這種做法以及所得到的結(jié)果卻不能推而廣之，因?yàn)檫@種做法所確定的有效值，并非是交變電流有效值本身的真實(shí)含義.

交變電流有效值的真實(shí)含義到底應(yīng)該如何來(lái)理解？事實(shí)上，所謂交變電流有效值，其實(shí)質(zhì)就是電流平方的平均值（方均根值）（以電流為例來(lái)說(shuō)），它與電壓、發(fā)熱等問(wèn)題無(wú)關(guān)，這就是電流有效值來(lái)源.對(duì)電壓有效值亦有類似定義.

因此，如果我們?cè)跍y(cè)量中使用的電流表是電磁式儀表，雖然我們可以用它來(lái)直接測(cè)定交變電流的方均根值（有效值），但是，如果此時(shí)的電流是前述21題中因二極管的整流作用形成的半波電流，那么，電流表讀數(shù)反映出的僅僅是正向交變電流的方均根值，而并非一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)的方均根值，原因在于負(fù)載發(fā)生了變化；如果在測(cè)量中使用的電流表是整流式交流電表，由于它直接測(cè)量的是交流電的平均值，且只有用于測(cè)量簡(jiǎn)諧交流電時(shí)，刻度盤上標(biāo)注反映的才是有效值，所以當(dāng)交變電流不再是簡(jiǎn)諧交流電（如有二極管），則此時(shí)的電流表讀數(shù)是不能夠用來(lái)反映電壓、電流乘積（即功率）的平均值的，正因?yàn)槿绱耍@種情況下的電流表讀數(shù)自然也就不等同于按照等效功率（平均功率）所定義出的所謂有效值的概念.

值得指出的是，由于多用電表交流電壓或電流的標(biāo)度尺是按正弦交流電壓或電流的有效值來(lái)刻度的.因此，萬(wàn)用表原則上只適用于正弦交流電壓或電流的測(cè)量.如果將萬(wàn)用表用于非正弦交流電壓或電流的測(cè)量，則應(yīng)根據(jù)被測(cè)非正弦交流電壓或電流的波形因數(shù)，對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正.

3 關(guān)于交流電有效值的計(jì)算

3.1 正弦交流電經(jīng)全波整流后的有效值

圖2

圖3

3.2 正弦交流電經(jīng)半波整流后的有效值

正弦交變電流經(jīng)半波整流后，圖像如圖3所示，其一個(gè)周期內(nèi)的有效值為

3.3 負(fù)載不同的半波交流電的有效值

對(duì)圖像類似于如圖3所示的半波電流，在一個(gè)周期T時(shí)間內(nèi)，由于其中正半波對(duì)應(yīng)負(fù)載電阻為R，負(fù)半波對(duì)應(yīng)負(fù)載電阻為∞，則

對(duì)負(fù)載為∞時(shí)電流的方均根值為I∞＝0（忽略原線圈空載電流（勵(lì)磁電流）的貢獻(xiàn)），總的有效值為

4 對(duì)理綜21題產(chǎn)生爭(zhēng)議的一些問(wèn)題的討論與研究

如圖4所示，設(shè)理想變壓器輸入端的電壓為u1（t）＝U1msinωt，電流為i1（t）＝I1msinωt；輸出端電壓為u2（t）＝U2msinωt，電流為i2（t）＝I2msinωt，如果沒(méi)有理想二極管（理想二極管短路），則滿足

圖4

如果接入理想二極管，由于理想二極管的整流作用，此時(shí)，在一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)，流經(jīng)電阻R的電流和加在其兩端電壓的有效值分別為

圖5

在對(duì)21題選項(xiàng)（D）討論中，大家爭(zhēng)論比較激烈的問(wèn)題之一，是在理想二極管接入電路時(shí)，理想變壓器輸入端和輸出端分別對(duì)應(yīng)的電流I1′、I2′的波形到底是完整正弦波還是被整流后的半波？假如是半波，那么與二極管被短路時(shí)的變壓器輸入端和輸出端對(duì)應(yīng)的完整正弦波電流相比，電流最大值（峰值）是否仍保持相同？

為此，我們通過(guò)實(shí)驗(yàn)（分別利用雙蹤示波器和傳感器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)）觀察，在排除實(shí)際實(shí)驗(yàn)中變壓器、二極管的影響因素后，得出變壓器輸入端和輸出端分別對(duì)應(yīng)的電流I1′、I2′的波形確實(shí)均為半波波形，且電流最大值（峰值）與二極管被短路時(shí)相比較，基本保持不變.需要說(shuō)明的是，事實(shí)上我們清楚，無(wú)論利用雙蹤示波器還是傳感器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，電流是不可能進(jìn)行測(cè)量觀察的，因此我們的實(shí)驗(yàn)是采用間接的做法，即測(cè)量觀察電流波形時(shí)，接入一阻值較小的電阻，通過(guò)測(cè)量觀察小阻值電阻的電壓來(lái)間接確定電流.

可是，也有觀點(diǎn)認(rèn)為，在二極管接入和被短路的兩種情況下，變壓器輸入端電流的最大值（峰值）并不相等（I1m′≠I1m），其具體做法為：

二極管短路時(shí)有

進(jìn)而可得

因I1是全波電流i1（t）的有效值，故

于是得出

二極管未短路時(shí)，則有

進(jìn)而可得

我們認(rèn)為，上述做法是值得商榷的，理由如下.

其二，對(duì)于原線圈電流為0的半個(gè)周期（不考慮原線圈空載電流（勵(lì)磁電流）的貢獻(xiàn)），負(fù)載相當(dāng)于斷路，亦即相對(duì)于負(fù)載接通的半周期，負(fù)載已經(jīng)發(fā)生了變化，因此此時(shí)并不存在所謂由平均功率定義出的原線圈電流有效值I1′.同時(shí)，我們知道，理想變壓器的電壓變比公式和電流變比公式都是在負(fù)載恒定時(shí)推斷出來(lái)的，它們既適用于瞬時(shí)值，也適用于平均值.但是負(fù)載有變化時(shí)這些公式對(duì)平均值并不適用.

那么，如果電壓、電流均為半波，且負(fù)載保持不變，又能否采用上述方法呢？

我們的回答是，這種情況下是可以的，因?yàn)?，?duì)于電流、電壓同時(shí)為半波的交流電，其平均功率剛好是電流、電壓同時(shí)為全波時(shí)的一半.為此，我們作如下推算.

設(shè)簡(jiǎn)諧交流電的電壓和電流分別表示為

則交流電瞬時(shí)功率為

利用三角函數(shù)的積化和差公式有

根據(jù)交流電平均功率計(jì)算公式，考慮在一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)，半波電流在阻值為R的電阻上消耗的平均功率，則

對(duì)式子積分后得出

對(duì)純電阻電路，相位差φ1－φ2＝0，cos（φ1－φ2）＝1，所以平均功率

在純電阻電路中，電能全部轉(zhuǎn)化為熱能（內(nèi)能），則有

由此可得，半波交流電流的有效值為

同理，半波交流電壓的有效值為

利用交流電的有效值表示交流電在純電阻電路中產(chǎn)生的有功功率，于是我們有

綜上所述，對(duì)高考試題21題（D）選項(xiàng)涉及的問(wèn)題，我們可以從這幾方面來(lái)看.

其一，如果原線圈電流表的讀數(shù)，反映的是電流的方均根值.在二極管短路時(shí)，設(shè)原線圈電流的方均根值為I1，則

這也就是此時(shí)電流的所謂有效值.

在二極管未短路時(shí)，設(shè)原線圈電流的有效值為I1′，由于正半波二極管導(dǎo)通，負(fù)半波二極管反向截止，導(dǎo)致負(fù)載發(fā)生變化，則對(duì)負(fù)載為R時(shí)原線圈中半波電流的方均根值為

對(duì)負(fù)載為∞時(shí)電流的方均根值為I1∞＝0.故原線圈電流的有效值為

顯然，此時(shí)電流表讀數(shù)不能反映出此有效值.

當(dāng)然，兩種情況下的有效值滿足

其二，如果原線圈電流表的讀數(shù)，反映的是電流的平均值.二極管短路時(shí)，由于此時(shí)交變電流為全波，在一個(gè)周期時(shí)間其平均值為0，所以我們是用半個(gè)周期時(shí)間內(nèi)的平均值來(lái)反映，即

如前面所述，由于整流式交流電表有時(shí)也可以采用半波整流，但是半波整流后的平均值僅為全波整流的平均值的一半.即二極管未短路時(shí)，有

比較二極管短路與未短路兩種情況，有I－＝2I－′.

基于上述討論，我們可以看出，之所以引發(fā)大家對(duì)高考試題21題產(chǎn)生爭(zhēng)議的根本原因，在于這樣幾個(gè)問(wèn)題.

（1）由于中學(xué)教材中明確提出，一般交流電表讀數(shù)指的都是它的有效值；同時(shí)在中學(xué)教材中對(duì)交流電有效值的論述是針對(duì)簡(jiǎn)諧交流電，且負(fù)載不變的情況下，從平均功率的角度入手而得出的，這就容易造成當(dāng)條件不滿足時(shí)，仍然采取相同做法，從而導(dǎo)致對(duì)交流電有效值在認(rèn)識(shí)上的錯(cuò)誤.

（2）從前面的分析可知，無(wú)論是電磁式儀表，還是整流式交流電表，所測(cè)量的電流都是有條件限制的，況且中學(xué)、大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)室里使用的大都是磁電式電表（又稱永磁動(dòng)圈式電表），它本身只是直流電表.所以，綜合這些因素考慮，高考試題原線圈接入的理想電流表就只能當(dāng)成是一個(gè)反映電流的“符號(hào)”，但是，是反映什么電流呢？如果從中學(xué)角度考慮，就應(yīng)該是電流的有效值，可是，事實(shí)上卻又不完全是這樣，這也就是大家出現(xiàn)糾結(jié)的地方.

（3）按照命題者的設(shè)計(jì)思想，在理想情況下，限于中學(xué)考慮，由于理想二極管短路和未短路情況下電阻消耗功率為2倍關(guān)系，因此，在變壓器輸入電壓不變的情況下，則輸入電流應(yīng)該變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，故選項(xiàng)（D）答案正確.對(duì)此，我們以為，這樣的設(shè)計(jì)是存在一定瑕疵的.

順便說(shuō)一下，對(duì)于本題的討論，有教師認(rèn)為需要引入視在功率、功率因數(shù)等概念.可是，從上述的討論中可以看出，事實(shí)上引發(fā)問(wèn)題爭(zhēng)議的關(guān)鍵是在于對(duì)交流電有效值問(wèn)題的理解，在本問(wèn)題中并不涉及這些問(wèn)題.

附：北京大學(xué)趙凱華教授給作者的信件

趙堅(jiān)：

你的文章很好呢，沒(méi)什么問(wèn)題.歸納起來(lái)，要點(diǎn)有：

1.有效值是按全波平均功率來(lái)定義的，不適用于半波.

2.電磁式電流計(jì)實(shí)測(cè)的是電流平方的平均值，磁電式電流計(jì)實(shí)測(cè)的是電流的平均值，都不是按平均功率來(lái)定義的有效值.（凡含機(jī)械運(yùn)動(dòng)部分的儀表，其反映時(shí)間都遠(yuǎn)大于交流電的周期，在此期間的平均值與全波平均值相等，不能反映半波的平均.）只有正弦波全波時(shí)，它們的讀數(shù)才等于按平均功率來(lái)定義的有效值.

3.在該問(wèn)題中二極管短路時(shí)，所有類型的電流計(jì)讀數(shù)減半.

趙凱華

2015.6.3

1 趙堅(jiān)，李勇.一道高考試題引發(fā)的熱議與探討［J］.物理教師，2014（9）：82－85.

2 俞伯根.對(duì)2014年兩道高考物理題參考答案的看法［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2014（10）：68－69.

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